數(shù)學抽象素養(yǎng)的特征及其案例分析

四川

數(shù)學抽象是數(shù)學核心素養(yǎng)之一,也是重要的數(shù)學基本思想,雖然中學數(shù)學教師對于抽象思維的培養(yǎng)一直都比較重視,但是,數(shù)學抽象與一般意義上的抽象還是有所不同的,有些教師對于數(shù)學抽象的理解還不夠深刻,本文探討數(shù)學抽象的基本特征及其培養(yǎng)策略,希望能對讀者有所啟發(fā).

一、數(shù)學抽象的價值性特征

數(shù)學抽象的價值性主要體現(xiàn)在:數(shù)學抽象具有重要的學科價值.從一定程度上而言,數(shù)學學科主要是借助于數(shù)學抽象建立起來并不斷發(fā)展的,一方面數(shù)學抽象使數(shù)學成為高度謹慎、高度精確、應(yīng)用廣泛、結(jié)構(gòu)性強的學科,另一方面,數(shù)學抽象的不斷發(fā)展,使數(shù)學學科與其他學科緊密地聯(lián)系在一起.數(shù)學抽象具有重要的教育價值.學生學習數(shù)學不僅能培養(yǎng)其數(shù)學抽象核心素養(yǎng),還有助于改善其思維方式,提高思維效率,同時,數(shù)學抽象還可以幫助其更好地體會數(shù)學的本質(zhì)等.因此《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》將數(shù)學抽象作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一.對教師而言,引導并訓練學生逐步從初級的經(jīng)驗水平轉(zhuǎn)向高級的科學水平,提高學生的思維水平,促進他們的智慧發(fā)展,是數(shù)學教育的任務(wù).

案例:當復(fù)習到“面面垂直的判定定理”時,學生無法表述定理內(nèi)容,這時教師應(yīng)啟發(fā)學生,門不管旋轉(zhuǎn)到什么位置,它總與地面垂直,可以從這個現(xiàn)象中總結(jié)定理.如果還是沒有效果.需要教師繼續(xù)幫助分析,不管門怎么旋轉(zhuǎn),它總是繞門軸旋轉(zhuǎn),而門軸始終與地面垂直,即使如此,有可能還是有學生說不出定理內(nèi)容.為什么會出現(xiàn)這種情況呢?僅僅歸咎于從新授課到高三復(fù)習之間的時間過長,學生遺忘嚴重,這說不通.要重視培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力.實際生活中隨處可見“面面垂直”的現(xiàn)象,學生坐在教室里,視線就離不開“面面垂直”,應(yīng)從身邊想象、抽象出“面面垂直”的定義、定理,讓學生體驗數(shù)學的應(yīng)用性和無窮魅力.

二、數(shù)學抽象的客觀性特征

數(shù)學是以抽象的方式來反映客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學,具有一定的客觀性.數(shù)學抽象的客觀性常常表現(xiàn)為，許多抽象的數(shù)學理論具有一定的客觀現(xiàn)實背景,或者數(shù)學抽象的產(chǎn)物(即數(shù)學理論)在社會生活、科學研究中具有廣泛的用途.《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(試驗稿)》指出:數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概況、形成方法和理論,并進行廣泛應(yīng)用的過程.從本源上來說,很多數(shù)學概念或數(shù)學理論是從現(xiàn)實世界客觀存在的事物中,經(jīng)過抽象,概括出客觀事物之間的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系.其數(shù)學抽象的過程并不是由人們憑空捏造、任意想象的,并不會因為某一個(類)人某種觀念的變化而發(fā)生改變.數(shù)學抽象的客觀性一方面表現(xiàn)在數(shù)學抽象的對象與結(jié)果是客觀的.數(shù)學對象并不是沒有內(nèi)容的,也不是與現(xiàn)實世界毫無關(guān)系的,從本源上來說,許多數(shù)學對象來自于現(xiàn)實世界.在某一數(shù)學對象及其理論被數(shù)學家創(chuàng)造出來之后,就像現(xiàn)實世界客觀存在的事物一樣具有一定的客觀屬性.另一方面,表現(xiàn)為數(shù)學概念、數(shù)學理論等數(shù)學抽象的產(chǎn)物,其蘊含的數(shù)學內(nèi)容是有其數(shù)學基礎(chǔ)與邏輯保障的,并且不斷受到數(shù)學共同體的檢驗.從這個角度而言,數(shù)學抽象具有一定的客觀性.

案例:筆者對“兩平面垂直”的相關(guān)定義、定理進行了梳理,形成以下教學思路:首先,探究載體源自生活.實際生活中隨處可見“面面垂直”的現(xiàn)象,應(yīng)從身邊想象、抽象出“面面垂直”的定義、定理;其次,強化探究思路的分析.一節(jié)課就是一個微課題,研究方向要明確,這里的研究方向與教學目標有點相似,但需要教師與學生共同分析,得出合理的探究目標,而不是學生必須遵循教師的要求去學習;最后,要遵循課程理念和課程標準的要求.定義、定理的抽象,必須是建立在探究的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)內(nèi)涵而后抽象形成.問題的設(shè)計,不能過多選用指向性很強的問題,那不是探究問題,那是邏輯思考解決問題,不是真發(fā)現(xiàn).探究問題要有“寬”度,要讓學生想開,培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力,那樣的發(fā)現(xiàn)才是自主發(fā)現(xiàn),由此抽象出的結(jié)論,學生才能經(jīng)久不忘！

三、數(shù)學抽象的模型化特征

數(shù)學抽象是用數(shù)學語言概括或近似地描述現(xiàn)實世界的事物之間的數(shù)量關(guān)系與空間形式.數(shù)學抽象離不開模式化,模式化的最終結(jié)果是構(gòu)建數(shù)學模型.數(shù)學模型是溝通數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁.為了構(gòu)造適宜的數(shù)學模型解決某一現(xiàn)實問題,需要對現(xiàn)實問題進行一定簡化,忽略其次要因素、或與解決問題無關(guān)的因素,并在此基礎(chǔ)上運用一定的數(shù)學方法,使之轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學問題.即從數(shù)學的角度,運用數(shù)學的手段,不斷使一個現(xiàn)實問題理想化與形式化.最后,運用一定的數(shù)學方法解決相應(yīng)的數(shù)學問題,并把所得的問題的解代回到現(xiàn)實問題中進行檢驗,以分析其是否達到預(yù)設(shè)的解決目的.另外,很多時候,模型化的數(shù)學抽象過程并不是一次性完成的,而是有一個逐步完善、不斷精確的過程,如果在構(gòu)建某一數(shù)學模型的過程中,簡化(忽略)的因素太多,從而在一定程度上改變了原來現(xiàn)實問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu),這時候所得的數(shù)學模型對原來現(xiàn)實問題的解答只能是初步的、近似的,可能遠遠不能滿足其預(yù)設(shè)的解決目標.這時候就需要把此前簡化(忽略)的某些因素重新納入,重新構(gòu)建新的數(shù)學模型,尋找新的解決問題的數(shù)學方法.理想的數(shù)學模型要求與所需要解決的現(xiàn)實問題完全吻合,可以100%解決其現(xiàn)實問題,但由于現(xiàn)實問題的復(fù)雜性,針對某一現(xiàn)實問題構(gòu)建其理想的數(shù)學模型往往是困難的,有些甚至是不可能的.因此,在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中,往往要進行“折中”,只要能夠達到預(yù)設(shè)的解決問題的目標要求,就可以認為相應(yīng)的數(shù)學模型是合理的、有效的.

案例:教學是師生共同構(gòu)成的一個交往互動的過程,教師之所以具有不可替代性,正是因為教學具有動態(tài)性的特點.教材提供了教學的線索,提供了學生學習知識的框架，而如何讓學生真正理解知識,發(fā)展未來生活學習必備的素養(yǎng),則需要教師對教材和課堂靈活駕馭.數(shù)學是一門抽象性極強的學科,也是發(fā)展學生抽象思維的最佳學科.面對靈活多變的課堂和個性鮮明、具有較強思維能力的高中生,要想培養(yǎng)他們的數(shù)學抽象素養(yǎng),不僅要對數(shù)學知識和學生抽象思維發(fā)展特點有較好的掌握,更要在課堂中巧設(shè)疑問，把握好教學時機.

四、數(shù)學抽象的形式化特征

數(shù)學抽象的最終表現(xiàn)形式(即數(shù)學抽象的結(jié)果)通常是高度抽象化和形式化的.數(shù)學形式化的重要組成部分和表現(xiàn)形式主要體現(xiàn)為:首先,數(shù)學符號是數(shù)學思維活動最基本的物質(zhì)載體與數(shù)學思想交流與傳播的重要媒介,它能夠以最直觀、最簡明的形式來表達人們的數(shù)學思想.其次,數(shù)學符號將數(shù)學的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,從而為數(shù)學理論的表述和數(shù)學論證提供了極大的便利.再次,數(shù)學抽象的重要表現(xiàn)形式之一是公理化.公理化即從一些預(yù)先選擇的原始概念和公理出發(fā),運用邏輯方法,構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學內(nèi)容體系.數(shù)學公理化方法作為一種重要的數(shù)學方法,可以揭示一個數(shù)學系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律,從而使它系統(tǒng)化、邏輯化.從數(shù)學學科發(fā)展的角度而言,數(shù)學的形式化(公理化)可以精確的揭示數(shù)學命題或數(shù)學推理之間的邏輯聯(lián)系,合乎邏輯的推導出相應(yīng)的數(shù)學內(nèi)容體系,從數(shù)學教育的角度而言,數(shù)學抽象的形式化(公理化)特征可以訓練學生的邏輯思維能力與抽象思維能力等.在數(shù)學教學過程中,教師應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容逐步培養(yǎng)學生，形成使用合乎邏輯的數(shù)學符號進行數(shù)學推理的學習習慣與學習能力,并在數(shù)學教學過程中逐步參透數(shù)學的形式化(公理化)思想,引導學生逐步感受、理解和運用形式化(公理化)思想.

案例:雙曲線作為圓錐曲線的一種,在平時的教學中，教師常常采用從橢圓類比而來的方法,將橢圓定義中的“和”用“差”置換提出問題,并通過拉鏈畫圖讓學生感受滿足條件的點的軌跡特征,進而引出雙曲線定義,這樣的教學看似符合當下以學生為中心、讓學生在探究中得到知識的理念.但仔細剖析,不難發(fā)現(xiàn)這種探究只是一種假探究,并沒有留給學生充分的分析和想象空間.后面焦點定義的提出更是牽強,按照學生當時的知識儲備水平和思維水平,是不可能將這樣一種曲線和兩個定點聯(lián)系起來的,這兩個點是如何得到的更是無法追尋.其實可以拿出一張平整的紙張,在上面找到兩個定點F1,F2,以F1為圓心、小于F1F2的長度為半徑作圓,在圓周上任取點Pi,i=1,2,3,4,…，之后,將紙張進行折疊,使得F2與圓上的點P1重合,將折痕記為l1,通過折疊找到半徑F1P1所在直線與折痕l1的交點,記為M1，然后在圓上再取一點,記為P2,重復(fù)前面兩個步驟,得到交點M2.通過多次折疊,發(fā)現(xiàn)折痕包裹出兩條相背又相互對稱的曲線,引出雙曲線概念.

五、數(shù)學抽象的理想化特征

數(shù)學抽象是從數(shù)量關(guān)系與空間形式兩個角度來研究事物之間的本質(zhì)與規(guī)律的一種數(shù)學研究方法,在數(shù)學抽象的過程中,其面對的數(shù)學對象往往是經(jīng)過一定簡化或純化,即進行了一定理想化的.由于事物的有些屬性對研究該事物某些方面的性質(zhì)沒有直接的關(guān)系,或者所起的作用可以忽略不計,為了便于研究,常常適當舍棄與目標無關(guān)的一些屬性,建立一種高度抽象的理想個體,這就是理想化的過程.另外,從理想化的發(fā)展進程而言,理想化是一個不斷深入與完善的過程,為了逐步實現(xiàn)數(shù)學抽象的理想化,需要數(shù)學研究者對數(shù)學抽象的對象與過程進行反復(fù)歸納、概括與提煉,從數(shù)學的角度拋開事物表象的、外部的、偶然的因素,抽出事物本質(zhì)的、內(nèi)在的、必然的因素,數(shù)學抽象理想化的形成過程是漫長的、不斷發(fā)展的.另一方面看,由于數(shù)學抽象的理想化特征,使得相關(guān)的數(shù)學理論得以簡化與純化,從而使人們更容易去認識、掌握并運用它.因此,數(shù)學的研究必須借助理想化,沒有理想化,數(shù)學自身的發(fā)展將是難以想象的,有了理想化,數(shù)學的抽象才能達到更高層次.

六、數(shù)學抽象的精確性特征

數(shù)學抽象貫穿于數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程中,具有一定的精確性,在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學知識的本質(zhì)特征,揭示了數(shù)學知識之間的普遍聯(lián)系,并使得由此得到的數(shù)學知識的概括性更強、抽象程度更高、應(yīng)用性更廣等.另外,數(shù)學抽象的精確性,還體現(xiàn)在它要求我們必須用嚴謹而合理的數(shù)學基礎(chǔ)和推理過程來保證由數(shù)學抽象得到的數(shù)學知識的精確性,換言之,數(shù)學概念的精確性與推理邏輯的嚴謹性成就了數(shù)學結(jié)論的精確性和邏輯必然性.由于數(shù)學知識是客觀的、具體的(數(shù)學知識被數(shù)學家創(chuàng)造出來,并經(jīng)數(shù)學共同體確定之后,就具有了一定的客觀性),而數(shù)學抽象作為一種重要的數(shù)學研究方法,卻是靈活的,并具有一定精確性,因此,掌握某類數(shù)學知識相對而言是較為容易的,但是對數(shù)學抽象的掌握與運用,卻需要較長時間的學習與理解,并基于具體的數(shù)學學習內(nèi)容與數(shù)學學習過程,逐步加深對相應(yīng)數(shù)學抽象過程與數(shù)學抽象方法的理解與掌握程度.按通常情況下學生學習時認知的先后順序,把數(shù)學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化等五個階段,應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容與數(shù)學教學過程,以螺旋上升、逐步深入的方式,引導學生逐步經(jīng)歷與感悟、理解與運用數(shù)學抽象的以上階段.

案例:哥尼斯堡是歐洲一個美麗的城市,一條河流流經(jīng)這個美麗的城市,河里面有兩座島,有七座橋連接著岸和島、島和島,人們晚飯后沿著河岸散步,可以經(jīng)過橋走到島上,或者經(jīng)過橋走到對岸.有一天,一個人想出一個游戲來,看誰能夠不重復(fù)地走遍這七座橋.不重復(fù)地走遍這七座橋包含兩個意思,第一是要把這七座橋都走一遍,第二是不能重復(fù)地走這七座橋,每座橋都只能走一遍,幾天實踐下來,沒有一個人能找到這樣的一條路線,不是少走了一座橋,就是某座橋走了兩遍.

這是為什么呢?歐拉通過三步抽象解決了這一問題:第一步抽象是地圖的抽象.這個問題和島的開放、封閉、大、小沒有關(guān)系,和岸的開放、封閉、橋的長短、直彎也沒有關(guān)系,重要的是岸、橋、島的相對位置關(guān)系,把岸和島抽象成點,把這七座橋分別抽象成七條線.這一步抽象是對地圖的抽象,把地圖抽象成點線圖,這既簡化了問題的條件,又突出了問題的本質(zhì).第二步抽象是對問題的抽象.不重復(fù)地走遍七座橋,歐拉把它抽象成要用筆畫出這個點線圖來.既不能少畫一條線,也不能重復(fù)地畫一條線,這是對問題的抽象.這一步抽象明確了問題的本質(zhì),給出了問題的表述.第三步抽象是把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學方式的敘述.“找到一個連通的點線圖可以一筆畫出的充分必要條件,并且對可以用一筆畫出的圖形給出一筆畫的方法”這一步抽象便于發(fā)展我們數(shù)學方式的理性思維，從歐拉的三步抽象過程中可以看到數(shù)學抽象的作用和威力.

七、數(shù)學抽象的純粹性特征

數(shù)學抽象是數(shù)學教學中一種經(jīng)常性、普遍性的思維活動,也是數(shù)學活動中最基本、最重要的思維方式之一,具有一定的純粹性.數(shù)學抽象的純粹性在于它只是純粹的考慮事物與現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式,同時完全舍棄事物和現(xiàn)象的其他一切屬性,對事物與現(xiàn)象進行定量的分析,這種特殊的抽象內(nèi)容正是數(shù)學與其他學科的根本區(qū)別.數(shù)學抽象的純粹性不僅體現(xiàn)在數(shù)學抽象的內(nèi)容上,更體現(xiàn)在數(shù)學抽象的方法上,數(shù)學抽象的對象是通過邏輯建構(gòu)這一方法所獲得的,而數(shù)學對象的邏輯建構(gòu)借助于純粹的數(shù)學語言(和邏輯語言)，正是這種“純粹”的數(shù)學抽象的內(nèi)容與方法,在一定程度上保證了數(shù)學理論的精確性、邏輯性、嚴謹性.另外,數(shù)學抽象的純粹性還體現(xiàn)在其所達到的特殊高度,數(shù)學抽象的對象,并非像其他學科那樣全部依賴于客觀世界的事物,更有一部分抽象對象是為了讓人們更好地去理解其他事物或現(xiàn)象,由人們的思維直接創(chuàng)造而成的.數(shù)學抽象的這種高度純粹性,決定了它的抽象程度遠高于其他學科.

第一問屬于基礎(chǔ)題目,解不等式便可解決.第二問根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,通過作差比較,分類討論,即可使問題得到解決.第三問，證明題本來就是學生學習的難點,再加上純粹的數(shù)學證明的抽象性等原因,使得學生對于證明題會出現(xiàn)無法下手、邏輯不清等困難.學生對于抽象的問題總是想一步到位找到解決辦法,但是在平時的學習中,學生又缺乏分解問題的能力,即分步解決問題的邏輯思維和能力.對于這種抽象的題目,很多學生會選擇放棄,這十分可惜.第三問確實有一定的難度,對于充分性的證明,需要學生準確把握題干中所提供的數(shù)據(jù)信息,根據(jù)零點存在性定理準確找到零點的范圍;必要性的證明則利用了第二問單調(diào)性的結(jié)論,借助g(x)的性質(zhì)加以分解,總之,第三問的解決需要對抽象的數(shù)學證明加以分解,并通過敏銳的觀察力,結(jié)合題目分析論證.

八、數(shù)學抽象的發(fā)展性特征

數(shù)學抽象的發(fā)展性,一方面表現(xiàn)為數(shù)學抽象是具有層次性的,即對數(shù)學對象的抽象是逐級抽象、逐步完善、不斷發(fā)展的,無論是在數(shù)學學習過程中,還是在數(shù)學發(fā)展過程中,數(shù)學抽象一直在不斷的深入與豐富.具體表現(xiàn)為數(shù)學學習與研究過程是從基礎(chǔ)到復(fù)雜、從具體的事物到抽象的事物,再從初步抽象的數(shù)學結(jié)果抽象出更為抽象的數(shù)學結(jié)果.隨著抽象層次的不斷提高,數(shù)學不斷地向更高(高維,多變量)的抽象層次發(fā)展,使它包含的內(nèi)容更深刻、更遠離現(xiàn)實世界,從而使應(yīng)用與適用的范圍也越來越廣.另一方面,數(shù)學抽象的發(fā)展表現(xiàn)為學生對數(shù)學抽象的認識與理解是逐步深入的,其數(shù)學抽象能力是逐步提高與發(fā)展的,隨著學生對數(shù)學抽象對象、數(shù)學抽象過程以及由此而產(chǎn)生的數(shù)學抽象結(jié)果的深入理解,其對數(shù)學抽象的認識不再固執(zhí)于它的某一方面,而是綜合考量數(shù)學抽象各方面的本質(zhì)特征,以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互作用等.

案例:歐拉對哥尼斯堡七橋問題的研究成果,最終在圣彼得堡科學院發(fā)表,這篇論文是具有歷史意義的一篇論文,它開創(chuàng)了圖論的先河,其實也開創(chuàng)了拓撲學的先河.數(shù)學的抽象性使得一部分學生很頭疼,當然也使得很多學生因為數(shù)學的抽象美而深深地愛上了數(shù)學,不管是數(shù)學證明問題還是具體的應(yīng)用題目,只要學會數(shù)學抽象的手段,對問題加以分解,步步攻克,都會柳暗花明,得到新的成果.數(shù)學家的創(chuàng)新思維是值得我們學習和體會的,在中學教學和學習過程中,師生無時無刻不在實踐數(shù)學抽象,讓大家體會到抽象是數(shù)學的武器,是數(shù)學的優(yōu)勢,我們應(yīng)該喜愛抽象并且學會抽象的手段,體會數(shù)學精神,學會數(shù)學思維,掌握數(shù)學方法,使用數(shù)學語言,理解數(shù)學思想,提高數(shù)學素養(yǎng).