基于深度學習的高中數(shù)學概念教學實踐研究

廣東

深度學習是指在教師的引領(lǐng)下,學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程.在這個過程中,學生掌握學科的核心知識,理解學習的過程,把握學科的本質(zhì)及思想方法,形成積極的內(nèi)在學習動機、正確的價值觀.如何判斷課堂教學深度學習是否發(fā)生,主要看是否具備以下幾個特征:一是聯(lián)想與結(jié)構(gòu),把要學的內(nèi)容與以前的內(nèi)容聯(lián)系起來,同時以融會貫通的方式對學習內(nèi)容進行組織,構(gòu)建出自己的知識結(jié)構(gòu);二是活動與體驗,學生能夠全身心投入到探索、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷知識的形成過程,體會科學的思考方法;三是本質(zhì)與變式,能夠抓住教學內(nèi)容的關(guān)鍵特征,全面把握學科知識的本質(zhì)聯(lián)系,并能夠在變式中辨析本質(zhì)特征;四是遷移與應(yīng)用,要將學習的東西用到新的情境中去,能夠舉一反三,學以致用.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017版2020年修訂)》中指出:日常教學應(yīng)加強對基本概念和基本思想的理解和掌握,核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學教學的全程,幫助學生逐步加深理解.隨著新課程的深入實施,高中數(shù)學的概念教學受到了前所未有的重視.在高中數(shù)學概念教學實踐中引導學生實現(xiàn)“深度學習”必須做好以下幾個方面:1.問題驅(qū)動,激活學生思維;2.深入探索,體驗數(shù)學概念的形成過程;3.意義構(gòu)建,理解數(shù)學概念的本質(zhì);4.靈活遷移,應(yīng)用數(shù)學概念解決問題.

一、問題驅(qū)動,激活學生思維

問題是數(shù)學的心臟,激發(fā)深度學習的教學應(yīng)該以學生為核心,設(shè)計適合學生學習的問題來展開教學,發(fā)展學生思維.教學內(nèi)容的問題是教師為學生創(chuàng)設(shè)問題情境,以問題為中心組織教學內(nèi)容,以問題啟發(fā)學生思考,探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論,以獲得知識形成、問題解決的體驗.在高中數(shù)學概念教學中,教師圍繞概念的生成創(chuàng)設(shè)一系列的問題情景,交叉地指導學生探究,步步深入,最終解決問題.

(一)合理地創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情景

華羅庚曾說過:“唯一推動我學習的力量,就是興趣與方便,因為數(shù)學是充滿了興趣的科學,也是最便利于自學的科學.”富有趣味和啟發(fā)性的問題情景可以形成生動活潑、積極健康的課堂氛圍,這樣能使學生的大腦處于適度的興奮狀態(tài),易于引起學生的興趣,從而更好地接受新知識,并在此基礎(chǔ)上通過聯(lián)想、分析、綜合和推理,進行創(chuàng)造性的深度學習,最終習得概念的本質(zhì)及遷移應(yīng)用.在這個過程中,使學生個體的創(chuàng)造力、潛能和素養(yǎng)得到豐富和發(fā)展,個體的能動性得到充分展現(xiàn),實現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化,使教學過程變成學生個性發(fā)展和完善的過程.

數(shù)學歸納法(節(jié)選)

師:四大古典名著之《三國演義》中有非常著名的一個章節(jié)——呂子明白衣渡江,關(guān)云長敗走麥城,講的是“武圣人”關(guān)羽打敗仗的故事,有哪些同學讀過這個故事?跟大家分享一下.(學生們被成功吸引,部分同學躍躍欲試,老師抓住機會開始點將)

生:故事講的是……(老師根據(jù)學生的講述情況進行補充,保證故事的完整性)

師:故事聽完了,我想問大家一個問題:“白衣”是“化裝成平民”,那么呂蒙為什么要“白衣渡江”?(課堂氣氛進一步活躍,同學們都迫不及待地發(fā)表意見)

生:化裝成平民可以出其不意地襲取烽火臺,打關(guān)羽一個措手不及.(同學們各抒己見,課堂氣氛高漲)

師:為什么出其不意地襲取了一個烽火臺,就會打關(guān)羽一個措手不及?烽火臺有什么作用?(老師特別強調(diào)“一個烽火臺”)

生:烽火臺點火就會升起“狼煙”,一個接一個地點火,以這種方式向遠方傳遞敵情.而呂蒙成功襲取了一個烽火臺,使這種“狼煙”沒有辦法升起,也就無法進行信息的傳遞,所以……

師:呂蒙的勝利是因為他懂得“數(shù)學歸納法”.(同學們都目瞪口呆,紛紛表示“抗議”,要老師對這個結(jié)論做出讓他們理解的解釋,我因正中下懷而暗自竊喜,旗開得勝,課程開始)

在這個導入設(shè)計中,摒棄了傳統(tǒng)的導入方式,設(shè)計了一個充滿啟發(fā)性的問題情境,一下子抓住了學生的思維,使學生思維順著教師的設(shè)計,一步一步進行下去,并在整個數(shù)學歸納法的教學過程中都跟烽火臺的狼煙傳遞進行呼應(yīng),讓學生在情感體驗的同時輕松地學習,取得了較好的效果.強化問題情景的啟發(fā)功能,讓學生體驗數(shù)學應(yīng)用、形成探究的欲望,應(yīng)成為數(shù)學課堂的發(fā)展方向.

(二)合理創(chuàng)設(shè)問題鏈,引領(lǐng)學生層層深入探究

問題鏈是教師為了實現(xiàn)一定的教學目標,根據(jù)學生的已有知識和經(jīng)驗,針對學生學習過程中將要產(chǎn)生或可能產(chǎn)生的困惑,將教材知識轉(zhuǎn)換成層次鮮明、具有系統(tǒng)性的一連串的教學問題:是一組有中心、有序列、相對獨立又相互關(guān)聯(lián)的問題.高中數(shù)學概念教學中的“問題鏈”,對學生主動建構(gòu)概念有較強的導向作用,是促進學生理解和掌握概念本質(zhì),發(fā)展學生的思維能力,以及推動學生實現(xiàn)預期目標的一種有效控制手段,是提高課堂教學效率的一種教學策略.

函數(shù)的奇偶性(節(jié)選)

問題1:觀察下列函數(shù)的圖象有何特征?

問題2:如何用數(shù)學的語言去描述函數(shù)圖象的“對稱”?

問題3:如何定量刻畫二次函數(shù)f(x)=x2自變量取互為相反數(shù)時對應(yīng)的函數(shù)值相等?能列舉一些具體數(shù)據(jù)嗎?這樣的列舉能反映函數(shù)f(x)=x2圖象的變化趨勢嗎?能用什么辦法解決好定量刻畫問題?

問題4:如何用符號語言表示函數(shù)f(x)的圖象“關(guān)于y軸對稱”或“關(guān)于原點對稱”?

問題7:如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意自變量x,都有f(-x)+f(x)=0,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)嗎?

問題8:如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意自變量x,都有f(-x)-f(x)=0,函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎?

問題9:回顧上述學習過程,有何體驗或感悟?

問題的設(shè)計一定要精準,問題鏈中的每一個問題都是學生學習的一個“錨點”,環(huán)環(huán)相扣,層層深入,引導學生抓住核心問題深入探究.“函數(shù)的奇偶性”的課堂教學設(shè)計中,問題鏈就像一根指揮棒,指引著學生對“函數(shù)的奇偶性”進行深度學習.從圖象直觀出發(fā),到奇(偶)函數(shù)的描述性定義,再到奇偶性形式化的定義;從定性描述到定量刻畫;用“任意”突破“無限”等,由淺入深,環(huán)環(huán)相扣,最終達成教學目標.

二、深入探索,體驗數(shù)學概念的形成過程

傳統(tǒng)數(shù)學課堂教學“輕過程、重結(jié)果”,流行做法有“導學案”,“一個定義三項注意”等,忽視概念產(chǎn)生的背景和形成過程,概念學習退化為“列舉概念要素、關(guān)鍵詞和注意事項”的學習.教學活動外化,教學內(nèi)容泛化,課堂變的熱鬧了,在一定程度上激發(fā)了學生學習的興趣和熱情,但學生內(nèi)在的思維和情感沒有被真正激活,課堂缺乏深層次的思考.導學案的設(shè)計打破了原有課程的內(nèi)在邏輯,支離破碎,課堂的花架子很多,實質(zhì)性的內(nèi)容卻很少,教學內(nèi)容嚴重泛化或碎片化,造成了低效甚至無效.課堂教學教師要引導學生進行深入探索,體驗數(shù)學概念的形成過程和本質(zhì),堅持重結(jié)果也重過程,讓數(shù)學教學成為“有思想的教學”,成為提高學生思維能力的舞臺.

直線的傾斜角與斜率(節(jié)選)

師:在平面直角坐標系中,要確定一條直線,需要哪些幾何要素?

生:兩點確定一條直線.

師:還有沒有其他確定一條直線的方法呢?

情境:教師展示一個很大的正方形,該正方形的對角線比同學們手中的三角板(等腰直角)的任意一條邊都長得多,怎么樣將它的對角線連接起來呢?

生:正常情況下直接將相對的兩個頂點連接起來便可得到,但是這里的正方形對角線比三角板的任意一條邊都長得多,這種做法不可取.我們知道正方形的對角線與邊成45°,只要將三角板的一條直角邊或者斜邊與正方形的一邊重合,且兩者的頂點重合,把過該點的斜邊或直角邊逐漸延長,最終可準確地將正方形的對角線連接起來.

師:直線還可以由一個點和一個方向(角)來確定.這個角就是兩條直線間的相對位置關(guān)系.

設(shè)計意圖:引導學生發(fā)現(xiàn)確定一條直線的要素除了兩個點,還可以是一個點和一個方向(角).

下面我們將直線放在平面直角坐標系中來研究.給出一點P,可以作無數(shù)條直線.這些直線組成“直線束”.

師:一個點不能確定一條直線,如果要確定直線束中的某條直線,還需要一個什么條件?如果學生說出第二個點,引導學生回憶剛才畫正方形對角線的情境.確定一條直線還需要一個方向(角),由此說明引入傾斜角的必要性.

師:剛才通過畫正方形對角線了解到,一個角是兩條線的相對位置關(guān)系,現(xiàn)在我們要有刻畫傾斜程度的角,就必須還有一條形成角的參照的直線.在平面直角坐標系中,以哪條軸線為基準形成刻畫傾斜程度的角?(學生可能回答x軸或y軸)

師:以x軸或y軸為基準都可以,在平面直角坐標系中討論角,我們常常以x軸為基準.當直線l與x軸相交時,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.

當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°.

設(shè)計意圖:利用富有啟發(fā)性的問題串,引導形成傾斜角概念,讓概念生成水到渠成.

在“直線的傾斜角”的教學中,讓學生從“要確定一條直線,需要哪些幾何要素?”問題情境開始,挑戰(zhàn)一個操作性的問題,學生在動手操作的過程中,體會概念形成的必要性和必然性,傾斜角的概念生成水到渠成.問題由淺入深,層層遞進,學生在深入探究的過程中思考、歸納并總結(jié)規(guī)律,在這個過程中提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng),增強數(shù)學概念教學的有效性.這樣的數(shù)學概念教學,過程自然而又體現(xiàn)數(shù)學概念的本質(zhì),學生真正經(jīng)歷概念的探究過程,思維得到極大的發(fā)展,實現(xiàn)數(shù)學概念的育人價值.

三、意義構(gòu)建,理解數(shù)學概念的本質(zhì)

深度學習特別重視對知識本質(zhì)的理解,基于深度學習的高中數(shù)學概念教學就必須重視對于概念本質(zhì)的理解,特別是要注重探索理解概念本質(zhì)的過程,為了幫助學生把握數(shù)學概念的本質(zhì),教學中可通過類比生活中的一些常識性的模型或概念,進行有意義的構(gòu)建,理解數(shù)學概念的本質(zhì).

直線的傾斜角與斜率(節(jié)選)

情境:除了用傾斜角、斜率刻畫直線的傾斜程度以外,日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量?

師:如圖,我們經(jīng)常用一些生活斜面的圖片,從“坡度”、“坡比”這兩個概念刻畫斜坡的傾斜程度.你們還記得坡比的概念嗎?

生:傾斜角α的正切值.

師:我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率.

傾斜角是90°的直線沒有斜率.傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

傾斜角相同的直線,其斜率相同;傾斜角不同的直線,其斜率不同.因此,我們可以用斜率刻畫直線的傾斜程度.直線的傾斜角、斜率都是用來刻畫傾斜程度的,它們本質(zhì)上是一致的.傾斜角從形的角度刻畫傾斜程度,而斜率是比值,實質(zhì)是數(shù)值,它從數(shù)的角度反映傾斜的程度,顯然用斜率更細致入微些.

設(shè)計意圖:通過類比,由形的角度刻畫傾斜程度過渡到數(shù)的角度刻畫傾斜程度,得到斜率概念.

高中數(shù)學的教學不應(yīng)該簡單地成為數(shù)學知識的傳遞,而要充實學生的知識基礎(chǔ)、完善學生的邏輯思維、發(fā)展學生科學理性的精神,即學習理解數(shù)學本質(zhì)的同時也要經(jīng)歷掌握知識本質(zhì)的過程.在“直線的斜率”教學中,為了讓學生把握“斜率”的本質(zhì),先提供一下生活中的斜坡的圖片,然后引導學生發(fā)現(xiàn)從“坡度”、“坡比”這兩個概念刻畫斜坡的傾斜程度,抽象出如何刻畫直線的傾斜程度.只有這樣充分經(jīng)歷認識“斜率”本質(zhì)的過程,才能促進學生的深度學習.

四、靈活遷移,應(yīng)用數(shù)學概念解決問題

有學習就會有遷移,甚至“學習就是遷移”，“學習為了遷移”.“遷移”是經(jīng)驗的擴展與提升,“應(yīng)用”是將內(nèi)化了的知識外顯化、操作化的過程,也是將間接經(jīng)驗直接化、將符號轉(zhuǎn)為實體、從抽象到具體的過程,是知識活化的標志,也是學生學習成果的體現(xiàn).基于深度學習的高中數(shù)學概念教學必須做好“遷移與應(yīng)用”,讓學生參與概念的遷移并應(yīng)用的過程,使新概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.這是學生在數(shù)學概念學習活動中經(jīng)歷的對未來要從事的社會實踐的初步嘗試,也是數(shù)學概念教學教育性的重要體現(xiàn).

基于深度學習的平面向量的實際背景及基本概念(節(jié)選)

問題10:觀察圖中的正六邊形,請給圖中的任意兩條線段加上箭頭表示向量,試說說它們間的關(guān)系,找出你認為有特殊關(guān)系的向量?

設(shè)計意圖:不是先給出平行(共線)向量、相等向量的定義,再做練習鞏固,而是讓學生參與概念的定義過程,使概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.教師組織學生進行討論.

問題11:你是如何研究的?例如,你畫了哪幾個向量?你是由平面向量的什么屬性判斷它們的關(guān)系特殊?

設(shè)計意圖:不僅要關(guān)注結(jié)果,更要關(guān)注過程.尤其要挖掘?qū)W生應(yīng)用向量概念的思維過程.

歸納得到:

(1)從“方向”角度看,有方向相同或相反,就是平行向量,記為a∥b;

(2)從“長度”角度看,有模相等的向量,記為|a|=|b|;

(3)既關(guān)注方向,又關(guān)注長度,有相等向量a=b,相反向量a=-b.

我們規(guī)定:零向量與任意向量都平行,即0∥a.

在深度學習中,“遷移與應(yīng)用”是重要的學習方式而不只是對學習結(jié)果的檢驗方式.在基于深度學習的平面向量的實際背景及基本概念教學中,在已經(jīng)生成向量的概念的基礎(chǔ)上,構(gòu)建具體的問題情景,讓學生在解決具體問題的過程中“遷移與應(yīng)用”,進一步加深對于概念的理解.