對(duì)兩道動(dòng)態(tài)問(wèn)題的剖析與思考

畢先江

[摘? 要] 新課標(biāo)大綱提出，要求學(xué)生掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)、圖形運(yùn)動(dòng)變換的規(guī)律及對(duì)應(yīng)關(guān)系，提升學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間幾何的認(rèn)識(shí). 而由此衍生的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題成為近幾年中考的重難點(diǎn)題型，該類考題具有運(yùn)動(dòng)特性，包含一定的不確定條件，可有效考查學(xué)生的分析思維. 文章以兩道動(dòng)態(tài)考題為例，分析解題思路，總結(jié)解題策略，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題;課堂教學(xué);動(dòng)點(diǎn);旋轉(zhuǎn)

問(wèn)題呈現(xiàn)及思路突破

考題1? 如圖1，在△ABC中，∠B=60°，BA=24 cm，BC=16 cm.

（1）在點(diǎn)A處有一動(dòng)點(diǎn)P，它將沿著射線AB的方向運(yùn)動(dòng);同時(shí)在點(diǎn)C處有一動(dòng)點(diǎn)Q，它將沿著射線CB的方向運(yùn)動(dòng). 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的速度為4 cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q的速度為2 cm/s，若兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則當(dāng) t為何值時(shí)，△PBQ的面積與△ABC面積的比為1 ∶ 2？

（2）在第（1）問(wèn)的條件下，試求點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離.

思路突破? （1）由條件可知點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為從點(diǎn)A和點(diǎn)C出發(fā)的動(dòng)點(diǎn)，分別沿著各自的方向運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)速度不同，故兩點(diǎn)的位置會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：①當(dāng)08時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別位于AB的延長(zhǎng)線和CB的延長(zhǎng)線上. 因此由點(diǎn)P，Q，B組成的三角形為動(dòng)態(tài)三角形，可以通過(guò)構(gòu)造面積模型的方式，將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題. 因?yàn)椤鰽BC為定三角形，所以可以通過(guò)常規(guī)方式直接求值，而△PBQ則可以將時(shí)間t代入表示相關(guān)線段長(zhǎng)，構(gòu)建面積模型.

在BC邊上取一點(diǎn)Q，作HQ⊥AB于點(diǎn)H，再過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，如圖2所示，則線段HQ和CG分別為△PBQ和△ABC的一條邊上的高. 可求得S△ABC=AB·CG=96. S△PBQ=BP·QH，其中BP=24-4t，QH=（8-t），所以S△PBQ=（24-4t）·（8-t）. 由=，得（24-4t）·（8-t）=×96，可解得t1=2，t2=12（舍去）. 所以當(dāng)t為2時(shí)，△PBQ的面積與△ABC面積的比為1 ∶ 2.

（2）在第（1）問(wèn)成立的條件下求該問(wèn)，可將t=2代入，求得點(diǎn)P和點(diǎn)Q的具體位置，即HQ=6，BQ=12，BP=16，進(jìn)而可得BH=6，PH=10. 求P和點(diǎn)Q之間的距離，實(shí)際上就是求線段PQ的長(zhǎng)，可將其放在Rt△PQH中，由直角三角形的勾股定理可得PQ2=HQ2+PH2，從而可解得PQ=4，即點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為4.

考題2? 已知△ABC為等腰三角形，AB=AC=5，∠ABC的余弦值為，現(xiàn)將△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得△A1B1C. 回答下列問(wèn)題：

（1）若旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B1位于線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，①試證明BB1∥CA1;②試求△AB1C的面積.

（2）點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，若△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F1，如圖4，設(shè)EF1長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，試求a-b的值.

思路突破? （1）①要證BB1∥CA1，分析可知需要利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”來(lái)完成，即∠B1CA1=∠BB1C，因此需要利用條件構(gòu)建起兩角的等量關(guān)系. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了△A1B1C，則∠B=∠ACB，BC=B1C，∠B1CA1=∠ACB. 由BC=B1C可得∠BB1C=∠B，所以∠B1CA1=∠BB1C. 進(jìn)而可得BB1∥CA1.

②求△AB1C的面積，可以將其視為是以B1A為底的一般三角形. 如圖5，過(guò)點(diǎn)C作BB1的垂線，垂足為E，則S△AB1C=AB1·EC，只需要求出AB1和EC的長(zhǎng)度即可.

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由等腰三角形的性質(zhì)可知BG=CG，cos∠ABC==，已知AB=5，則BG=3. 所以BC=B1C=6，進(jìn)而可求得BE=B1E=，BB1=，CE=. 所以AB1=. S△AB1C=××=，即△AB1C的面積為.

（2）本小問(wèn)求等腰三角形ABC繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EF1長(zhǎng)度最大值和最小值的差，只需要分別確定EF1的最大值和最小值即可，屬于動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題，可以模擬△ABC上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的軌跡. 定點(diǎn)到線段的垂線段最短. 如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F1，分別以點(diǎn)C為圓心，以CB和CF為半徑畫(huà)圓，如圖6所示，則在內(nèi)圓上存在EF1的最值. 由圖形可知，BC與圓的交點(diǎn)就為EF1的最小值點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)F1′ 就為EF1的最大值點(diǎn). 已知△BFC為直角三角形，其中CF=，則CF1=CF=，則EF1的最小值b=CF1-EC=，EF1的最大值a=EC+CF1′ =3+6=9，所以a-b=9-=.

試題特點(diǎn)及解法剖析

上述兩道考題均屬于初中數(shù)學(xué)典型的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，該類問(wèn)題最為典型的特點(diǎn)就是以幾何動(dòng)點(diǎn)或圖形的平移旋轉(zhuǎn)為背景實(shí)現(xiàn)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，使得問(wèn)題的幾何條件處于變化狀態(tài)，因此題中蘊(yùn)含大量的信息，求解時(shí)需要采用特定的解題策略. 而上述兩道考題的轉(zhuǎn)化和建模方式就是基于特定問(wèn)題所采用的具有代表性的方法.

策略一：構(gòu)建模型，“動(dòng)”中有“定”

考題1以動(dòng)點(diǎn)為依托，構(gòu)建了對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)三角形，要求分析特定面積關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)時(shí)刻，分析的重點(diǎn)有兩個(gè)：一是必須構(gòu)建相應(yīng)的面積模型，二是由于題目給出了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，需要利用相應(yīng)的公式建立速度、時(shí)間與線段長(zhǎng)的關(guān)系. 雖然考題中含有動(dòng)點(diǎn)，但從總體上來(lái)看依然屬于幾何面積問(wèn)題，即動(dòng)點(diǎn)中存在“定”模型，因此可以依托幾何的面積模型構(gòu)建相應(yīng)的解題思路，即利用線段長(zhǎng)=動(dòng)點(diǎn)速度×運(yùn)動(dòng)時(shí)間，建立起動(dòng)點(diǎn)位置與幾何面積之間的關(guān)系. 對(duì)于綜合數(shù)學(xué)模型的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，可以首先分析動(dòng)點(diǎn)的位置，然后結(jié)合相應(yīng)的模型將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或者函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)分析函數(shù)或解方程的方式來(lái)求解.

策略二：分析關(guān)鍵位置，“動(dòng)”中取“靜”

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的另一種重要解題策略是化“動(dòng)”為“靜”或“動(dòng)”中取“靜”，即把握幾何運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的幾個(gè)關(guān)鍵位置，通過(guò)分析其中的關(guān)鍵位置來(lái)突破考題. 如上述考題2以圖形旋轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了相應(yīng)的動(dòng)態(tài)背景，第（2）問(wèn)求線段EF1最大值與最小值的差值，顯然需要分析圖形運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)來(lái)確定這兩個(gè)特殊位置. 因此問(wèn)題分析時(shí)需要充分利用圖形旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)——圖形的形狀、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變，利用幾何圓研究線段最值的便利性來(lái)獲取特殊位置. 上述解題過(guò)程利用旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)獲得了關(guān)鍵的幾何條件，通過(guò)繪制幾何圓確定了關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用直觀的圖形達(dá)到了定點(diǎn)、定位的目的. 因此，對(duì)于以圖形運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，可以首先分析圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變條件，把握?qǐng)D形中關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而獲得圖形運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵位置，最后結(jié)合幾何知識(shí)破解.

動(dòng)態(tài)問(wèn)題思考與建議

幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題作為中考的關(guān)鍵題型，對(duì)學(xué)生的思維能力和綜合知識(shí)有著較高的要求，問(wèn)題中的點(diǎn)動(dòng)和形動(dòng)是最常見(jiàn)的方式，但分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或軌跡、構(gòu)建相應(yīng)的幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系才是重點(diǎn)，因此動(dòng)態(tài)問(wèn)題的條件提取、靜態(tài)轉(zhuǎn)化才是解題的關(guān)鍵. 下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 立足問(wèn)題生長(zhǎng)點(diǎn)，牢實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

動(dòng)態(tài)問(wèn)題的命題背景一般為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和圖形運(yùn)動(dòng)，其中幾何的性質(zhì)定理、圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是問(wèn)題突破的基礎(chǔ)，同時(shí)還需要學(xué)生熟悉基本圖形，能夠從復(fù)合圖形中提取特殊圖形，如等腰三角形、直角三角形等. 如上述考題在求解時(shí)利用了等邊對(duì)等角性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)特性等，因此課堂教學(xué)時(shí)需要教師關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)，以提升學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力為教學(xué)重點(diǎn). 另外，動(dòng)態(tài)問(wèn)題中涉及了一些幾何的通性通法，如求幾何面積的技巧、幾何中分析線段最值的方法等，這些最基本的方法對(duì)于問(wèn)題突破極為重要，合理使用可以取得良好的解題效果，教學(xué)中需要教師重點(diǎn)講解，以提升學(xué)生的解題能力.

2. 把握動(dòng)態(tài)規(guī)律，總結(jié)解題策略

動(dòng)態(tài)問(wèn)題與其他綜合性考題相比，最為突出的特點(diǎn)在于圖形中存在變化、不確定因素，需要采用變換思維來(lái)分析問(wèn)題，包括提取圖形變化的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，以及動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的不變條件. 而在構(gòu)建解題思路時(shí)，則需要采用一定的策略，如通過(guò)動(dòng)靜結(jié)合的觀點(diǎn)建立動(dòng)態(tài)和靜態(tài)條件之間的聯(lián)系，探尋動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的變量構(gòu)建相應(yīng)的模型，研究動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的特殊位置，這些解題策略對(duì)于提升學(xué)生的解題效率有著極大的幫助. 因此，在教學(xué)中，教師需要遵從問(wèn)題發(fā)展、衍生的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從最基本的問(wèn)題入手，觀察圖形特點(diǎn)，總結(jié)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特點(diǎn)及分析方法，逐步幫助學(xué)生形成解題的基本思路和策略. 同時(shí)，注重在解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展.