基于多變量時(shí)間序列模型的中牟縣地下水埋深預(yù)測

孫俊志，張 婭，孫豐博，閆佰忠

1.河南省地礦局第二地質(zhì)勘查院，河南 鄭州 450018；2.河南省地礦局第二地質(zhì)環(huán)境調(diào)查院，河南 鄭州 450053；3.河北地質(zhì)大學(xué) 水資源與環(huán)境學(xué)院，河北 石家莊 050031

0 引言

水資源是人類生活的先決條件，而地下水是水資源的重要組成部分，是構(gòu)成生態(tài)環(huán)境的關(guān)鍵因素，也是社會穩(wěn)定發(fā)展的保障。20世紀(jì)90年代初以后，地下水逐步成為河南省重要的供水水源，對保障河南省飲水安全、糧食安全和生態(tài)安全等具有十分重要的作用[1]。中牟縣地處河南省中部偏東，緊鄰河南省省會鄭州市，近年來隨著人口的增長和工業(yè)的發(fā)展，地下水開采量也大幅度提高[2]；地表水資源，如賈魯河，已經(jīng)變?yōu)榧竟?jié)性河流。地下水資源短缺已經(jīng)嚴(yán)重制約了中牟縣經(jīng)濟(jì)社會的可持續(xù)發(fā)展。

地下水埋深動(dòng)態(tài)變化是一個(gè)繁雜的過程，是人類活動(dòng)和自然因素相互影響、相互作用下的結(jié)果。地下水埋深預(yù)測模型基本類型有：系統(tǒng)分析方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析法、灰色系統(tǒng)模型、回歸分析模型、相關(guān)分析模型等，這些模型在地下水埋深的預(yù)測中有一定的積極作用，但是這些模型的建模方法要求時(shí)間序列要具有平穩(wěn)性和獨(dú)立性，在反映地下水埋深動(dòng)態(tài)的復(fù)雜性方面仍有一定的差距[3-5]。時(shí)間序列太復(fù)雜，得出的預(yù)測結(jié)果就不精準(zhǔn)，一般用多變量自回歸CAR模型代替CARMA模型，對動(dòng)態(tài)系統(tǒng)實(shí)行統(tǒng)一建模分析[6]。本文討論了影響中牟縣地下水埋深的主導(dǎo)因素，并在此基礎(chǔ)上依據(jù)CAR模型建立地下水埋深預(yù)測模型，為中牟縣地下水資源的合理開發(fā)利用提供理論指導(dǎo)。

1 研究區(qū)概況

中牟縣位于河南省中東部，面積1 393 km2，隸屬鄭州市，總?cè)丝诩s113.44萬人，地理坐標(biāo)為北緯34°26′～34°56′，東經(jīng)113°46′～114°12′；中牟縣西臨鄭州城區(qū)，東鄰開封市，北部與原陽縣接壤，由黃河隔開，南與新鄭市、尉氏縣相鄰(詳見圖1)。中牟縣屬于溫帶大陸性季風(fēng)氣候，年均降雨量600.8 mm，年均蒸發(fā)量為1 500.6 mm，年平均氣溫14.4℃。中牟縣河流眾多，主要有賈魯河、運(yùn)糧河、七里河等。

中牟縣地處黃淮平原，地形相對來說較為復(fù)雜，地貌多變。中部、北部受到河流影響形成了兩大扇形槽狀地帶。中牟縣南部、北部、西部地勢高，東部地勢偏低，土壤類型以粉砂土、亞砂土為主，境內(nèi)地層上部為新生代第四紀(jì)松散沉積物，沉積巖巖性主要為黃河沖積物與洪積物[7-9]。

圖1 鄭州市中牟縣交通位置圖Fig.1 Zhengzhou Zhongmu district traffic location map

2 數(shù)據(jù)來源和研究方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文的地下水埋深數(shù)據(jù)采用了中牟縣水務(wù)局在境內(nèi)布設(shè)的15個(gè)監(jiān)測井的近13年數(shù)據(jù)資料；地下水開采量、年徑流量來自鄭州市2002—2014年的水資源公報(bào)；氣溫、降水量、蒸發(fā)量的數(shù)據(jù)來自河南省氣象檔案館資料。

2.2 研究方法

2.2.1 Spearman相關(guān)分析法

Spearman相關(guān)分析是權(quán)衡變量之間依附性的非參數(shù)指標(biāo)，主要利用單調(diào)方程來衡量因素間的相關(guān)性，即秩次的大小作線性相關(guān)分析，經(jīng)常用希臘字母ρ來表示；相較于Pearson相關(guān)分析，Spearman相關(guān)分析不需要x、y服從雙變量正態(tài)分布，所以適用范圍要比Pearson相關(guān)分析更廣[10]。

一個(gè)容量為n的樣本數(shù)據(jù)，n個(gè)原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為等級數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)ρ為：

(1)

而相關(guān)系數(shù)r范圍為-1～1之間；r>0，為正相關(guān)，r<0，為負(fù)相關(guān)，本文利用SPSS25軟件進(jìn)行Spearman相關(guān)分析。

2.2.2 多變量時(shí)間序列模型的構(gòu)建

假定用m個(gè)變量的時(shí)間序列組建n階的CAR模型，形式為：

yt=atyt-1+a2yt-2…anyt-n+b10x1,t+b10x11,t-1+b12x1,t-2…b1nx1,t-n+b20x2,t+b21x2,t-1…b22x2,t-2+…b2nx2,t-n+…+bm0xm,t+bm1xm,t-1+bm2xm,t-2…bmnxm,t-n+εt

(2)

式中，{an}、{bmn}為系數(shù)，其中m，n為正整數(shù)，yt，xm,t-n為時(shí)間序列變量，t為時(shí)間序列，t>1[11-13]。再進(jìn)行遞推最小二乘法估計(jì)參數(shù)：

(1)令

(3)

CAR模型一般形式為：

(4)

(5)

α為遺忘因子，取值為0.9～1.0之間。

利用N組觀察值的CAR(n)模型計(jì)算殘差平方和S(n):

(6)

(2)模型最高階n的判定

CAR模型的判定是根據(jù)已知的N個(gè)樣本(xj,t，yt，t=1，2，…，N；j=1，2，…，m)，從低階到高階遞增式擬合CAR模型。對相鄰兩個(gè)CAR模型階次增長是否合適采用F值檢驗(yàn)法進(jìn)行判斷。在分析時(shí)取置信度α=0.05，得出相應(yīng)臨界值Fα，當(dāng)相鄰的FFα?xí)r，CAR(n)模型不合適。

(3)模型真實(shí)階和時(shí)滯判別

按以上步驟得到合適的CAR(n)，但仍舊有一些不足。某些參數(shù)的系數(shù)可能為0，因此需要檢驗(yàn)，首先剔除接近0的參數(shù)，再次運(yùn)用遞推最小二乘法建立含較少參數(shù)的新模型。若檢驗(yàn)結(jié)果顯著，那原來的CAR(n)模型為真；反之，以新建立的模型為真[14-15]。

3 地下水埋深影響因素分析

根據(jù)中牟縣2002—2014年15個(gè)監(jiān)測井的地下水埋深數(shù)據(jù)繪制出變幅圖(見圖2)。由圖可知，中牟縣地下水埋深年際變化較大，在2002—2014年13年時(shí)間里累計(jì)下降了2.79 m。地下水埋深下降主要分為3個(gè)階段：2002—2006年間，地下水埋深從5.38 m升高至3.76 m，2004—2005年穩(wěn)定在3.7 m左右，隨后2006年又回落至5.39 m；2008—2010年，地下水埋深呈現(xiàn)穩(wěn)定下降狀態(tài)，從2007年4.28 m下降到2010年4.61 m，降幅為0.33 m；2011—2014年，地下水埋深大幅下降，從2011年4.47 m下降至2014年8.17 m，4年共下降3.7 m，下降速率為0.925 m/a。

運(yùn)用Arcgis10.5將15個(gè)觀測井2002、2005、2008、2011和2014年地下水埋深數(shù)據(jù)進(jìn)行IDW反距離權(quán)重插值分析(詳見圖3)。由圖可知，在這13年間中牟縣地下水埋深最大區(qū)域?yàn)橹胁康某顷P(guān)鎮(zhèn)與姚家鄉(xiāng)和韓寺鎮(zhèn)的北部，由2002年的10.64 m下降到2014年的14.28 m，降幅達(dá)到了3.64 m；東北區(qū)域的雁鳴湖鎮(zhèn)和官渡鎮(zhèn)的韓莊村是地下水埋深最淺的區(qū)域，但地下水水位仍呈下降趨勢，雁鳴湖鎮(zhèn)的水位由2002年的0.83 m下降到2014年的6.41 m，降幅達(dá)到了5.58 m，韓莊村的水位由2002年的2.46 m下降到2014年的3.87 m，降幅達(dá)到了1.41 m；中牟縣南部鄉(xiāng)鎮(zhèn)的地下水水位經(jīng)歷了上升再下降的階段，2002年平均水位5 m，2008年地下水位上升到最高，為4 m，隨著開采程度的增加，到2014年地下水位持續(xù)下降，最南端的三官廟鄉(xiāng)高低水位差值最大達(dá)到了8.59 m。

圖2 中牟縣2002—2014年地下水埋深變幅圖Fig.2 Variation map of groundwater depth in Zhongmu district from 2002 to 2014

圖3 中牟縣2002、2005、2008、2011和2014年地下水埋深圖Fig.3 Groundwater depth maps of Zhongmu district in 2002, 2005, 2008, 2011 and 2014

4 地下水埋深主要影響因素的提取

為了挑選出對中牟縣地下水埋深變化影響程度較大的因子，利用Spearman相關(guān)分析法進(jìn)行選取。選取2002—2014年中牟縣地下水開采量X1、年降水量X2、年蒸發(fā)量X3、氣溫X4和年徑流量X5作為輸入因子，地下水埋深為y，利用SPSS25來進(jìn)行雙變量Spearman相關(guān)分析(詳見表1)[16]。

表1 地下水埋深Spearman相關(guān)分析結(jié)果表Table 1 Spearman correlation analysis of groundwater depth

地下水開采量X1對地下水埋深的影響最大，為0.618；其次是年降水量X2、年蒸發(fā)量X3與地下水埋深的相關(guān)性較好，分別為-0.606和0.602；氣溫X4與年徑流量X5顯著性并不強(qiáng)，分別為0.412和0.484。

5 CAR模型的建立與應(yīng)用

5.1 確定參數(shù)和建立模型

通過Spearman相關(guān)分析法我們可以得出下水開采量、年降水量、年蒸發(fā)量對中牟縣地下水埋深有較大影響。把這三個(gè)變量作為輸入變量，中牟縣地下水埋深為輸出變量，建立多變量時(shí)間序列CAR模型。其中，F(xiàn)=3.025，模型定階的F檢驗(yàn)值為0.767；殘差平方和S=0.001 4，選定階次并剔除不顯著項(xiàng)后，模型殘差平方和S=0.001 9，是否剔除不顯著因子的F值為0.38，F(xiàn)(α=0.05)=19，F(xiàn)

Y(t)=9.38×10-1Y(t-1)+5.02×10-1Y(t-2)-1.99X(1,t-1)-1.02X(1,t-2)+6.6×10-3X(2,t)-7.8×10-3X(2,t-1)+1.6×10-2X(2,t-2)-9.7×10-3X(3,t-1)+7.4×10-3X(3,t-2)

(9)

式中：t為時(shí)間序列編號，t>1。

5.2 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

采用2004—2013年共10年的中牟縣地下水埋深數(shù)據(jù)觀測值和以上模型的擬合值制作成圖表(見圖4，表2)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測結(jié)果。從模擬曲線和比較表中我們可以看出，觀測值與擬合值吻合較好，相對誤差較小，控制在正負(fù)3.5%以內(nèi)。說明所構(gòu)建的模型可以較好地反映中牟縣地下水埋深的變化趨勢，并且具有良好的預(yù)測性。

圖4 地下水埋深觀測值與擬合值對比曲線Fig.4 Comparison curve of observed and fitted values of groundwater depth

表2 地下水埋深觀測值、擬合值和相對誤差表Table 2 Table of observation, fitting and relative error of groundwater depth

表3 中牟縣地下水埋深預(yù)測方案Table 3 Prediction scheme of groundwater depth in Zhongmu district

5.3 CAR模型的實(shí)際預(yù)測

依據(jù)中牟縣的社會發(fā)展、氣象條件的變化、地下水資源短缺等條件，將2014年作為基準(zhǔn)年，根據(jù)地下水開采量、年降水量、年蒸發(fā)量等資料，擬定3種地下水開采方案，用CAR模型計(jì)算3種方案下中牟縣地下水埋深變化情況(詳見表3)。

由表3可知，地下水開采量減少10%，年降水量減少5%，年蒸發(fā)量增加5%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.77 m；地下水開采量減少15%，年降水量減少10%，年蒸發(fā)量增加10%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.63 m；地下水開采量減少20%，年降水量減少15%，年蒸發(fā)量增加15%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.48 m；所以根據(jù)中牟縣氣候變化具體情形，減少地下水開采量，可以使得地下水埋深減小，對當(dāng)?shù)氐牡叵滤Y源具有積極意義。

6 結(jié)論

(1)依據(jù)Spearman相關(guān)分析法，得出中牟縣地下水開采量對地下水埋深影響程度最大，為0.618，其次為年降雨量和年蒸發(fā)量，分別為-0.606和0.602；科學(xué)合理控制地下水開采量對中牟縣的農(nóng)業(yè)發(fā)展，經(jīng)濟(jì)發(fā)展以及生態(tài)環(huán)境具有重要意義。

(2)觀測值與建立的預(yù)測模型相比，相對誤差均在3.5%以內(nèi)，這說明CAR模型的預(yù)測精度高、效果好。預(yù)測模型表明，地下水開采量減少10%，年降水量減少5%，年蒸發(fā)量增加5%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.77 m；地下水開采量減少15%，年降水量減少10%，年蒸發(fā)量增加10%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.63 m；地下水開采量減少20%，年降水量減少15%，年蒸發(fā)量增加15%時(shí)，地下水埋深將達(dá)到7.48 m。

論文中建立的地下水埋深的多變量時(shí)間序列模型具有一定的局限性，地下水埋深是一個(gè)復(fù)雜的過程，論文選取的參數(shù)僅僅是影響因素較大的，不能代表所有的參數(shù)，因此模型的預(yù)測效果和精度還有一定的提升空間。進(jìn)一步討論地下水埋深的影響因素，提高模型預(yù)測效果和精度是此類研究的發(fā)展方向。