崔云安,安莉麗
(哈爾濱理工大學 理學院,哈爾濱 150080)
Orlicz空間作為一類特殊的Banach空間,自從1932年波蘭數(shù)學家Orlicz引入Orlicz空間以來,Orlicz空間理論就因其重要的理論和應用價值受到了許多數(shù)學工作者的關注,并在微分方程、逼近論、控制論、不動點等許多數(shù)學分支學科中得到了廣泛應用[1]。在其發(fā)展過程中主要出現(xiàn)了3個范數(shù):1932年由Orlicz本人給出了Orlicz范數(shù)的定義[2];1955年,Luxemburg在Orlicz空間中引入了Luxemburg范數(shù)[3];2008年崔云安和段麗芬引入了p-Amemiya范數(shù)[4-7]。眾所周知,關于賦Orlicz范數(shù)、Luxemburg范數(shù)以及p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間性質的研究已經比較成熟,所以對Orlicz空間的新性質的進一步研究是十分重要的[8-9]。我們將研究比上述3種范數(shù)更具有廣泛意義的新范數(shù),賦Φ-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的可達性、端點和嚴格凸性。主要給出了范數(shù)可達的充要條件和端點的判別準則,并據(jù)此得到了賦Φ-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間嚴格凸的充要條件。
本文以X表示一個Banach空間,B(X)和S(X)分別表示閉單位球和單位球面。
設L0表示定義在G上的可測實函數(shù)全體,
定義IΦ:L0→R+=[0,+∞)如下:
由Orlicz函數(shù)生成的Orlicz空間記為
LΦ={x∈L0:?λ>0,IΦ(λx)<∞}
關于Orlicz范數(shù)(Amemiya范數(shù)):
Luxemburg范數(shù):
以及廣義Orlicz范數(shù):
均成為Banach空間[11-15],簡記為:
LΦ=[LΦ,‖·‖ΦΦ]
LΦ,p=[LΦ,‖·‖ΦΦ,p]
定義2設Φ1是N-函數(shù),(G,∑,μ)是無原子有限測度空間,記L0(G)為G上的μ-可測函數(shù)的全體。定義模IΦ,Φ1∶L0(G)→R如下:
由Φ1及Φ是凸函數(shù)知,IΦ,Φ1為凸模,記
LΦ,Φ1={x∈L0(G)∶?λ>0,IΦ,Φ1(λx)<+∞}
定義3設Φ是Orlicz函數(shù),滿足max{0,u-1}≤Φ(u),在LΦ,Φ1(或EΦ,Φ1)上賦Amemiya范數(shù),稱為Φ-Amemiya范數(shù):
利用Φ-Amemiya與Luxemburg范數(shù)等價,很容易得{LΦ,Φ1,‖·‖ΦΦ,Φ1}是Banach空間。
定義4x∈S(X)稱為端點是指
定義5稱N-函數(shù)滿足Δ2條件是指存在k>2,u0≥0滿足:
Φ(2u)≤kΦ(u) (u≥u0)
先引入兩個記號:
|x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≥1}
|x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≤1}
定理1當且僅當k∈[k*,k**]時,
D(x)={0 取x∈LΦ,Φ1{0},D0(x)為D(x)的內點集對?0 所以對?k∈D0(x)函數(shù) 按通常數(shù)學分析規(guī)則可求得: Φ(IΦ1(kx))-1} 假設?k0∈D0(x)使得k*≤k0≤k**,則對0 Φ(IΦ1(kx))≤1,對k∈D0(x)∩(k0,∞) Φ(IΦ1(kx))≥1。 所以對 對k∈D0(x)∩(k0,∞), 因此當且僅當k*≤k0≤k**時 推論1若Φ1是N-函數(shù),則 k(x)≠?(x≠0)。 則L(k)是關于k的連續(xù)函數(shù)。 由Φ1是N-函數(shù)可得 故k(x)≠?。 定理2若Φ1是N-函數(shù),x∈S(LΦ,Φ1)是B(LΦ,Φ1)端點的充分必要條件是: μ({t∈G,kx(t)∈RSΦ1})=0,k∈K(x) 2=‖y‖Φ,Φ1+‖z‖Φ,Φ1= 2‖x‖Φ,Φ1=2 即2k∈K(x)。 并且對幾乎所有的t∈G都有 Φ1(2kx(t)) 再由已知條件2kx(t)∈SΦ1可得,對幾乎所有的t都有k1y=k2z,所以 k1=‖k1y‖Φ,Φ1=‖k2z‖Φ,Φ1=k2。 因此y=z這就說明x為B(LΦ,Φ1)的端點。 必要性(反證法)假設結論不成立。不失一般性,設k∈K(x),μ({t∈G∶kx(t)∈RSΦ1})>0, 因為SΦ1的余集可表示為至多可列個開區(qū)間的并集,所以必存在某個開區(qū)間(a,b),使得Φ(x)在(a,b)上是線性的,Φ(x)=px+q。并且存在ε>0,使得 將集合 由μ(E)=μ(F)>0,可知y≠z。 當t∈GE∪F時,ky(t)=kx(t)∈(a,b)。 當t∈E時,ky(t)=k(x(t)-ε) 又a 所以ky(t)∈(a,b) 當t∈F時,ky(t)=k(x(t)+ε) 又a+2kε 所以ky(t)∈(a,b) 于是 由此可得:IΦ1(ky)=IΦ1(kx) 同理可得‖z‖Φ,Φ1≤1 這與x為B(LΦ,Φ1)的端點矛盾。 定理3若Φ1是N-函數(shù),LΦ,Φ1是嚴格凸的充要條件是Φ1是嚴格凸的。 證明:充分性由定理2立即可得。接下來證必要性。 若Φ1非嚴格凸,則存在x0?SΦ1取E1?G,使得0<μE1<μG,且Φ1(x0)μE1≤1,Ψ1(p(x0))μE1≤1。 再取x1>0,使得 Φ1(x1)μ(GE1)≥1和Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥1, 于是 Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)≥1 Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥1 即 Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)+ Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥2 對于Orlicz函數(shù)Φ取 Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1))· (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)+ Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1))- Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1))≥1 然后選E2?GE1,滿足 Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)· (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2+ Ψ1(p(x0))μ(E1)Ψ1(p(x1))μE2)- Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)=1 令 k=1+Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2) 則 Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)· (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2+ Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μE2)- Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)=1 但μ(t∈G∶kx(t)?SΦ1)≥μE1>0。 由定理2得,x不是B(LΦ,Φ1)的端點,產生矛盾。