對(duì)一類不等式題型進(jìn)行總結(jié)

白鑫松　繆國(guó)棟

摘 要 不等式作為數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，同時(shí)最值問(wèn)題又是不等式問(wèn)題中一大熱門考點(diǎn)，它可以與函數(shù)，圖像，解析幾何等知識(shí)緊密結(jié)合在一起，將問(wèn)題變得復(fù)雜化，成為大多數(shù)初學(xué)者的一大難點(diǎn).本文以具體題目為例，探究一種關(guān)于不等式題型的一種模式解題方法，歸納并總結(jié)了以圓錐曲線，向量，函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題，并且對(duì)每一道問(wèn)題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，總結(jié)，讓讀者建立起基本的不等式思維.

關(guān)鍵詞 不等式 題型總結(jié) 解題方法

中圖分類號(hào)：O15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2021.01.016

Abstract Inequality is the basic content of mathematics. At the same time， the maximum value problem is a hot test point in inequality problems. It can be closely combined with functions， images， analytic geometry and other knowledge. It makes the problem more complicated and becomes a major difficulty for most beginners. Taking specific topics as examples， this paper explores a mode solution method for inequality problems， and summarizes it. This paper concludes the inequality problems based on conic curve， vector and function， comments and summarizes each problem， so that readers can establish basic inequality thinking.

Keywords inequality; summary of question types; problem solving method

1問(wèn)題引入

不等式問(wèn)題一直都是考試中的一大難點(diǎn)，而其中的最值問(wèn)題卻很容易讓初學(xué)者丟分，故本文將以具體的例題來(lái)進(jìn)一步分析和探究不等式，揭開(kāi)它的“廬山面目”，引發(fā)讀者從多角度去思考問(wèn)題，從而解決不等式問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

點(diǎn)評(píng)：例題1是一道經(jīng)典的不等式問(wèn)題，它的模型是 “已知滿足，求的最值”的格式，但相比于傳統(tǒng)的均值解法，例題1使用了柯西分式型不等式，從而使整個(gè)解題思路變得簡(jiǎn)單，計(jì)算難度也大大降低。

2提出變式

隨著高考的改革，不少經(jīng)典的或直接出現(xiàn)的題型已經(jīng)銷聲匿跡，取而代之的則是一些比較新穎，綜合性極強(qiáng)的題型，而不等式的一些條件也隱匿在題目之中，并且不少不等式題目均滿足以下模型。接下來(lái)將圍繞這個(gè)模型展開(kāi)討論和分析。

模型 已知滿足，求的最值。

下面分別以解析幾何，向量和函數(shù)的例題進(jìn)行探討。

例題2 已知橢圓，若橢圓的離心率且，求的最小值。

分析：由題可知，而從離心率可得到，顯而易見(jiàn)本例隱藏的條件與模型中的條件大致相同，可以將其歸為一種模型。接下來(lái)只需對(duì)未知量賦值計(jì)算，再運(yùn)用不等式的知識(shí)和性質(zhì)，即可以解出此題。

點(diǎn)評(píng)：綜上所述，例題4不同于例題2和例題3，它是以函數(shù)為背景提出的不等式問(wèn)題，但實(shí)際上和例題2，例題3又有異曲同工之妙，均是以非不等式的知識(shí)為背景提出不等式問(wèn)題，展現(xiàn)了不等式在不同數(shù)學(xué)分支中的重要作用。

3 總結(jié)

在解決不等式的問(wèn)題中會(huì)運(yùn)用到諸多的數(shù)學(xué)思想，它可以穿插的知識(shí)點(diǎn)比較多，能結(jié)合許多的數(shù)學(xué)內(nèi)容，它既能滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支之中，又能巧妙的將各分支的知識(shí)銜接起來(lái)，可謂是“臍帶”一般，這也使得出題者將不等式作為近年來(lái)各大考試的熱門考點(diǎn)。而答題者在解決這類題的時(shí)候，就需要具備一定技巧，同時(shí)也要綜合題目，合理運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，選取最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻１疚耐ㄟ^(guò)對(duì)上述模型的歸納，幫助初學(xué)者合理運(yùn)用不等式的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。不僅將求解不等式最值的問(wèn)題的知識(shí)再次鞏固，還讓初學(xué)者通過(guò)基本不等式模型去感受到數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之價(jià)值。但在實(shí)際中如何高效的解題，則需要在平時(shí)多進(jìn)行反思、歸納和總結(jié)，將基礎(chǔ)知識(shí)落實(shí)到位。這樣既能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解題效率，又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

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