學(xué)會轉(zhuǎn)化與化歸,提高解題水平

安徽

轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的思想方法,化繁為簡、化生為熟、化未知為已知,是分析問題和解決問題的基本方法,化歸的基本過程如下圖:

本文就在數(shù)學(xué)解題中如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”談一點(diǎn)看法,不當(dāng)之處敬請批評指正.

1 根據(jù)解題目標(biāo)選擇轉(zhuǎn)化對象是轉(zhuǎn)化的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)審題是用數(shù)學(xué)的眼光分析、觀察、理解問題,達(dá)到準(zhǔn)確理解題意,明確解題目標(biāo),合理選擇轉(zhuǎn)化對象,減少盲目性.

【例1】對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的,則錯誤的結(jié)論是

()

A.-1是f(x)的零點(diǎn)

B.1是f(x)的極值點(diǎn)

C.3是f(x)的極值

D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上

思路探求:由A項(xiàng)知a-b+c=0,①

由B選項(xiàng)知2a+b=0,②

由D選項(xiàng)知4a+2b+c=8,④

式③稍復(fù)雜,于是可假設(shè)ABD都正確,聯(lián)立①②④,易得a=b=c=0,不合題意,故ABD中有一個是錯誤的,而C是正確的.

若A錯,BCD正確,聯(lián)立②③④,得a=5,b=-10,c=8,符合題意.

于是可知A結(jié)論是錯誤的,應(yīng)選A.

方法點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解并運(yùn)用好“其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的”這一關(guān)鍵條件.閱讀審題一般需要兩次,第一遍要了解問題講的是什么、已知哪些、解題目標(biāo)是什么等,第二遍就要帶著問題(目標(biāo))有意識地將條件一一表達(dá)出來.解題總需要從解題目標(biāo)出發(fā),將已知條件轉(zhuǎn)化為易于使用的結(jié)果,通過綜合比較選擇解題的入手點(diǎn),這個入手點(diǎn)就是轉(zhuǎn)化對象.

2 化繁為簡是轉(zhuǎn)化的基本功

【例2】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為________.

3 化抽象為具體是轉(zhuǎn)化的重要方法

對于較困難的數(shù)學(xué)問題往往有一個難于理解或不易應(yīng)用的條件,這就是核心條件,需要將核心條件通過等價轉(zhuǎn)化為便于應(yīng)用的具體條件,以便發(fā)現(xiàn)已知與所求之間的聯(lián)系.

當(dāng)x∈(1,e),h1(x)單調(diào)遞減；x∈(e,+∞),h1(x)單調(diào)遞增,

4 抓本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵

理解數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,在日常教學(xué)中只有重視知識的形成過程的教學(xué),重視數(shù)學(xué)概念、原理的抽象過程、公式的推導(dǎo)過程,關(guān)注過程中的關(guān)鍵步驟、方法和基本環(huán)節(jié),從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).在解題中,當(dāng)問題的解決陷入困境時,我們就要抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

一是說服美國警惕墮入“聯(lián)盟陷阱”。長期以來，美國的外交政策極大地受益于其全球同盟體系，但這一過度復(fù)雜的同盟體系也使其在國際事務(wù)上的成本居高不下，中國可以說服美國警惕墮入聲索國的狐假虎威陷阱而導(dǎo)致中美直接沖突，更不要給盟國開空白支票以支持他們的挑釁行為，現(xiàn)階段主張“美國優(yōu)先”的特朗普政府，尤其可以進(jìn)行這一方面的溝通。

如圖,問題中點(diǎn)M、N都是動點(diǎn),點(diǎn)F1,F2,E都是定點(diǎn),條件“動點(diǎn)M在雙曲線的左支上”,因?yàn)閨MF2|-|MF1|=2a=6,即|MF2|=|MF1|+6,而“點(diǎn)N為圓E上一點(diǎn)”，所以|EN|=1,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|MN|+|MF1|+|EN|+5≥|EF1|+5=9(當(dāng)M、N在線段EF1上時等號成立).這里用到平面幾何應(yīng)用廣泛的一個結(jié)論:“兩點(diǎn)之間,線段最短”.

方法點(diǎn)睛:動點(diǎn)M在雙曲線C的左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a=6；點(diǎn)N為圓E上動點(diǎn),所以|EN|=1,這就是本質(zhì).|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+|EN|+5最小,本質(zhì)就是“兩定點(diǎn)F1,E之間線段|EF1|最短”,如果僅僅盯著|MN|，|MF2|,不去從問題本身是什么、能得到什么等方面去思考,就談不上理解了問題,因此,應(yīng)抓住問題本質(zhì)去轉(zhuǎn)化.

5 避繁就簡是轉(zhuǎn)化的重要原則

優(yōu)化解題過程需要“琢磨”,在解題中不僅僅是問題解出來了就萬事大吉了,還要對解題路徑、算法有所選擇,重視解題過程的優(yōu)化.

(1)求橢圓C的方程；

所以S平行四邊形AMBF1∈(0,6],即當(dāng)t=1時,四邊形AMBF1的面積的最大值為6.

方法點(diǎn)睛:第二小題難度較大,首先弄清解題目標(biāo)是什么？把四邊形AMBF1的面積用合理的參數(shù)表示出來就是解題目標(biāo),圍繞這一目標(biāo)用設(shè)而不求法,若設(shè)過F2的直線l:y=k(x-1),就需要討論斜率k是否存在,而且后續(xù)運(yùn)算較復(fù)雜,于是設(shè)過F2的直線l:x=my+1,用參數(shù)m表示△ABF1的面積就容易些.所以數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化要避繁就簡.

6 積累經(jīng)驗(yàn)是提高轉(zhuǎn)化能力的有效途徑

只注重解題而不重視總結(jié)反思,猶如“入寶山而空返”.注重轉(zhuǎn)化過程中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與積累,從而使解題成為鞏固知識、積累經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)能力、提高素養(yǎng)的法寶.

A.(-∞-2] B.[1,+∞)

C.(-∞-1]∪[1,+∞) D.(-∞-2]∪[2,+∞)

本題還可以換一個思路想一想.