改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法

孫攀旭，楊 紅,2

(1. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2. 重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

合理的阻尼模型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果正確的關(guān)鍵之一，黏性阻尼模型和復(fù)阻尼模型是最為常用的兩種阻尼模型[1-3]。黏性阻尼模型具有數(shù)學(xué)簡(jiǎn)易性，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便[4-5]，但結(jié)構(gòu)每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率相關(guān)，這與大部分工程材料的試驗(yàn)結(jié)果不符[6]。復(fù)阻尼模型是在試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上建立的，且具有每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，但其自由振動(dòng)通解中包含發(fā)散項(xiàng)，導(dǎo)致時(shí)域計(jì)算結(jié)果不能穩(wěn)定收斂[7-9]。如何克服復(fù)阻尼模型的缺陷，成為亟待解決的問(wèn)題。

關(guān)于復(fù)阻尼模型的時(shí)域發(fā)散問(wèn)題，常見(jiàn)的解決途徑是結(jié)合其他阻尼模型的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)造出等效復(fù)阻尼模型，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算。例如，采用復(fù)頻率法[10-11]、應(yīng)變能法[12-13]等計(jì)算出等效阻尼比，可得到等效黏性阻尼模型；Boit[14]提出了核函數(shù)為Voigt 函數(shù)的等效指數(shù)阻尼模型，為保證計(jì)算精度，可將核函數(shù)進(jìn)一步拓展為Maxwell-Wiechert 函數(shù)[15-17]。廖振鵬[18]、周正華等[19]、Yang 等[20]為避免指數(shù)阻尼的復(fù)雜計(jì)算過(guò)程，采用最小二乘法得到一種等效于復(fù)阻尼模型的五參數(shù)黏彈性本構(gòu)模型；Wang[21]將復(fù)阻尼矩陣等效為Rayleigh 阻尼矩陣，提出了等效Rayleigh阻尼模型，劉慶林等[22]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了等效Caughey 阻尼模型。

上述等效復(fù)阻尼模型的主要問(wèn)題是誤差估計(jì)較為困難，且等效準(zhǔn)則的合理性難以判定。因此，一些學(xué)者直接對(duì)修正復(fù)阻尼模型進(jìn)行研究，期望解決其缺陷。朱鏡清和朱敏[23]、Pan 等[24]直接舍棄自由振動(dòng)通解中發(fā)散項(xiàng)的計(jì)算方法，保證了計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，但這種處理在數(shù)學(xué)上不夠精確[25-26]，并且也沒(méi)有克服復(fù)阻尼模型本身存在的缺陷。Clough 和Penzien[1]、Chen 等[27]對(duì)復(fù)阻尼模型進(jìn)行了修正，假定阻尼力的大小與結(jié)構(gòu)體系的位移大小成正比，且與速度的方向相反，提出了遲滯阻尼模型，以保證結(jié)構(gòu)每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)，但存在耗能不守恒和非線性的問(wèn)題。筆者[28]在遲滯阻尼模型的基礎(chǔ)上，利用能量守恒得到了改進(jìn)遲滯阻尼模型，但沒(méi)有解決非線性的問(wèn)題。朱鏡清[29]和筆者[30]在復(fù)阻尼模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建出頻率相關(guān)黏性阻尼模型，以處理時(shí)域發(fā)散問(wèn)題，但未考慮正、負(fù)頻率共軛的影響。Inaudi 和Kelly[31]引入正、負(fù)頻率共軛的條件，對(duì)復(fù)阻尼模型的頻域運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了修正，并提出了對(duì)應(yīng)的滯變阻尼模型。滯變阻尼模型不僅保證了運(yùn)動(dòng)方程的完備性，且有效解決了復(fù)阻尼模型自由振動(dòng)通解中的發(fā)散問(wèn)題[32]，但滯變阻尼模型的有阻尼自振頻率隨著損耗因子的增加而增加，與實(shí)際不符。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文在保留滯變阻尼模型每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)的優(yōu)點(diǎn)的情況下，通過(guò)構(gòu)建改進(jìn)滯變阻尼模型，在復(fù)數(shù)域內(nèi)建立改進(jìn)滯變阻尼模型的拉氏運(yùn)動(dòng)方程及相應(yīng)的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程。然后依據(jù)信號(hào)識(shí)別方法，結(jié)合改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程特點(diǎn)，提出基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法和基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算。

1 改進(jìn)滯變阻尼模型

1.1 復(fù)阻尼模型

在諧波作用下，大部分工程結(jié)構(gòu)存在穩(wěn)態(tài)反應(yīng)每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)的試驗(yàn)現(xiàn)象，依據(jù)試驗(yàn)現(xiàn)象可構(gòu)建出復(fù)阻尼模型的頻域運(yùn)動(dòng)方程[33]：

-?2mY(i?)+iηkY(i?)+kY(i?)=-mP(i?) (1)

式中： m 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量； k 為結(jié)構(gòu)的剛度； η為結(jié)構(gòu)的損耗因子；P(i?) 為p(t)的傅里葉變換項(xiàng)；

式中： A 為諧波的振幅； θ為諧波的振動(dòng)頻率。

式中：y(t)為結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的復(fù)數(shù)表達(dá)式；實(shí)部x(t)為結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

采用傅里葉逆變換，式(1)對(duì)應(yīng)的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

m¨y(t)+iηky(t)+ky(t)=-mp(t)(4)

式(4)是建立在諧波作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)基礎(chǔ)上的，僅適用于分析諧波作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。將式(4)進(jìn)一步推廣到外激勵(lì)作用下包含結(jié)構(gòu)瞬態(tài)反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的時(shí)域過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

m¨y(t)+iηky(t)+ky(t)=-mg(t)(5)

式中，g(t)為外激勵(lì)加速度。

文獻(xiàn)[34]的研究結(jié)果表明式(5)不是完備方程，求解得到的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)明顯偏小。為保證方程的完備性，利用復(fù)化對(duì)偶原則[25,35]對(duì)式(5)進(jìn)行修正，可得對(duì)應(yīng)的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

m¨y(t)+iηky(t)+ky(t)=-m[g(t)+ig′(t)](6)

式中，g′(t) 為g(t)的復(fù)化對(duì)偶項(xiàng)。

式(6)對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)方程為：

式(7)的自由振動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式為：

式中， A1、 A2、 A3和 A4為待定系數(shù)，可由初始條件進(jìn)行確定。

由式(8)和式(9)可知復(fù)阻尼模型的自由振動(dòng)響應(yīng)中包含指數(shù)增長(zhǎng)項(xiàng)，其時(shí)域計(jì)算結(jié)果將會(huì)隨著外部作用時(shí)間的增加，逐漸出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

對(duì)式(6)進(jìn)行傅里葉變換，得到對(duì)應(yīng)的頻域運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：G(i?) 為g(t)的傅里葉變換項(xiàng)；G′(i?)為g′(t)的傅里葉變換項(xiàng)。

取式(10)中結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)對(duì)應(yīng)的頻域運(yùn)動(dòng)方程，可得：

式中，X(i?) 為x(t)的傅里葉變換項(xiàng)。

1.2 滯變阻尼模型

為考慮負(fù)頻率的影響，將式(11)進(jìn)行改進(jìn)，得到基于復(fù)阻尼模型的滯變阻尼模型頻域運(yùn)動(dòng)方程為[31-32]：

其中：

對(duì)式(12)進(jìn)行傅里葉逆變換，可得到滯變阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，xH(t) 為x(t)的希爾伯特變換項(xiàng)。

式(14)對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)響應(yīng)的表達(dá)式為：

式中， B1和 B2為待定系數(shù)，可由初始條件進(jìn)行確定。

由式(15)和式(16)可知，滯變阻尼模型的自由振動(dòng)響應(yīng)中不包含發(fā)散項(xiàng)，保證了時(shí)域計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定收斂。

復(fù)化對(duì)偶原則為：

希爾伯特變換原則為：

式中：[sin(θt)]H為sin(θt)的希爾伯特變換；[cos(θt)]H為cos(θt)的希爾伯特變換。

由式(17)和式(18)對(duì)比可知，復(fù)阻尼模型的復(fù)化對(duì)偶原則實(shí)質(zhì)上就是希爾伯特變換。因此，滯變阻尼模型在保留了復(fù)阻尼模型的完備性基礎(chǔ)上，克服了復(fù)阻尼模型的時(shí)域發(fā)散缺陷。但由式(16)可知，隨著損耗因子的增加，有阻尼自振頻率 ωh將逐漸增大。這種現(xiàn)象與實(shí)際不符。

1.3 改進(jìn)滯變阻尼模型

式(12)在計(jì)算過(guò)程中采用的是復(fù)平面法，?為復(fù)頻率，對(duì)應(yīng)的符號(hào)函數(shù)sgn(?)與式(13)的定義是矛盾的，從而導(dǎo)致滯變阻尼模型的時(shí)域方程中有阻尼自振頻率隨著損耗因子的增加而增加。針對(duì)該問(wèn)題，考慮到復(fù)頻率的虛部為結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率，在頻域內(nèi)本文提出改進(jìn)滯變阻尼模型，即將式(12)進(jìn)一步改進(jìn)為：

顯然， ?為復(fù)頻率時(shí)，在頻域內(nèi)定義運(yùn)動(dòng)方程是不準(zhǔn)確的，此時(shí)，采用復(fù)數(shù)域內(nèi)的拉氏運(yùn)動(dòng)方程表示改進(jìn)滯變阻尼模型是更符合實(shí)際情況的做法，借助于拉普拉斯變換，構(gòu)建復(fù)數(shù)域內(nèi)的改進(jìn)滯變阻尼模型運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：X(s) 為x(t)的拉普拉斯變換；G(s) 為g(t)的拉普拉斯變換。

采用拉普拉斯逆變換，可得到改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

式中， ?v為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的振動(dòng)頻率。

式(21)對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)方程為：

對(duì)式(22)進(jìn)行拉普拉斯變換后，可得：

式(23)包含符號(hào)函數(shù)和虛部函數(shù)，求解X(s)是困難的，因此，可采用特征值法求解式(22)。

改進(jìn)滯變阻尼模型的特征值方程為：

令：

將式(25)代入式(24)，可得：

求解式(26)，可得：

進(jìn)一步得到2 個(gè)共軛特征值為：

依據(jù)特征值和常數(shù)變易法，可得到對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式為：

其中：

由式(29)和式(30)可知，本文基于復(fù)數(shù)域內(nèi)的拉氏運(yùn)動(dòng)方程創(chuàng)建的改進(jìn)滯變阻尼模型的自由振動(dòng)響應(yīng)中不包含發(fā)散項(xiàng)，時(shí)域計(jì)算結(jié)果是穩(wěn)定收斂的，可克服復(fù)阻尼模型的缺陷；隨著損耗因子的增加，有阻尼自振頻率 ωg隨著損耗因子的增加而逐漸減小，可克服傳統(tǒng)滯變阻尼模型的缺陷。

2 改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法

對(duì)于基于改進(jìn)滯變阻尼模型的比例阻尼體系，可直接采用傳統(tǒng)的實(shí)模態(tài)疊加法，將多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程分解為單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而采用實(shí)模態(tài)疊加實(shí)現(xiàn)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算。對(duì)于基于改進(jìn)滯變阻尼模型的非比例阻尼體系，可將多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域內(nèi)拉氏運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)一步采用復(fù)模態(tài)疊加法將多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程分解為單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而采用復(fù)模態(tài)疊加實(shí)現(xiàn)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算。因此，為求解基于改進(jìn)滯變阻尼模型的單自由度體系時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程，本文分別提出基于傅里葉變換和希爾伯特-黃變換的單自由度體系動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算方法。

2.1 基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法

基于改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程中包含有振動(dòng)頻率的未知項(xiàng)，因此，無(wú)法通過(guò)常用的時(shí)程計(jì)算方法包括常平均加速度法、Newmark-β法、中心差分法等逐步積分法[1-2]計(jì)算其時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)。為此，采用快速傅里葉變換法，將外激勵(lì)加速度用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)[36]，可得：

將式(31)代入式(21)，可得：

令式(32)的一般解為：

式中：xc(t)為式(32)對(duì)應(yīng)的齊次方程通解；xp(t)為式(32)對(duì)應(yīng)的非齊次方程特解。

令：

將式(33)和式(34)代入式(32)，可得：

式中：xc(t)為式(35)的通解；xp,0(t)為式(36)的特解；xp,n(t)為式(37)的特解。

式(35)的通解與自由振動(dòng)響應(yīng)相同，可表示為：

式中， D1和 D2為待定系數(shù)。

式(36)的特解為：

令式(37)的特解為：

將式(40)代入式(37)，可得：

由式(38)～式(41)可得到式(32)的一般解為：

其中：

綜上，由式(42)可實(shí)現(xiàn)基于傅里葉變換的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域計(jì)算方法。該方法是一種全局過(guò)程的計(jì)算方法，可計(jì)算出任意時(shí)刻的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，且無(wú)條件穩(wěn)定收斂?；诟道锶~變換的時(shí)域方法可在MATLAB 軟件平臺(tái)上通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的算法流程如圖1 所示。

圖 1 基于傅里葉變換的時(shí)域方法流程圖Fig.1 Flow chart of the proposed time-domain method based on Fourier transform

2.2 基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法

首先將時(shí)間離散化，即按照步長(zhǎng) Δt對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，任意時(shí)刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2,···)。采用希爾伯特-黃變換法[37]對(duì)外激勵(lì)加速度進(jìn)行識(shí)別分析，由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)將外激勵(lì)加速度分解為s 條本征模函數(shù)(imf)和殘余分量，進(jìn)一步利用希爾伯特變換識(shí)別出imf 的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)振幅等信息。由此， tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻，外激勵(lì)加速度可表示為：

式中： θj,k為第j 條imf 分量 tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻的瞬時(shí)頻率； φj,k為第j 條imf 分量tk時(shí)刻的瞬時(shí)相位；Ij(t)為第j 條imf 分量的瞬時(shí)振幅；r(t)為殘余分量。

第j 條分量tk+1時(shí)刻的瞬時(shí)相位可表示為：

將式(44)代入式(21)，可得：

令式(46)的一般解為：

式中：xc(t)為式(46)對(duì)應(yīng)的齊次方程通解；xp(t)為式(46)對(duì)應(yīng)的非齊次方程特解。

令：

將式(47)和式(48)代入式(46)，可得：

式中：xc(t)為式(49)的通解；xp,0(t)為式(50)的特解；xp,j(t)為式(51)的特解。

式(49)的通解與自由振動(dòng)響應(yīng)相同，可表示為：

式(50)的特解為：

令式(51)的特解為：

將式(54)代入式(51)可得：

求解式(55)，可得：

將式(52)～式(56)代入式(47)，可得tk+1時(shí)刻結(jié)構(gòu)的位移為：

tk+1

由式(57)可進(jìn)一步得到 時(shí)刻結(jié)構(gòu)的速度為：

式中：

依據(jù)式(57)～式(59)，可由 tk時(shí)刻結(jié)構(gòu)的位移和速度計(jì)算出tk+1時(shí)刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)了基于希爾伯特-黃變換的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域計(jì)算方法。該方法是一種時(shí)域逐步計(jì)算方法，同時(shí)也是無(wú)條件收斂的。基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域方法可在MATLAB軟件平臺(tái)上通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的算法流程如圖2所示。

圖 2 基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域方法流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed time-domain method based on Hilbert-Huang transform

3 算例分析

3.1 諧波作用下的時(shí)域精確計(jì)算方法

隨機(jī)激勵(lì)可近似視為諧波的疊加，因此分析諧波作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)具有代表性。以兩條諧波組合得到的外激勵(lì)信號(hào)為例，對(duì)比分析本文提出的時(shí)域計(jì)算方法。

采集到的外激勵(lì)信號(hào)通常情況下是離散的，按照步長(zhǎng) Δt對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，任意時(shí)刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2,···)。外激勵(lì)加速度可表示為：

式中：

式中：h1(t) 和h2(t)分別為第一諧波分量和第二諧波分量的振幅函數(shù)； φk和 φk分別為第一諧波分量和第二諧波分量 tk時(shí)刻的相位；φk+1和φk+1分別為第一諧波分量和第二諧波分量tk+1時(shí)刻的相位；q1(t) 和q2(t)分別為第一諧波分量和第二諧波分量的振動(dòng)頻率函數(shù)。

與基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法相同，依據(jù)外激勵(lì)加速度的表達(dá)式，采用齊次方程通解和非齊次方程特解分別求解并疊加計(jì)算的方法，可得到諧波作用下改進(jìn)阻尼模型的時(shí)域精確計(jì)算結(jié)果。

3.2 算例1

以損耗因子為0.5，自振頻率為30 rad/s 的單自由度體系為例，對(duì)體系作用外激勵(lì)R-1，激勵(lì)作用時(shí)間為15 s。外激勵(lì)R-1 的具體參數(shù)為：外激勵(lì)加速度的采樣頻率為100 Hz，對(duì)應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.01 s，第一諧波分量和第二諧波分量的參數(shù)見(jiàn)式(63)，外激勵(lì)R-1 的加速度時(shí)程如圖3 所示。

考慮到快速傅里葉變換法對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)的要求，首先對(duì)外激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)零處理[1](下同)。隨后，對(duì)外激勵(lì)R-1 進(jìn)行快速傅里葉變換，可得到對(duì)應(yīng)的傅里葉變換譜如圖4 所示，表明其可準(zhǔn)確識(shí)別出外激勵(lì)R-1 中兩條諧波的頻率。

圖 3 外激勵(lì)R-1 的加速度時(shí)程Fig.3 Acceleration time-history of external excitation R-1

圖 4 外激勵(lì)R-1 的傅里葉變換譜Fig.4 Fourier transform spectrum of external excitation R-1

考慮到希爾伯特-黃變換的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，采用正弦波法對(duì)[38-39]外激勵(lì)R-1 的兩端進(jìn)行延拓處理，進(jìn)而對(duì)外激勵(lì)R-1 進(jìn)行EMD 計(jì)算，當(dāng)殘余分量為單調(diào)函數(shù)或最大值小于0.05 m/s2時(shí)停止分解[37,40](下同)。由外激勵(lì)R-1 的EMD 結(jié)果可知，imf1 和imf2 是主要分量，imf1 對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率，與外激勵(lì)R-1 中第一條諧波分量(hw1)的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率近似相等(見(jiàn)圖5(a)和圖6(a))；imf2 的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率則與外激勵(lì)R-1 中第二條諧波分量(hw2)的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率近似相等(見(jiàn)圖5(b)和圖6(b))。因此，希爾伯特-黃變換法可準(zhǔn)確識(shí)別出外激勵(lì)R-1 中兩條諧波的振幅和頻率。

圖 5 外激勵(lì)R-1 的瞬時(shí)振幅對(duì)比Fig.5 Comparison of instantaneous amplitudes of external excitation R-1

圖 6 外激勵(lì)R-1 的瞬時(shí)頻率對(duì)比Fig.6 Comparison of instantaneous frequencies of external excitation R-1

分別采用基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法(IF)、基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法(IH)和時(shí)域精確計(jì)算方法(IP)計(jì)算該算例單自由度體系的加速度時(shí)程，結(jié)果如圖7 所示。IF、IH 和IP 計(jì)算的結(jié)構(gòu)加速度時(shí)程近似相等(見(jiàn)圖7)，IF和IH 的加速度峰值相對(duì)誤差都小于5%(見(jiàn)表1)，證明了IF 和IH 的正確性。IF 是一種全局過(guò)程的計(jì)算方法，可計(jì)算任意時(shí)刻的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，不用進(jìn)行時(shí)域逐步計(jì)算，結(jié)果更為直觀。IF 利用快速傅里葉變換將任意外激勵(lì)信號(hào)分解為一系列三角函數(shù)分量和常數(shù)分量，僅產(chǎn)生較小的近似誤差，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)證明是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。但I(xiàn)F 的計(jì)算耗時(shí)遠(yuǎn)大于IH(見(jiàn)表1)，這是因?yàn)橥饧?lì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，需要分解為Nc/2 條諧波，IH 進(jìn)行希爾伯特-黃變換時(shí)僅分解為8 條信號(hào)分量。相比IF，IH 是一種時(shí)域逐步計(jì)算方法，計(jì)算結(jié)果依賴于前一時(shí)刻的結(jié)果；同時(shí)希爾伯特-黃變換法中存在端點(diǎn)效應(yīng)，為初始時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果引入了誤差，并隨著時(shí)域逐步計(jì)算影響整個(gè)過(guò)程的計(jì)算精度。由于目前常用的端點(diǎn)效應(yīng)處理方法并不能完全消除端點(diǎn)效應(yīng)的影響，導(dǎo)致IH 的計(jì)算誤差不易估計(jì)。此外，EMD 分解法和端點(diǎn)效應(yīng)消除方法是一種經(jīng)驗(yàn)分解方法，導(dǎo)致IH 缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論支持。

圖 7 外激勵(lì)R-1 作用下的結(jié)構(gòu)加速度時(shí)程響應(yīng)Fig.7 Structural acceleration responses time-history under external excitation R-1

表 1 外激勵(lì)R-1 作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Table 1 Comparison of structural dynamic responses under external excitation R-1

3.3 算例2

采用與算例1 相同的單自由度模型，對(duì)體系作用外激勵(lì)R-2，激勵(lì)作用時(shí)間為15 s。外激勵(lì)R-2的具體參數(shù)為：外激勵(lì)加速度的采樣頻率為100 Hz，對(duì)應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng) Δt為0.01 s，第一諧波分量和第二諧波分量的參數(shù)見(jiàn)式(64)，外激勵(lì)R-2 的加速度時(shí)程如圖8 所示。

圖 8 外激勵(lì)R-2 的加速度時(shí)程Fig.8 Acceleration time-history of external excitation R-2

與算例1 不同，算例2 的外激勵(lì)R-2 的兩條諧波的瞬時(shí)頻率是變化的。計(jì)算結(jié)果表明：由于傅里葉變換法是從能量角度對(duì)外激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行分解，對(duì)于隨時(shí)間變化的瞬時(shí)頻率，不能進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別，僅能確定外激勵(lì)R-2 的頻率范圍(見(jiàn)圖9)。相比傅里葉變換法，希爾伯特-黃變換法可識(shí)別出外激勵(lì)R-2 中諧波分量的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率。由外激勵(lì)R-2 的EMD 結(jié)果可知，imf1 和imf2 是主要分量，可對(duì)比分析imf1 和hw1、imf2 和hw2的瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率，結(jié)果如圖10 和圖11所示。

圖 9 外激勵(lì)R-2 的傅里葉變換譜Fig.9 Fourier transform spectrum of external excitation R-2

分別采用IF、IH 和IP 計(jì)算外激勵(lì)R-2 作用下體系的加速度時(shí)程，結(jié)果如圖12 所示。表2 所示，與算例1 的計(jì)算結(jié)果相比，IF 和IH 的計(jì)算精度都有所下降，IF 的加速度峰值相對(duì)誤差由0.42%增加到25.20%，IH 的加速度峰值相對(duì)誤差由1.28%增加到9.00%。與恒定頻率的外激勵(lì)R-1 相比，希爾伯特-黃變換法對(duì)具有瞬時(shí)變化頻率的外激勵(lì)R-2 的識(shí)別精度有所下降，但可粗略識(shí)別出其變化趨勢(shì)。相比IF，IH 的計(jì)算量更少、計(jì)算精度更高。傅里葉變換方法受限于W.Heisenberg 不確定準(zhǔn)則，無(wú)法有效識(shí)別出外激勵(lì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率等信息，而希爾伯特-黃變換方法具有自適應(yīng)性，可有效識(shí)別出任意非平穩(wěn)外激勵(lì)信號(hào)的瞬時(shí)信息。因此，與IF 相比，IH 具有更寬泛的適用范圍。

圖 10 外激勵(lì)R-2 的瞬時(shí)振幅對(duì)比Fig.10 Comparison of instantaneous amplitudes of external excitation R-2

圖 11 外激勵(lì)R-2 的瞬時(shí)頻率對(duì)比Fig.11 Comparison of instantaneous frequencies of external excitation R-2

圖 12 外激勵(lì)R-2 作用下的結(jié)構(gòu)加速度時(shí)程響應(yīng)Fig.12 Structural acceleration responses time-history under external excitation R-2

表 2 外激勵(lì)R-2 作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Table 2 Comparison of structural dynamic responses under external excitation R-2

3.4 算例3

以損耗因子為0.5 的多自由度體系為例，質(zhì)量剛度分布如圖13 所示。對(duì)體系作用外激勵(lì)R-2，激勵(lì)作用時(shí)間為15 s，結(jié)合模態(tài)疊加法，可分別采用IF、IH 和IP 計(jì)算外激勵(lì)R-2 作用下體系頂層的加速度時(shí)程，結(jié)果如圖14 所示。表3 所示，IF 的加速度峰值相對(duì)誤差為25.17%，IH 的加速度峰值相對(duì)誤差為4.05%。與算例2 的計(jì)算結(jié)果規(guī)律一致，IF 的相對(duì)誤差最大，且計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng)。

圖 13 模型示意圖Fig.13 Schematic of model

圖 14 外激勵(lì)R-2 作用下的結(jié)構(gòu)頂層加速度時(shí)程響應(yīng)Fig.14 Structural top acceleration responses time-history under external excitation R-2

表 3 外激勵(lì)R-2 作用下結(jié)構(gòu)頂層的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Table 3 Comparison of structural top dynamic responses under external excitation R-2

4 討論

通過(guò)分析改進(jìn)滯變阻尼模型的特點(diǎn)，并對(duì)比基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法和基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法可知：

(1)改進(jìn)滯變阻尼模型的阻尼矩陣構(gòu)造容易，僅依賴于材料損耗因子和結(jié)構(gòu)剛度矩陣，在后續(xù)研究中可更方便地用于非比例阻尼體系的動(dòng)力響應(yīng)分析，如設(shè)置了耗能阻尼器的建筑結(jié)構(gòu)等。

(2)基于改進(jìn)滯變阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法的缺陷來(lái)源于信號(hào)識(shí)別方法的局限性。相比傅里葉變換法、小波變換法，希爾伯特-黃變換法可以更加準(zhǔn)確地識(shí)別振動(dòng)頻率與時(shí)間的關(guān)系，但常用的端點(diǎn)效應(yīng)處理法和EMD 分解法存在缺陷。在后續(xù)研究中，可采用優(yōu)化極值延拓、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)等方法減小端點(diǎn)效應(yīng)；可采用多項(xiàng)式曲線、B 樣條曲線、冪函數(shù)曲線等代替?zhèn)鹘y(tǒng)樣條曲線進(jìn)行插值，以提高計(jì)算精度。

5 結(jié)論

本文依據(jù)基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)滯變阻尼模型，提出了不同的時(shí)域計(jì)算方法，并通過(guò)算例分析得出如下結(jié)論：

(1)在復(fù)阻尼模型的基礎(chǔ)上，提出了基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)滯變阻尼模型，創(chuàng)建了對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)域內(nèi)拉氏運(yùn)動(dòng)方程和時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程。改進(jìn)滯變阻尼模型不僅克服了復(fù)阻尼模型的時(shí)域計(jì)算發(fā)散缺陷，還克服了滯變阻尼模型的有阻尼自振頻率隨損耗因子增加而增加的缺陷。依據(jù)外激勵(lì)加速度的識(shí)別方法，分別提出了基于傅里葉變換、基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法。

(2)基于傅里葉變換的時(shí)域計(jì)算方法是一種全局過(guò)程的計(jì)算方法，可直接計(jì)算任意時(shí)刻的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，但計(jì)算量較大，且無(wú)法識(shí)別瞬時(shí)頻率。求解頻率隨時(shí)間變化的外激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，其計(jì)算精度較低。

(3)基于希爾伯特-黃變換的時(shí)域計(jì)算方法是一種時(shí)域逐步積分算法，計(jì)算量較小、適用范圍更廣。EMD 分解和端點(diǎn)效應(yīng)影響外激勵(lì)加速度的識(shí)別精度，導(dǎo)致該方法的計(jì)算誤差不易估計(jì)。