2019年高考中數(shù)學(xué)文化的考查研究①

張 瑾 劉金海

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 453007)

數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，蘊(yùn)含著豐富而且深刻的文化底蘊(yùn)與內(nèi)涵，與人類的繁榮和發(fā)展一脈相連[1].2018年1月教育部印發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)中指出，數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.”[2]在教育部考試中心下發(fā)的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》(教試中心函[2016]179號)中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科也明確提出了“增加數(shù)學(xué)文化”的要求[3].高考作為目前全國范圍內(nèi)影響最大的考試，對中學(xué)生的數(shù)學(xué)教育起著導(dǎo)向性的作用，自《新課標(biāo)》頒布以來歷經(jīng)兩次高考，試題背景中均有數(shù)學(xué)文化不同程度的滲入.

本文通過對近兩年的高考數(shù)學(xué)文化試題整理和比較，并對2019年高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行評析，分析數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的作用、預(yù)測高考改革后文理不分科情況下數(shù)學(xué)文化試題命制走向.一方面為高考命題者命制出更加豐富的題型和新穎的試題提供啟發(fā)，另一方面提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)文化的重視程度并為其提供數(shù)學(xué)文化的教學(xué)策略.

1 高考數(shù)學(xué)文化試題分布分析

1.1 2019年高考數(shù)學(xué)文化試題分布特點(diǎn)

2019年全國各地高考共有13套數(shù)學(xué)試卷(含全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ、全國卷Ⅲ的理科和文科卷，北京理科和文科卷，天津理科和文科卷，上海卷，浙江卷，江蘇卷)，其中有9套試卷共出現(xiàn)了15道數(shù)學(xué)文化試題.并且有6道題在文理卷均有出現(xiàn)，為了能夠更加直觀體會高考試卷中的數(shù)學(xué)文化試題分布特點(diǎn)，現(xiàn)整理如下(表1)

通過上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出2019年高考數(shù)學(xué)文化試題存在如下特征：第一，從數(shù)學(xué)文化試題在文理試卷的分布來看，整體上保持了一致，但理科卷中數(shù)學(xué)文化試題稍多于文科卷，如全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷；第二，從知識點(diǎn)和題型分配來看，考查內(nèi)容涉及概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何和函數(shù)求解等問題，并以選擇題和填空題為主要考查方式，未涉及到計(jì)算題和證明題；第三，從數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)方式來看，有顯性呈現(xiàn)和隱性呈現(xiàn)兩種形式.其中，顯性呈現(xiàn)形式是直接給出數(shù)學(xué)文化背景作為試題的情景或引子，解答與數(shù)學(xué)文化背景基本無關(guān).而隱形呈現(xiàn)形式是指不直接給出數(shù)學(xué)文化背景，隱含考查與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的知識和思想方法[4]；第四，從命題價(jià)值來看，高考命題符合新課標(biāo)的目標(biāo)要求，從數(shù)學(xué)文化視角凸顯了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值；第五，從題目來源來看，包括以《周易》、四大名著等中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，以及國內(nèi)外數(shù)學(xué)家優(yōu)秀成果、當(dāng)代先進(jìn)科技文化等為背景.

1.2 近兩年高考數(shù)學(xué)文化試題對比分析

對近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷對比：首先，2019年的高考中增大了對數(shù)學(xué)文化的考查，主要體現(xiàn)在全國卷的數(shù)學(xué)文化試題比重上，2018年全國卷共有3道數(shù)學(xué)文化試題，而2019年全國卷中多達(dá)7道；其次，在考查數(shù)學(xué)課程目標(biāo)方面，考查的數(shù)學(xué)價(jià)值更為全面，同時(shí)增大了對數(shù)學(xué)審美價(jià)值的考查，例如全國Ⅰ卷中體現(xiàn)最美人體黃金分割比例的斷臂維納斯試題、全國Ⅱ卷中體現(xiàn)半正多面體對稱美的中國傳統(tǒng)金石文化——印信試題；最后，在2019年高考文理兩卷中，具有數(shù)學(xué)文化背景的試題趨向于統(tǒng)一，體現(xiàn)命題者在數(shù)學(xué)科目中踐行高考改革文理不分科的一次大膽嘗試.經(jīng)過進(jìn)一步分析得到，高考數(shù)學(xué)文化的命題保留了我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的背景和國內(nèi)外著名數(shù)學(xué)研究成果的考查，在對數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉聯(lián)系及生活中的應(yīng)用方面融入了先進(jìn)科技文化，體現(xiàn)了科技興國和創(chuàng)新強(qiáng)國的教育理念，有助于培養(yǎng)中學(xué)生科學(xué)精神和創(chuàng)新意識.

2 高考數(shù)學(xué)文化試題欣賞與評析

2.1 以中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景

(1)《周易》中的六十四卦

例1(2019全國Ⅰ卷(理)6，5分)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“----”和陰爻“- -”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是(▲)

圖1

評析：本題以我國古代典籍《周易》中的“卦”為載體，簡單介紹了“卦”的構(gòu)成，并以圖1——六十四卦中的第四十六卦“升”為例，傳遞我國深厚的文化底蘊(yùn)[5].題目要求考生來思考在“重卦”中恰有3個(gè)陽爻時(shí)，陽爻和陰爻的排列組合問題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理和方法在解決問題中的價(jià)值和作用，體現(xiàn)了中國古代的哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.考查的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)為排列組合計(jì)算原理，考生在熟悉傳統(tǒng)文化的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，進(jìn)行簡單的計(jì)算可得到答案為A.

(2)金石文化——印信

例2(2019全國Ⅱ卷(理16，文16)，5分)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖2).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖3是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有▲個(gè)面，其棱長為▲.(本題第一空2分，第二空3分.)

圖2

圖3

(3)古典文學(xué)——四大名著

例3(2019全國Ⅲ卷(理3、文4)，5分)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為(▲)

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

評析：該題以家喻戶曉的四大名著為載體，屬于顯性的數(shù)學(xué)文化試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.題目介紹了中學(xué)生通過實(shí)證調(diào)查，并進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，以此來考查考生的數(shù)據(jù)分析能力.考察的知識點(diǎn)為數(shù)據(jù)分析和集合的交集、并集和補(bǔ)集.考生可畫出Venn圖并通過邏輯推理得出閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而得出與該?？倲?shù)比值為0.7，故選C.

2.2 以國內(nèi)外數(shù)學(xué)家優(yōu)秀成果為背景

(1)斷臂維納斯與黃金比例分割

圖4

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

(2)祖暅原理

例5(2019浙江卷4，5分)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家.他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(▲)

圖5

A．158 B．162 C．182 D．324

評析：本題以我國南北朝時(shí)代偉大的數(shù)學(xué)家祖暅研究成果“冪勢既同，則積不容異”引入，以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化作為知識背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.祖暅?zhǔn)芨赣H祖沖之的影響，從小熱愛科學(xué)，對數(shù)學(xué)具有濃厚的興趣，祖暅原理是其一生最具有代表的發(fā)現(xiàn)[7].利用祖暅原理得到柱形體積公式，并且考查了三視圖知識，考生利用空間想象力來還原幾何體并進(jìn)行計(jì)算，既可以算出幾何體的底面積和高直接利用柱體體積公式進(jìn)行求解，也可以將幾何體還原到立方體中，通過割補(bǔ)法利用立方體體積減去另外的規(guī)則幾何體也可得到所求柱形體積，通過計(jì)算均為162，故選B.

2.3 以當(dāng)代科技文化為背景

(1)嫦娥四號中繼星“鵲橋”

(2) 天體的星等或亮度

A．1010.1B．10.1

C．lg10.1 D．10-10.1

評析：例6和例7分別從數(shù)學(xué)和物理學(xué)、數(shù)學(xué)和天文學(xué)交叉學(xué)科入手，以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的科技文化背景來進(jìn)行考查.例6中嫦娥四號探測器實(shí)現(xiàn)人類歷史首次月球背面軟著陸，并且中繼星“鵲橋”的成功發(fā)射屬于年度時(shí)政熱點(diǎn)，以我國航天事業(yè)取得的成就凸顯我國科技文化實(shí)力的提高.考生通過理解物理公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想對公式進(jìn)行推導(dǎo)變換和替代，來計(jì)算r的近似值，體現(xiàn)了對估算能力的重視.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，此題答案為D；例7中希臘天文學(xué)家依巴谷在公元前二世紀(jì)首次運(yùn)用星等來衡量天體光度的量，星等值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗[8].考生通過理解天文學(xué)常識，將所求數(shù)值代入天文學(xué)中的數(shù)學(xué)公式來求解比值，通過計(jì)算本題選A.這兩道題都針對外太空的探索為背景，激發(fā)學(xué)生探索的欲望，培養(yǎng)學(xué)生對科技文化的興趣.同時(shí)，這兩道數(shù)學(xué)文化題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.

(3)我國新四大發(fā)明——高鐵列車

例8(2019全國Ⅱ卷(理13、文14)，5分)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為▲.

(4) 3D打印技術(shù)

例9(2019全國Ⅲ卷(理、文)16，5分)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為▲g.

圖6

評析：例8和例9分別以高鐵列車、3D打印技術(shù)這些新興科技文化為背景，考查數(shù)學(xué)在這些技術(shù)中的應(yīng)用.例8中借助計(jì)算高鐵列車停靠站點(diǎn)的正點(diǎn)率，突出了我國在科技文化方面的發(fā)展成果，展示科技文化自信.考生可通過加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，估算經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值，此題答案為0.98. 例9以3D打印模型為例，考查了立體幾何中不規(guī)則幾何體的體積求解，并結(jié)合物理學(xué)中質(zhì)量與體積和密度的關(guān)系來求該模型所需原料的質(zhì)量.考生可通過可通過先計(jì)算挖除的四棱錐O-EFGH體積，再由長方體ABCD-A1B1C1D1的體積與四棱錐的體積的差值，得到模型體積為132cm3，由物理中的質(zhì)量公式m=ρv可求得制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g.這兩道題都考查了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有助于利用高考為導(dǎo)向提醒學(xué)生關(guān)注生活中的科技文化，同時(shí)又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性.

3 思考與建議

3.1 數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的作用

隨著教育的改革，從“以學(xué)生發(fā)展為本”、“三維目標(biāo)”，到學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程中，無論是在綱領(lǐng)性文件中的體現(xiàn)還是在評價(jià)體系中的考查，數(shù)學(xué)文化的重要性不斷凸顯.在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)當(dāng)中，將知識、思維、方法、原則和精神融為一體，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的整體育人，同時(shí)也是素質(zhì)教育的基本要求[9].數(shù)學(xué)文化作為一種理性的文化，影響著人們的健全品格和健康心理的養(yǎng)成，通過從文化的高度來認(rèn)識數(shù)學(xué)課程的育人功能，進(jìn)而改革傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀，才能將機(jī)械訓(xùn)練的教學(xué)向重視育人的教學(xué)轉(zhuǎn)型[10].因此，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

對高考數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行評析有利于促進(jìn)教育教學(xué)中更好的滲透數(shù)學(xué)文化.通過上述分析，發(fā)現(xiàn)近兩年的高考正在逐步增大對數(shù)學(xué)文化的考查力度.并且在2019年高考中，大量的科技文化背景出現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化試題中，這體現(xiàn)了在教育改革過程中我國社會主義建設(shè)的成果和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化越來越受到重視；在文理兩科的數(shù)學(xué)試卷中，數(shù)學(xué)文化試題趨于統(tǒng)一、梯度呈現(xiàn)，對推進(jìn)“文理交融”的文化素質(zhì)教育起到了示范作用，同時(shí)也是對新高考文理不分科的回應(yīng).

3.2 數(shù)學(xué)文化教學(xué)策略

數(shù)學(xué)文化試題啟示著數(shù)學(xué)教育改革的方向，數(shù)學(xué)文化教學(xué)是新時(shí)代數(shù)學(xué)教育的特色，教師要自覺接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，積極倡導(dǎo)《新課標(biāo)》中將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容的要求，合理引導(dǎo)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)文化的脈絡(luò)體會數(shù)學(xué)的價(jià)值.具體可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行著手.

首先，注重在數(shù)學(xué)課堂上滲透優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.隨著我國綜合實(shí)力的提升，在以高考為評價(jià)導(dǎo)向的試題中，必定會充分展現(xiàn)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的魅力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視以我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)知識的結(jié)合來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的愛國精神和文化自信，在傳授知識的同時(shí)更要注重對學(xué)生精神文化的熏陶，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

其次，分享國內(nèi)外數(shù)學(xué)家們的優(yōu)秀研究成果.物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓曾說自己站在巨人的肩膀上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必定少不了前人所奠定的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于從數(shù)學(xué)知識的角度旁征博引來拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，例如介紹國內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的趣聞軼事、一起探索歷史上的數(shù)學(xué)名題、向?qū)W生分享國內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作如《九章算術(shù)》、《幾何原本》等.

最后，關(guān)注當(dāng)代科技文化與數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)合.今年高考一大亮點(diǎn)就是在數(shù)學(xué)試卷中增大了對科技文化的考查力度，比如時(shí)政熱點(diǎn)嫦娥四號探測器與中繼星、高鐵列車、3D打印技術(shù)以及與天文學(xué)學(xué)科交叉的天體的星等或亮度.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在向?qū)W生傳授知識的同時(shí)講解科技文化中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生科技文化興趣，向?qū)W生滲透科技興國和創(chuàng)新強(qiáng)國的思想.