b-凸度量空間的不動(dòng)點(diǎn)理論

李朝博，陳麗麗

(哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引 言

不動(dòng)點(diǎn)理論在非線(xiàn)性泛函分析中扮演著非常重要的角色，在應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。不動(dòng)點(diǎn)理論有著悠久的歷史，1910年，荷蘭數(shù)學(xué)家Brouwer創(chuàng)立了布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，由此開(kāi)啟了不動(dòng)點(diǎn)理論研究的先河[1]。1922年，波蘭數(shù)學(xué)家Banach提出了著名的壓縮映象原理，其結(jié)果的優(yōu)美性和證明的簡(jiǎn)潔性，吸引了大批學(xué)者的關(guān)注，被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域并成功解決了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，諸如隱函數(shù)存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大問(wèn)題，使得不動(dòng)點(diǎn)理論引起了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界的高度重視和深入研究[2]。隨著不動(dòng)點(diǎn)理論的不斷發(fā)展完善，一系列新穎的壓縮映射、非擴(kuò)張型映射以及相應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)定理相繼問(wèn)世，并成功應(yīng)用于微分方程、拓?fù)?、?jīng)濟(jì)均衡、對(duì)策論和優(yōu)化控制等諸多領(lǐng)域，不動(dòng)點(diǎn)理論已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支。許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用Banach空間的幾何性質(zhì)對(duì)對(duì)各種非擴(kuò)張型單值映射和非擴(kuò)型集值映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行了深入研究，所取得的研究成果極大地豐富和發(fā)展了不動(dòng)點(diǎn)理論。隨著不動(dòng)點(diǎn)理論的不斷發(fā)展，人們已經(jīng)不滿(mǎn)足于現(xiàn)狀，通過(guò)各種方式對(duì)度量空間進(jìn)行推廣。1993年，Czerwik提出了b-度量空間的概念，并在該空間中給出了壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[3]。隨后，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)b-度量空間的不動(dòng)點(diǎn)理論進(jìn)行了廣泛的研究，例如，1994年，Matthews提出了偏序度量空間的概念[4]；2013年，Shukla在b-度量空間與偏序度量空間的基礎(chǔ)上提出了偏序b-度量空間的概念[5]；2011年，Hussian和Shah提出了錐b-度量空間[6]。更多關(guān)于b-度量空間的研究成果見(jiàn)文[7-14]。

1970年，Takahashi提出了凸結(jié)構(gòu)的概念，并給出了凸度量空間在非擴(kuò)張映像下的不動(dòng)點(diǎn)理論[15-16]。隨后，Kink與Goebal研究了凸度量空間的迭代問(wèn)題[17]。更多關(guān)于凸結(jié)構(gòu)的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[18-22]。本文在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)b-度量空間進(jìn)行研究推廣，在b-度量空間中引入了凸結(jié)構(gòu)，從而給出b-凸度量空間的概念，并在該空間中給出了Mann迭代算法。進(jìn)一步利用Mann迭代生成序列，證明了完備的b-凸度量空間的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[23]設(shè)X是一個(gè)非空集合，令d∶X×X→[0,+∞),若對(duì)任意x,y,u∈X滿(mǎn)足：

1)d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

2)d(x,y)=d(y,x);

3)d(x,y)≤s[d(x,u)+d(u,y)]。

其中s≥1。則稱(chēng)d是X上的一個(gè)b-度量，稱(chēng)(X,d)為b-度量空間，s為其系數(shù)。很顯然，s=1時(shí)，d就是通常意義的度量。

定義2[24]設(shè)(X,d)為度量空間，連續(xù)映射w∶X×X×[0,1]→X,若對(duì)于所有x,y,u∈X，α∈[0,1],有以下不等式成立：d(u,w(x,y,α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)則w稱(chēng)作X上的一個(gè)凸結(jié)構(gòu)，(X,d,w)稱(chēng)為凸度量空間。

{xn}稱(chēng)為X中的Cauchy列，如果?ε>0，存在自然數(shù)n0，當(dāng)n,m≥n0時(shí)有d(xn,xm)<ε。(X,d)稱(chēng)為完備的b-度量空間，若X中的每一個(gè)Cauchy列都收斂。

2 主要結(jié)果

定義4設(shè)(X,d)為b-度量空間，連續(xù)映射w∶X×X×[0,1]→X，若對(duì)于任意的x,y,u∈X， 有以下不等式成立：

d(u,w(x,y,α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)則稱(chēng)(X,d,w)為b-凸度量空間。

在一般的線(xiàn)性空間中，Mann迭代格式定義如下：

xn+1=αnxn+(1-αn)Txn

下面利用凸結(jié)構(gòu)將Mann迭代格式引入到b-度量空間中，格式如下：

例1令X=R，令d(x,y)=|x-y|r，其中r為任意實(shí)數(shù)且r>1。很顯然d滿(mǎn)足定義1中的(1)和(2)。此外，對(duì)任意的x,y,z∈X有

d(x,y)=|x-y|r=|x-z+z-y|r≤

[|x-z|+|z-y|]r≤

2r-1[|x-z|r+|z-y|r]=

2r-1(d(x,z)+d(z,y))

易知w為連續(xù)映射，下面驗(yàn)證其滿(mǎn)足對(duì)任意的x,y,u∈X有

d(u,w(x,y;α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

事實(shí)上，

d(u,w(x,y;α))=|u-[αx+(1-α)y]|r≤

2r-1[αr|u-x|r+(1-α)r|u-y|r]=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)，

則(X,d,w)是一個(gè)s=2r-1的b-凸度量空間。此外，(X,d,w)不是一個(gè)通常意義下的度量空間，例如r=2時(shí)，

d(2,4)=4>d(2,3)+d(3,4)=2

例2令X=Rn，對(duì)任意的

x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈X，

由于

2(d(x,u)+d(u,y))

易知d滿(mǎn)足定義1的(1)和(2)，所以(X,d)為s=2的b-度量空間。設(shè)

滿(mǎn)足w(x,y;α)=αx+(1-α)y

易知w為連續(xù)映射，對(duì)任意的x,y,u∈X有

d(u,w(x,y;α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

事實(shí)上，

d(u,w(x,y;α))=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

所以(X,d,w)是一個(gè)s=2的b-凸度量空間。但(X,d,w)不是一個(gè)通常意義下的度量空間，例如n=1時(shí)，見(jiàn)例1。

注 例1和例2都是在b-凸度量空間中引入連續(xù)映射w(x,y;α)=αx+(1-α)y作為凸結(jié)構(gòu)。但下面的例子說(shuō)明對(duì)于同一個(gè)映射w，在某些b-度量空間中，將不能構(gòu)成凸結(jié)構(gòu)。

例3令X=lp,0

定義映射d∶X×X→R+∪{0},滿(mǎn)足

對(duì)于任意

x={xn}，y={yn}，u={un}∈lp，

由

2(1-p)/p(d(x,u)+d(u,y))

易知(X,d)是系數(shù)為s=2(1-p)/p>1的b-度量空間。設(shè)連續(xù)映射w，滿(mǎn)足

w∶X×X×[0,1]→X，

對(duì)于任意x,y∈X，令

w(x,y;α)=αx+(1-α)y

下面取xn

d(u,w(x,y;α))=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

此時(shí)w不是凸結(jié)構(gòu)。

定理1設(shè)(X,d,w)為完備的b-凸度量空間，映射T∶X→X滿(mǎn)足下列不等式

d(Tx,Ty)≤βd(x,y)，?x,y∈X

設(shè)連續(xù)映射w∶X×X×[0,1]→X，令

xn+1=w(xn,Txn;αn)，d(x0,Tx0)=M<∞，

證明:

d(xn,xn+1)=d(xn,w(xn,Txn;αn))≤

(1-αn)d(xn,Txn)

d(xn,Txn)≤sd(xn,Txn-1)+sd(Txn-1,Txn)≤

sd(w(xn-1,Txn-1;αn-1),Txn-1)+sβd(xn-1,xn)≤

s[αn-1d(xn-1,Txn-1)+β(1-αn-1)d(xn-1,Txn-1)]=

s[αn-1+β(1-αn-1)]d(xn-1,Txn-1)

令λn-1=s[αn-1+β(1-αn-1)]，

因?yàn)?/p>

從而得到λ<1。則

d(xn,Txn)≤λ(xn-1,Txn-1)

d(xn-1,Txn-1)≤λ(xn-2,Txn-2)

…

d(x1,Tx1)≤λ(x0,Tx0)

因此

d(xn,Txn)≤λn(x0,Tx0)

d(xn,xn+1)≤(1-αn)λnd(x0,Tx0)≤

λnd(x0,Tx0)

d(xn,xn+p)≤sd(xn,xn+1)+sd(xn+1,xn+p)≤

sd(xn,xn+1)+s2d(xn+1,xn+2)+s2d(xn+2,xn+p)≤…≤

sd(xn,xn+1)+s2d(xn+1,xn+2)+…+

sp-1d(xn+p-1,xn+p)+sp-1d(xn+p-1,xn+p)≤

(sλn+s2λn+1+…+sp-1λn+p-1)d(x0,Tx0)≤

λn(s+s2+…+sp-1)d(x0,Tx0)

當(dāng)n→∞時(shí)，顯然λn→0，所以對(duì)任意自然數(shù)P,d(xn,xn+p)→0，從而可知{xn}為Cauchy列。

由空間的完備性知，存在x*∈X，使得xn→x*∈X,(n→∞)。注意到

d(x*,Tx*)≤s[d(x*,xn)+d(xn,Tx*)]≤

sd(x*,xn)+s2[d(xn,Txn)+d(Txn,Tx*)]≤

sd(x*,xn)+s2d(xn,Txn)+s2βd(xn,x*)≤

(s+s2β)d(x*,xn)+s2d(xn,Txn)≤

(s+s2β)d(x*,xn)+s2λnd(x0,Tx0)

令n→∞, 從而d(x*,Tx*)=0，所以Tx*=x*，則T在X中存在不動(dòng)點(diǎn)。

最后證明不動(dòng)點(diǎn)的唯一性。假設(shè)T在X中不動(dòng)點(diǎn)不唯一。即存在y*∈X，使得x*≠y*滿(mǎn)足Ty*=y*，則

d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤βd(x*,y*)

若d(x*,y*)≠0，由于 0<β<1，產(chǎn)生矛盾，故d(x*,y*)=0，即x*=y*。所以T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

d(x,y)=(x-y)2

設(shè)連續(xù)映射w∶X×X×[0,1]→X，滿(mǎn)足

w(x,y;α)=αx+(1-α)y

令xn+1=w(xn,Txn;αn)，

證明：由例1易知(X,d)為s=2的b-度量空間，又因?yàn)?，?duì)任意x,y,u∈X，有

d(u,w(x,y;α))=d(u,αx+(1-α)y)=

[α(u-x)+(1-α)(u-y)]2≤

[α|u-x|+(1-α)|u-y|]2=

(α|u-x|)2+((1-α)|u-y|)2+2α(1-

α)|u-x||u-y|≤

(α|u-x|)2+((1-α)|u-y|)2+α(1-

α)(|u-x|2+|u-y|2)=

α(u-x)2+(1-α)(u-y)2=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

即(X,d,W)為s=2的b-凸度量空間。

以此計(jì)算

…

從而得到第n項(xiàng)，

xn=αn-1xn-1+(1-αn-1)Txn-1=

易知n→∞，xn→0∈X,Txn→0∈X,所以0是T在X中的不動(dòng)點(diǎn)。假設(shè)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*,y*∈X，x*≠y*滿(mǎn)足Tx*=x*，Ty*=y*，則

所以d(x*,y*)=0，即x*=y*，所以0是T在X中唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

注 在度量空間中，通過(guò)引入凸結(jié)構(gòu)，使得度量空間兼具了線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，便可以構(gòu)造Mann迭代序列，克服了簡(jiǎn)單迭代法的一些缺陷，并去掉了加在非線(xiàn)性算子上的一些限制條件，具有較大的優(yōu)越性。接下來(lái)，我們給出膨脹映射下Mann迭代序列收斂到唯一不動(dòng)點(diǎn)的例子。

例5令X=R+∪{0}，對(duì)?x∈X，令Tx=2x。定義d∶X×X→X，滿(mǎn)足

d(x,y)=(x-y)2，

設(shè)映射w∶X×X×[0,1]→X滿(mǎn)足

w(x,y;α)=αx+(1-α)y，

…

則有n→∞，xn→0∈X，T-1xn→0∈X，故0是T-1在X中的不動(dòng)點(diǎn)，即T-1(0)=0。從而得到T(0)=0，所以0是T在X中的不動(dòng)點(diǎn)。假設(shè)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)a≠b滿(mǎn)足Ta=a，Tb=b，則d(a,b)=d(Ta,Tb)=4d(a,b)，產(chǎn)生矛盾，所以不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。

3 結(jié) 論

文章的主要工作是將凸結(jié)構(gòu)引入到b-度量空間中，從而給出了新的概念b-凸度量空間，并給出b-凸度量空間的具體例子。利用凸結(jié)構(gòu)首次在b-凸度量空間中給出了Mann 迭代，并利用Mann 迭代生成序列，證明了完備b-凸度量空間中壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。