MPCK視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——以七年級“4.3.1角”新授課為例

張世欽

（廈門市翔安第一中學(xué)，福建廈門 361101）

美國學(xué)者舒爾曼（Shulman）于1986年提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論.他認(rèn)為，PCK包括（學(xué)科內(nèi)容知識、一般教學(xué)法知識、課程知識、學(xué)科教學(xué)知識、關(guān)于學(xué)生及其特性的知識、教育情境知識、教育目標(biāo)和價值的知識）等七類知識.早先人們普遍認(rèn)為只要擁有豐富的CK就是優(yōu)秀教師，事實證明教師還必須熟練掌握PK.只有當(dāng)PK與CK高度融合，教師才能將自己所掌握的純學(xué)術(shù)形態(tài)的知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生理解的教育教學(xué)形態(tài)的知識，這正是PCK理論及最初的界定.在我國，它有“學(xué)科教學(xué)知識”“學(xué)科教育知識”等多種譯法，我們直接稱之為PCK，它是PK（Pedagogical Knowledge即一般教學(xué)法知識）與CK（Content Knowledge即學(xué)科內(nèi)容知識）和教育學(xué)的特殊整合，這種知識在很大程度上決定著教師能否有效地進(jìn)行教學(xué).

一、MPCK理論

MPCK（數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識）就是從PCK泛學(xué)科研究中演繹出來且專門論述數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識，是MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識）與PCK的完美結(jié)合，是數(shù)學(xué)教師的學(xué)科關(guān)鍵能力知識.教師具備MPCK知識能夠幫助學(xué)生實現(xiàn)學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)知識向教育教學(xué)形態(tài)數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化.

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，整個數(shù)學(xué)知識體系是建立在概念之上.新課程改革要求學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、生成過程，體驗概念引入、發(fā)展、歸納及提煉歷程，讓學(xué)生在辨析概念基礎(chǔ)上鞏固概念，在構(gòu)建概念動態(tài)過程中理解、掌握、悟透概念的內(nèi)涵、外延和本質(zhì)特征，優(yōu)化思維品質(zhì)，激發(fā)創(chuàng)新意識及創(chuàng)造思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力的形成與發(fā)展，打造魅力課堂.教學(xué)實踐證明，數(shù)學(xué)教師開展概念教學(xué)應(yīng)具備三類知識即MK、PK、CK，實際教學(xué)時，教師一般需要綜合運(yùn)用這三類知識，才能把學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識有效地轉(zhuǎn)化為教育（教學(xué)）形態(tài)的數(shù)學(xué)知識，才能達(dá)到幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的目的.

二、MPCK視角下的概念課展示

在2021年廈門市市級教學(xué)視導(dǎo)活動中，陳秉藝?yán)蠋熼_了一節(jié)新授課“4.3.1角”.本節(jié)選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》（人教版）七年級上冊，是第4章“幾何圖形初步”第3節(jié)第1課時的內(nèi)容.

本節(jié)是一節(jié)概念教學(xué)課，通過優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例及教學(xué)設(shè)計，以問題解決為線索而展開，以探究式教學(xué)法為主，引導(dǎo)學(xué)生建立概念探究的方法與結(jié)構(gòu)，在“自主探索、合作交流、動手實踐”的氛圍中愉快學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”，真正成為學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生在探索新知、獲取知識的同時，看到自身潛能，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的樂趣和信心.養(yǎng)成積極探索的精神和合作意識，感受數(shù)學(xué)的魅力，具有很好的示范性.

以下分享基于MPCK視角下的教學(xué)設(shè)計、反思等亮點(diǎn)以及專家點(diǎn)評.

（一）依據(jù)課標(biāo)，合理設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，找準(zhǔn)核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn)、生長點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過實例，理解角的兩種描述，掌握角的相關(guān)概念.

（2）掌握角的四種表示方法，并能恰當(dāng)選擇表示法.

（3）會用量角器進(jìn)行角的度量.

（4）認(rèn)識角的度量單位度、分、秒，并會進(jìn)行簡單的單位換算.

2.目標(biāo)解析

（1）目標(biāo)1解析：體會數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活，并運(yùn)用于生活的科學(xué)價值與文化價值，培養(yǎng)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的熱情和對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲.

（2）目標(biāo)2解析：使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，學(xué)會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看問題，培養(yǎng)觀察、探究、抽象、概況的能力.

（3）目標(biāo)3解析：培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，運(yùn)用講練結(jié)合的方式實現(xiàn)“圖形語言—文字語言—符號語言”三種語言的自然轉(zhuǎn)換.

（4）目標(biāo)4解析：通過探究度分秒之間的換算，滲透類比的思想方法.

3.教學(xué)重點(diǎn)

（1）角的相關(guān)概念和角的表示方法.

（2）角的度量單位及單位之間的換算.

4.教學(xué)難點(diǎn)

（1）角的表示方法的選擇.

（2）角的單位轉(zhuǎn)換.

5.點(diǎn)評

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第三學(xué)段對“點(diǎn)、線、面、角”要求如下：

（1）理解角的概念，會比較角的大小.

（2）認(rèn)識度、分、秒，會對度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并會計算角的和、差.

本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有兩部分：一是角的定義，角的表示方法，用運(yùn)動的方式描述角，周角、平角等概念.二是角的度量，角的度量單位（度、分、秒）及換算，引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)的角度去認(rèn)識角的概念，進(jìn)而類比時間單位的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)角的度量和度分秒單位換算，滲透類比的思想方法.最后回顧量角器的使用，從數(shù)的角度認(rèn)識角.由此可見，除了點(diǎn)、線，角也是基本的幾何圖形之一，學(xué)生在小學(xué)對于角的圖形就已經(jīng)有粗淺的認(rèn)識，教材在介紹完直線、射線、線段后繼續(xù)學(xué)習(xí)角，從靜態(tài)和動態(tài)兩種描述理解角的概念，要求要學(xué)會如何正確表示一個角，如何度量一個角等，這既是對前面所學(xué)知識的延續(xù)，也是為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)雜圖形做準(zhǔn)備.

從MK上看，目標(biāo)的解析緊扣教材重難點(diǎn)，“角”的知識與實際生活息息相關(guān)，學(xué)生在獲得“角”概念的過程中，對已有的相關(guān)概念獲得更深刻的理解.通過探究角的靜態(tài)定義和角的表示方法，體會研究幾何圖形的方法和步驟.同時，通過角的動態(tài)定義的學(xué)習(xí)，初步會用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)研究幾何圖形.

從PK上看，教師積極引導(dǎo)學(xué)生參與課堂活動，課堂氣氛濃厚.通過豐富的數(shù)學(xué)活動，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之旅充滿著探索和創(chuàng)造，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、探究、抽象、概括的能力以及把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

從CK上看，教師設(shè)置通過實例和情景，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、舉例，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)方法，建立“為什么學(xué)—如何學(xué)—學(xué)有何用”的基本結(jié)構(gòu)體系，通過建構(gòu)知識體系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的能力.

（二）創(chuàng)設(shè)情境，優(yōu)化概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)，凸顯數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模

1.問題1：同學(xué)們，今天我們來一起學(xué)習(xí)“角”，角，你認(rèn)識嗎？

追問：你能舉出生活中的角的例子嗎？

教師在黑板上板書課題“4.3.1角”，開門見山引入.

通過學(xué)生熟悉的實際生活背景入手，讓學(xué)生在具體情境中抽象數(shù)量圖形，為探究歸納角的定義做鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生熱愛生活，體驗數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2.問題2：同學(xué)們，讓我們一起來畫角吧.

觀察圖形，什么是“角”？如何下定義？

教師與學(xué)生一起板書畫角，在畫的過程中，與學(xué)生共同回憶起“兩條射線、公共端點(diǎn)、角的邊、角的頂點(diǎn)”等角的靜態(tài)定義中的相關(guān)內(nèi)容.之后，教師請學(xué)生打開課本P132，將課本中相應(yīng)的定義劃線.（見圖1）

圖1

3.問題3：同學(xué)們，角如何表示？

追問1：在表示角時，要注意什么？

追問2：增加射線OC呢？能把∠BOC記作∠O嗎？為什么？

教師請學(xué)生閱讀課本P132相關(guān)內(nèi)容，并板書幾個角.（見圖2）

教師及時引導(dǎo)學(xué)生歸納角的四種表示方法及適用范圍：

（1）用角的頂點(diǎn)字母表示角，如：∠O

適用范圍：以該點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個.

（2）用三個大寫字母表示，表示頂點(diǎn)的字母寫在中間：∠AOB

適用范圍：可以表示任何角.

（3）用一個阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)表示：∠1

適用范圍：角的內(nèi)部沒有其他角.

（4）用一個希臘字母表示∠a.

適用范圍：角的內(nèi)部沒有其他角.

圖2

4.點(diǎn)評

學(xué)生在小學(xué)階段已對角有了初步的認(rèn)識，讓學(xué)生動手畫角，結(jié)合本章剛學(xué)的三線（直線、射線、線段），學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)角的組成特征，更容易理解和歸納角的概念，學(xué)生操作、探究、交流，形成角的相關(guān)概念，經(jīng)歷從具體情境中抽象數(shù)學(xué)概念并回歸生活情景，經(jīng)歷對具體問題的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、探究、猜測、聯(lián)想與概括能力；在概念生成過程中，教師不斷的設(shè)問與追問，點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.在教學(xué)過程中注意規(guī)范書寫，實現(xiàn)“圖形語言—文字語言—符號語言”三種語言的自然轉(zhuǎn)換，體會三種語言的轉(zhuǎn)化與數(shù)學(xué)的簡潔美.

從MK上看，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》三學(xué)段對“角”的論述是根據(jù)學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)提出的，本節(jié)課所學(xué)的角是平面幾何最基本的圖形之一，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線、射線和線段，特別是掌握了線段基本學(xué)習(xí)方法，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)角的兩種定義和四種表示方法，進(jìn)而學(xué)習(xí)角的換算與度量，為后續(xù)深化學(xué)習(xí)角的相關(guān)知識奠定基礎(chǔ)，也為幾何概念學(xué)習(xí)打下扎實的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)體系。數(shù)學(xué)源于生活，教師用學(xué)生熟悉的實際生活素材，讓學(xué)生在具體情境中抽象數(shù)量圖形，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，凸顯MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識）的價值。

從PK上看，在教法上，主要采用探索體驗式的教學(xué)模式，學(xué)生在小學(xué)對于角的圖形就已經(jīng)有粗淺的認(rèn)識，教材在介紹完直線、射線、線段后繼續(xù)學(xué)習(xí)角，從靜態(tài)和動態(tài)兩種描述理解角的概念，并要求要學(xué)會如何正確表示一個角，經(jīng)歷在現(xiàn)實情境中認(rèn)識角的數(shù)學(xué)活動過程，感受圖形世界的豐富多彩，增強(qiáng)審美意識，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

從CK上看，在學(xué)法上，教師善于鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生對角并不陌生，但如何理解角的概念、正確表示一個角還缺乏深刻理解，故在課堂上重點(diǎn)關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生如何選擇正確的方式表示一個角是教學(xué)的關(guān)鍵.對于學(xué)生能正確總結(jié)歸納角的四種表示方法及適用范圍，教師均給予充分的肯定.

（三）活動載體，識別探究概念本質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng)

1.問題1：如果我們從運(yùn)動的角度來看，角是如何生成的？

追問1：通過剛才的演示，你能否再給角一個定義呢？

追問2：在旋轉(zhuǎn)的過程中，有哪些特殊的角？

教師用兩只手展示運(yùn)動變化并進(jìn)行說明：我們知道，隨著兩條射線張開的大小不同，角也就不一樣.緊接著，教師用圓規(guī)，從兩條射線重合開始進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考角的動態(tài)定義：角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

教師多媒體展示小程序“認(rèn)識角”，學(xué)生在動畫中再次體會角的生成過程，認(rèn)識平角和周角.

2.問題2：周角是多少度？你知道1度的角是怎么來的嗎？

追問：除了“度”之外，還有其它的度量單位嗎？

學(xué)生學(xué)習(xí)度分秒60進(jìn)制的轉(zhuǎn)化，教師進(jìn)一步類比說明：角的度、分、秒是60進(jìn)制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的.

［教師板書］

時間：時、分、秒

角度：度、分、秒（60進(jìn)制）

3.問題3：給你一個具體的度數(shù)，你會畫出這個角嗎？怎么畫？

追問：還記得量角器怎么使用嗎？

教師啟發(fā)學(xué)生，如果是30°、45°、60°、90°等特殊角，可以直接借助三角尺，其他的可以用量角器.教師通過多媒體輔助，可使學(xué)生熟練掌握使用量角器準(zhǔn)確獲得一個角的大小，且可以根據(jù)度數(shù)準(zhǔn)確畫角，從數(shù)的角度認(rèn)識角.

4.點(diǎn)評

該環(huán)節(jié)用運(yùn)動觀點(diǎn)看問題，為學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間，運(yùn)用動態(tài)描述學(xué)習(xí)平角、周角，可加深對概念的理解.這樣通過類比線段的學(xué)習(xí)，重新探究認(rèn)識角，形成類比思想，體會幾何概念的學(xué)習(xí)方法，體驗概念學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化價值；經(jīng)歷從具體情境中抽象數(shù)學(xué)概念并回歸生活情景，經(jīng)歷對具體問題的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、探究、抽象與概括能力；通過角的動態(tài)定義學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生會用運(yùn)動、變化的觀念看待問題，培養(yǎng)識圖能力.

從MK上看，明確本環(huán)節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是理解角的多種表示方法和熟練進(jìn)行角度的準(zhǔn)確換算，通過本部分知識的學(xué)習(xí)將為后面繼續(xù)探究角的知識，如角的和差、角平分線等做下鋪墊，也為今后高中學(xué)習(xí)做好知識儲備.

從PK上看，將多媒體有機(jī)融入課堂教學(xué)，以教學(xué)目標(biāo)為基點(diǎn)，細(xì)化教學(xué)環(huán)節(jié)，合理設(shè)置學(xué)生活動，運(yùn)用類比的方式指導(dǎo)學(xué)生自主探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

從CK上看，教師通過開展活動設(shè)置問題，實物動態(tài)演示，啟發(fā)學(xué)生思考角的產(chǎn)生過程.對于問題2，教師不是直接讓學(xué)生回答，而是追問：“除了度之外，還有其他的度量單位嗎？”鼓勵學(xué)生大膽猜想、質(zhì)疑、比較、遷移，讓學(xué)生對“角的轉(zhuǎn)化”有更深的體會.在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解性記憶：角的轉(zhuǎn)化是60進(jìn)制的，這和計量時間的轉(zhuǎn)化是一樣的.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的概念不僅數(shù)量多，而且抽象，需要在有效、恰當(dāng)?shù)牟呗灾笇?dǎo)下，演繹為具體、生動的案例，便于學(xué)生容易接受、理解和掌握的概念.教師要有足夠的耐心、智慧，綜合、合理運(yùn)用學(xué)科教學(xué)策略，掌握MPCK的核心知識，從某種意義上，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是衡量一個數(shù)學(xué)教師專業(yè)功力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)桿.未來，須不斷優(yōu)化發(fā)展MPCK的核心知識，以促進(jìn)教師專業(yè)成長.