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    賦Φ-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的端點

    2021-05-21 05:07:16崔云安安莉麗
    哈爾濱理工大學學報 2021年2期
    關鍵詞:開區(qū)間云安范數(shù)

    崔云安,安莉麗

    (哈爾濱理工大學 理學院,哈爾濱 150080)

    0 引 言

    Orlicz空間作為一類特殊的Banach空間,自從1932年波蘭數(shù)學家Orlicz引入Orlicz空間以來,Orlicz空間理論就因其重要的理論和應用價值受到了許多數(shù)學工作者的關注,并在微分方程、逼近論、控制論、不動點等許多數(shù)學分支學科中得到了廣泛應用[1]。在其發(fā)展過程中主要出現(xiàn)了3個范數(shù):1932年由Orlicz本人給出了Orlicz范數(shù)的定義[2];1955年,Luxemburg在Orlicz空間中引入了Luxemburg范數(shù)[3];2008年崔云安和段麗芬引入了p-Amemiya范數(shù)[4-7]。眾所周知,關于賦Orlicz范數(shù)、Luxemburg范數(shù)以及p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間性質的研究已經比較成熟,所以對Orlicz空間的新性質的進一步研究是十分重要的[8-9]。我們將研究比上述3種范數(shù)更具有廣泛意義的新范數(shù),賦Φ-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的可達性、端點和嚴格凸性。主要給出了范數(shù)可達的充要條件和端點的判別準則,并據(jù)此得到了賦Φ-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間嚴格凸的充要條件。

    1 預備知識

    本文以X表示一個Banach空間,B(X)和S(X)分別表示閉單位球和單位球面。

    設L0表示定義在G上的可測實函數(shù)全體,

    定義IΦ:L0→R+=[0,+∞)如下:

    由Orlicz函數(shù)生成的Orlicz空間記為

    LΦ={x∈L0:?λ>0,IΦ(λx)<∞}

    關于Orlicz范數(shù)(Amemiya范數(shù)):

    Luxemburg范數(shù):

    以及廣義Orlicz范數(shù):

    均成為Banach空間[11-15],簡記為:

    LΦ=[LΦ,‖·‖ΦΦ]

    LΦ,p=[LΦ,‖·‖ΦΦ,p]

    定義2設Φ1是N-函數(shù),(G,∑,μ)是無原子有限測度空間,記L0(G)為G上的μ-可測函數(shù)的全體。定義模IΦ,Φ1∶L0(G)→R如下:

    由Φ1及Φ是凸函數(shù)知,IΦ,Φ1為凸模,記

    LΦ,Φ1={x∈L0(G)∶?λ>0,IΦ,Φ1(λx)<+∞}

    定義3設Φ是Orlicz函數(shù),滿足max{0,u-1}≤Φ(u),在LΦ,Φ1(或EΦ,Φ1)上賦Amemiya范數(shù),稱為Φ-Amemiya范數(shù):

    利用Φ-Amemiya與Luxemburg范數(shù)等價,很容易得{LΦ,Φ1,‖·‖ΦΦ,Φ1}是Banach空間。

    定義4x∈S(X)稱為端點是指

    定義5稱N-函數(shù)滿足Δ2條件是指存在k>2,u0≥0滿足:

    Φ(2u)≤kΦ(u) (u≥u0)

    2 主要結果及證明

    先引入兩個記號:

    |x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≥1}

    |x(t)|dt-Φ(IΦ1(kx))≤1}

    定理1當且僅當k∈[k*,k**]時,

    D(x)={0

    取x∈LΦ,Φ1{0},D0(x)為D(x)的內點集對?0

    所以對?k∈D0(x)函數(shù)

    按通常數(shù)學分析規(guī)則可求得:

    Φ(IΦ1(kx))-1}

    假設?k0∈D0(x)使得k*≤k0≤k**,則對0

    Φ(IΦ1(kx))≤1,對k∈D0(x)∩(k0,∞)

    Φ(IΦ1(kx))≥1。

    所以對

    對k∈D0(x)∩(k0,∞),

    因此當且僅當k*≤k0≤k**時

    推論1若Φ1是N-函數(shù),則

    k(x)≠?(x≠0)。

    則L(k)是關于k的連續(xù)函數(shù)。

    由Φ1是N-函數(shù)可得

    故k(x)≠?。

    定理2若Φ1是N-函數(shù),x∈S(LΦ,Φ1)是B(LΦ,Φ1)端點的充分必要條件是:

    μ({t∈G,kx(t)∈RSΦ1})=0,k∈K(x)

    2=‖y‖Φ,Φ1+‖z‖Φ,Φ1=

    2‖x‖Φ,Φ1=2

    即2k∈K(x)。

    并且對幾乎所有的t∈G都有

    Φ1(2kx(t))

    再由已知條件2kx(t)∈SΦ1可得,對幾乎所有的t都有k1y=k2z,所以

    k1=‖k1y‖Φ,Φ1=‖k2z‖Φ,Φ1=k2。

    因此y=z這就說明x為B(LΦ,Φ1)的端點。

    必要性(反證法)假設結論不成立。不失一般性,設k∈K(x),μ({t∈G∶kx(t)∈RSΦ1})>0, 因為SΦ1的余集可表示為至多可列個開區(qū)間的并集,所以必存在某個開區(qū)間(a,b),使得Φ(x)在(a,b)上是線性的,Φ(x)=px+q。并且存在ε>0,使得

    將集合

    由μ(E)=μ(F)>0,可知y≠z。

    當t∈GE∪F時,ky(t)=kx(t)∈(a,b)。

    當t∈E時,ky(t)=k(x(t)-ε)

    又a

    所以ky(t)∈(a,b)

    當t∈F時,ky(t)=k(x(t)+ε)

    又a+2kε

    所以ky(t)∈(a,b) 于是

    由此可得:IΦ1(ky)=IΦ1(kx)

    同理可得‖z‖Φ,Φ1≤1

    這與x為B(LΦ,Φ1)的端點矛盾。

    定理3若Φ1是N-函數(shù),LΦ,Φ1是嚴格凸的充要條件是Φ1是嚴格凸的。

    證明:充分性由定理2立即可得。接下來證必要性。

    若Φ1非嚴格凸,則存在x0?SΦ1取E1?G,使得0<μE1<μG,且Φ1(x0)μE1≤1,Ψ1(p(x0))μE1≤1。

    再取x1>0,使得

    Φ1(x1)μ(GE1)≥1和Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥1,

    于是

    Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)≥1

    Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥1

    Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)+

    Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1)≥2

    對于Orlicz函數(shù)Φ取

    Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1))·

    (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1)+

    Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μ(GE1))-

    Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μ(GE1))≥1

    然后選E2?GE1,滿足

    Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)·

    (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2+

    Ψ1(p(x0))μ(E1)Ψ1(p(x1))μE2)-

    Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)=1

    k=1+Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)

    Φ′(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)·

    (Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2+

    Ψ1(p(x0))μ(E1)+Ψ1(p(x1))μE2)-

    Φ(Φ1(x0)μ(E1)+Φ1(x1)μE2)=1

    但μ(t∈G∶kx(t)?SΦ1)≥μE1>0。

    由定理2得,x不是B(LΦ,Φ1)的端點,產生矛盾。

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