Taylor定理教學探究

周藝璇

(四川民族學院 理工學院，四川 康定 626000)

在高等數學中，Taylor定理是最重要的定理之一，本質上是用相對簡單的多項式函數逼近較復雜的一般函數。在求極限、求導數、求積分、不等式證明、函數性態(tài)分析、判定級數斂散性以及近似計算等方面都有著重要應用[1-4]。同時，它也是數值分析、常微分方程、最優(yōu)化理論等數學分支的重要理論基礎。Taylor定理高度的抽象性、嚴密的邏輯性往往使得初學者望而生畏。為了幫助學生理解和掌握Taylor定理，適當演繹和證明Taylor定理是非常必要的。

1 多項式逼近函數問題

由微分在近似計算中的應用可知，若f(x)在x0處可導，則

f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)+o(x-x0)。

其中f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)可以看作一次多項式P1(x)，從而有f(x)=P1(x)+o(x-x0)。若忽略高階無窮小，則可以用來P1(x)逼近f(x)。謝惠民教授在《數學分析習題課講義》[5]中以例題6.1.3為例，嚴格證明了：與任意線性函數相比，P1(x)總能找到x0的某個鄰域U(x0)，使之與f(x)的差值更小。因此，在一次多項式中，用P1(x)來逼近f(x)是最優(yōu)的。這也是高等數學教材選擇用微分近似公式引入的原因。

事實上，多項式的優(yōu)勢是很明顯的，它只涉及加法、乘法和減法三種運算，并且求導、求值都很方便。因此，如何利用多項式來描述一個給定的函數就是我們接下來逼近問題的重點。

通過對P1(x)與P2(x)進行對比分析，我們發(fā)現(xiàn)為了進一步提高精度，n次多項式Pn(x)首先得具有與P1(x)和P2(x)類似的構造，其次它的各階導數都存在。于是假設f(x)在x0處n階可導，是否存在n次多項式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，使得f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n)?下面我們說明Pn(x)的存在性和唯一性。

為了驗證求得Pn(x)的逼近f(x)的效果，選擇驗證Pn(x)逼近f(x)所產生的誤差也就是f(x)-Pn(x)是否是o((x-x0)n)是最為直接且方便的方法。如果是，得到的Pn(x)就是f(x)的很好的一個逼近。

至此，我們已經說明高次多項式可以很好的逼近一般函數。通過這樣一個詳細的推演，不僅能使學生更加清晰Taylor定理的整個證明過程，而且還能激發(fā)學生進一步深挖課本知識的興趣。從實際教學過程來看，利用直覺發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想在解決問題的過程中起著關鍵性作用。而形式推導則是驗證猜想的重要方法。這種處理方法，在能力提升方面，既可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，也可以鍛煉學生的邏輯推演能力，進一步地能更清楚的認識幾個微分中值定理之間的內在聯(lián)系，從而構建起相關理論的框架，為之后專業(yè)課程的學習提供扎實的基礎。在知識講授上，既能鞏固微分中值定理，又能比較自然的引出Taylor公式，從而使得學生更易于接受并掌握Taylor定理。從實際教學效果來看，確實取得了滿意的效果。

2 Taylor定理

把上述結論上升為定理，即第1種形式的Taylor定理。

從某種意義上講，余項Rn(x)=o((x-x0)n)也是一個誤差。即Pn(x)逼近f(x)所產生的誤差。通常Taylor公式被用于做近似計算，但是帶Peano余項的Taylor公式在實際應用中是有一定缺陷的。具體在于：

(1)精確度不夠。它只給出了余項的定性描述，說明余項是高階無窮小。

(2)誤差無法估計。具體的階數沒有體現(xiàn)，從而不能對誤差進行定量分析。

(3)適用范圍較小。帶Peano余項的Taylor公式若要和f(x)劃等號，前提必須是x與x0靠得比較近。

那自然就會產生下面一個問題：怎么樣克服Taylor公式Peano余項的缺點，而保持它的優(yōu)點。即它的右端仍然是一個多項式，但誤差項是可以進行定量分析的具體的表達式。另外還要擴大它的適用范圍，比如，是否能將附近的范圍擴大到區(qū)間上？這個區(qū)間是否可以無限？帶著這些疑問，再次回顧舊知。

如果f(x)在區(qū)間[a，b]上可導，并且假設x0∈[a，b]，x=x0+Δx∈[a，b]，則根據Lagrange中值定理有f(x)=f(x0)+f(1)(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0與x之間。

于是猜測：如果f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導，那么f(x)的表達式會不會在形式上有類似的推廣。即f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)+f(2)(ξ)(x-x0)2。

于是我們修正猜測，并總結出：如果f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導，則

3 兩種形式的Taylor定理的比較

(1)條件不同。Peano要求函數在x0處n階可導，而Lagrange要求函數在區(qū)間n+1階可導。

(2)余項的表達式不同。Peano余項是一個高階無窮小，而Lagrange的余項是具體的表達式，即對Lagrange余項可以進行定量分析。

(3)在帶Lagrange余項的Taylor公式中，x是區(qū)間I上的任意一點，沒有要求在x0附近。所以這個公式在整個區(qū)間上都是適用的。并且這個區(qū)間既可以是有限的，也可以是無限的，從而擴大了適用范圍。

(4)求解方法不同。帶Lagrange余項的Taylor公式是由Cauchy中值定理求得的，而帶Peano余項的Taylor公式則是反復應用L’Hospital法則證明。

但從本質上講，兩者都是用多項式逼近f(x)得到的，并且都是用已知點的信息：函數值，各個階導數值等來表示未知點。

類比是提出數學問題和猜想的一個重要途徑。通過使用類比的思想方法來探究Taylor定理，能更進一步讓學生加深對Taylor定理的理解與掌握。

4 舉例

以y=sinx為例，從幾何直觀理解Taylor定理。當x0=0時，有

借助matlab數學軟件，作出正弦函數sinx以及n取五次、七次、十五次時對應的多項式函數P5(x)，P7(x)，P15(x)具體的函數圖像如圖1。

圖1 當x0=0時，y=sinx與多項式函數P5(x)，P7(x)，P15(x)的圖像對比

不難看出，隨著次數的增加，多項式逼近sinx的效果越好，誤差越小?？紤]到matlab數學軟件作為學習、研究和應用數學的一種工具，在后續(xù)的一些數學及工程課程的學習有著較為廣泛的應用。我們可以將程序源代碼告訴學生，讓學生自己在課后操作，從而加深學生對于數學理論的理解，培養(yǎng)學生的科學計算、建模等技能。

程序源代碼：

>>x=-8：0.01：8；

y1=sin(x)；

y2=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)；

y3=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)-x.^7/factorial(7)；

y4=x-x.^3/factorial(3)+x.^5/factorial(5)-x.^7/factorial(7)+x.^9/factorial(9)-x.^11/factorial(11)+x.^13/factorial(13)-x.^15/factorial(15)；

plot(x，y1，‘-’)

gtext(‘sin(x)’)

hold on

plot(x，y2，‘：’)

gtext(‘p5(x)’)

hold on

plot(x，y3，‘--’)

gtext(‘p7(x)’)

hold on

plot(x，y4，‘-.’)

gtext(‘p15(x)’)

axis([-8 8 -4 4])

legend(‘sin(x)’，‘p5(x)’，‘p7(x)’，‘p15(x)’)

另一方面，這也從幾何直觀上說明多項式函數是可以逼近一般函數的。但是前提條件是多項式函數要在開區(qū)間上n+1階可導。由此可見，用多項式研究函數必然會給我們帶來極大方便。

5 結束語

用上述方式講授Taylor定理是比較嚴密的。同時，對數學中的難點，特別是證明思路和余項的比較相對全面。在講授中，采用啟發(fā)式教學方法引導學生自主探索Taylor公式，并將數學理論知識與函數圖像相結合，增加了直觀性。這樣不僅能達到復習加深已學過知識的目的，還能提高學生學習的主觀能動性，使之對學習內容產生濃厚興趣，從而激發(fā)其智力因素，加深掌握已學知識，培養(yǎng)、提高邏輯思維能力和數學素養(yǎng)，達到滿意的教學效果。