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    車輛系統(tǒng)的非線性行駛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)*

    2021-05-20 13:58:14韓彥偉張子建
    關(guān)鍵詞:懸架振幅阻尼

    韓彥偉 張子建

    (1.河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院,洛陽 471023)(2.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院,南京 210016)

    引言

    隨著汽車、高鐵、軌道交通等車輛系統(tǒng)的運(yùn)行速度大幅提高,導(dǎo)致行駛車輛的非線性振動(dòng)演化與機(jī)理問題引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.在車輛的道路行駛過程中,由于路面不平會(huì)引起車體的振動(dòng),如垂向振動(dòng)、前后俯仰振動(dòng)及左右搖擺振動(dòng)等,這些振動(dòng)會(huì)降低車輛的操作穩(wěn)定性、乘坐舒適性、駕駛的安全性,增加油耗、減少使用壽命.當(dāng)車輛高速行駛時(shí),車體的振動(dòng)越加強(qiáng)烈,導(dǎo)致各項(xiàng)性能愈來愈差.為解決這些問題,一種方法是通過提升路面的平順度,從而減少路面激勵(lì)輸入;另一種方法是在輪胎與車身之間安裝彈簧阻尼懸架系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)對(duì)路面激勵(lì)的隔離,從而實(shí)現(xiàn)減震和降噪.其中非線性懸架模型研究與應(yīng)用是非常重要和有效的方法,成為了車輛工程領(lǐng)域的學(xué)術(shù)焦點(diǎn)之一.

    非線性車輛懸架系統(tǒng)的復(fù)雜非線性振動(dòng)特性得到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.李韶華[1]研究了具有非線性剛度和Bingham阻尼的單自由度懸架系統(tǒng)亞諧共振和奇異性.孫蓓蓓[2]分析了橡膠懸架兩自由度立方非線性剛度車輛系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、轉(zhuǎn)遷集及分岔等非線性動(dòng)力學(xué)特性.高大威[3]考慮雙頻激勵(lì)作用下的三次非線性剛度與阻尼單自由度懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)及混沌追蹤控制方法.朱峰[4]給出了五次阻尼非線單自由度非線性系統(tǒng)的混沌特性及其對(duì)穩(wěn)定性的影響.丁繼斌[5]利用AMEsim仿真方法研究了油氣懸架模型兩自由度車輛系統(tǒng)的亞諧波和超諧波共振特性.牛治東[6]得到了隨機(jī)激勵(lì)作用下遲滯非線性單自由度懸架系統(tǒng)的混沌振動(dòng)及混沌振動(dòng)臨界條件.

    綜上所述,現(xiàn)有研究多集中在單、兩自由度系統(tǒng)的垂直方向振動(dòng)特性,而對(duì)垂向與俯仰方向的非線性耦合振動(dòng)較少涉及[7-9].另外,立方剛度非線性與立方阻尼非線性均是對(duì)原系統(tǒng)的近似逼近,無法實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性車輛系統(tǒng)的精確描述.因此,本文基于運(yùn)動(dòng)非線性機(jī)制,建立大幅振動(dòng)條件下垂向和俯仰耦合的精確非線性動(dòng)力學(xué)模型,基于該模型可精確研究非線性車輛系統(tǒng)的復(fù)雜振動(dòng)響應(yīng).

    1 力學(xué)模型

    1.1 動(dòng)力學(xué)模型

    如圖1所示,行駛車輛系統(tǒng)模擬在不平道路上行駛車輛的振動(dòng)力學(xué)簡圖.關(guān)于力學(xué)模型中參數(shù)設(shè)定如下:車輛的簧載質(zhì)量為m,相對(duì)質(zhì)心O的俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC,前、后懸架彈簧支撐剛度分別為k1和k2,前、后懸架阻尼器的阻尼系數(shù)分別為c1和c2,車輛行駛速度為v,汽車質(zhì)心橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x和y,轉(zhuǎn)動(dòng)角為θ,質(zhì)心O到前、后軸的距離分別為l1和l2,軸距為l=l1+l2,路面波長為l3,路面波幅h0.

    圖1 兩自由度車輛模型Fig.1 The model of two degree-of-freedom vehicle

    車輛前輪和后輪的垂向位移分別為y1和y2,假設(shè)路面波形狀為:

    式中,s=vt為行駛距離.

    表 1 給出車輛系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍[10,11],包括汽車簧載質(zhì)量、汽車轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、懸架剛度、懸架阻尼、軸距、速度、路面波幅和波長及幾何尺寸等.

    表1 汽車系統(tǒng)的參數(shù)列表Table 1 Parameters of vehicle system

    設(shè)車輛系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能及瑞利耗散函數(shù)分別為:

    其中,y?=dy/dt,θ?=dθ/dt分別為車輛質(zhì)心的垂向速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;Q1和Q2廣分別為垂向廣義力和轉(zhuǎn)向的廣義力矩.

    引入Lagrange函數(shù):

    既有保守力又有非保守力的Lagrange方程為:

    將函數(shù)表達(dá)式(3)代入Lagrange方程(4)式,建立車輛行駛系統(tǒng)的兩自由度非線性運(yùn)動(dòng)微分方程:

    采用如下無量綱參數(shù)變換關(guān)系式:

    將車輛振動(dòng)系統(tǒng)(5)進(jìn)行無量綱參數(shù)處理,得到非線性車輛系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程:

    令Y′=U,θ′=ω,方程(7)可變換為如下一階方程組的形式:

    系統(tǒng)(8)是一個(gè)帶有正弦和余弦三角函數(shù)的非線性振動(dòng)耦合系統(tǒng),具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)行為.

    1.2 非線性恢復(fù)力、勢(shì)能及相圖分析

    系統(tǒng)(8)的無量綱非線性恢復(fù)力包括:垂直方向的恢復(fù)力fF和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的恢復(fù)力矩fM.其分別為:

    如圖2所示,給出了非線性力函數(shù)(9)的曲面圖,當(dāng)參數(shù)β、γ和ρ的不同取值,圖2(a,b)給出了回復(fù)力fF與俯仰角θ和垂向?yàn)閅之間為曲面關(guān)系,表明在兩個(gè)振動(dòng)方向上有較強(qiáng)的耦合回復(fù)力關(guān)系.圖2(c,d)給出了力矩fM與俯仰角θ和垂向?yàn)閅之間也是曲面關(guān)系,但是在兩個(gè)振動(dòng)方向上的耦合力矩較弱.

    圖2 非線性力曲面圖.(a,b)垂向恢復(fù)力,(c,d)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩Fig.2Nonlinear forces.(a,b)vertical force,(c,d)rotational torque

    系統(tǒng)(8)的無量綱勢(shì)能函數(shù)為:

    圖3給出了無量綱勢(shì)能函數(shù)(11)的曲面圖.圖3(a)為不考慮重力的勢(shì)能曲面特性圖,圖3(b)給出了有重力情況下的勢(shì)能曲面.

    圖3 勢(shì)能曲線圖Fig.3 Potential energy swryaces

    積分車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程(8),可得到自由振動(dòng)系統(tǒng)相軌跡方程為:

    其中積分常數(shù)E為系統(tǒng)的總機(jī)械能,不同的機(jī)械能E對(duì)應(yīng)于不同的相軌跡超曲面.

    1.3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

    令速度、加速度、角速度與角加速度均為零,定義平衡點(diǎn)集為:

    對(duì)應(yīng)的本征值方程為:

    展開上式,得到:

    令其系數(shù)分別為:

    根據(jù)穩(wěn)定性條件和Routh-Huritz判據(jù),計(jì)算行列式:

    利用式(18),可以分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響規(guī)律.圖4給出了參數(shù)平面(β,γ)中穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域的分界曲線.當(dāng)參數(shù)(β,γ)取值在曲線的上部為穩(wěn)定區(qū)域,而在曲線的下部則為不穩(wěn)定區(qū)域.

    圖4 參數(shù)(β,γ)平面中穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.4 Stability diagram in parameters(β,γ)plane

    2 自由振動(dòng)

    2.1 近似線性系統(tǒng)自由振動(dòng)

    針對(duì)非線性車輛系統(tǒng)(8)的自由振動(dòng),只保留y,θ及其導(dǎo)數(shù)得一次項(xiàng),化簡得到自由振動(dòng)系統(tǒng)的線性運(yùn)動(dòng)微分方程為:

    或者寫為矩陣形式:

    其中a=1+γ,b=c=1-γβ,d=1+γβ2.

    令系統(tǒng)(20)的解為:

    將式(21)代入方程(20),得到特征行列式:

    式(22)給出了振動(dòng)頻率與系統(tǒng)參數(shù)之間的確定性關(guān)系,是關(guān)于ω2的二次代數(shù)方程,稱為系統(tǒng)的特征方程,可以解出兩個(gè)根為:

    一階固有頻率ω1和二階固有頻率ω2由a、b、c、d確定,其中a、b、c、d由系統(tǒng)參數(shù)β、γ唯一確定.

    將ω1和ω2分別代入系統(tǒng)(22),得到振幅比為:

    得到一階和二階振型分別為

    圖5(a)為振幅比隨參數(shù)β的變換趨勢(shì)圖,容易看出,系數(shù)β等于1是一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn).圖5(b)為振幅比隨參數(shù)γ的變換趨勢(shì)圖,同樣,系數(shù)γ等于1是一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn).圖5(c)為振幅比r1與參數(shù)β,γ關(guān)系圖,圖5(d)為振幅比r2與參數(shù)β,γ關(guān)系圖.

    圖5 振幅比與參數(shù)的關(guān)系.°代表r1,*代表r2Fig.5 Relationship of ratio of amplitued and parameters.°denoted r1,*denoted r2

    2.2 非線性性近似系統(tǒng)的自由振動(dòng)

    針對(duì)車輛系統(tǒng)(8)的自由振動(dòng),如果保留x,θ及其導(dǎo)數(shù)得三次項(xiàng),化簡為非線性自由振動(dòng)系統(tǒng):

    利用諧波平衡法,令系統(tǒng)(26)的一階諧波解近似解為:

    將解(27)代入非線性自由振動(dòng)方程(26),得到振幅A1,A2與自由振動(dòng)頻率之間的關(guān)系,即幅頻方程為:

    將式(29)代入方程(28),得到:

    給定φ的值,可以得到振動(dòng)頻率ω、振幅A1和A2,導(dǎo)出如下:

    設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)為 α=1,β=0.5,γ=0.5,并且令φ在適當(dāng)?shù)娜≈捣秶?,圖6給出了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,結(jié)果顯示,非線性汽車振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率ω和模態(tài)參數(shù)均隨振幅的變化而變化,得到ω=0.75和ω=1.45兩個(gè)固有頻率.

    圖6 振幅與自由振動(dòng)頻率的關(guān)系圖Fig.6 Relationship of amplitude and frequency of free vibration

    3 強(qiáng)迫振動(dòng)

    當(dāng)考慮到路面對(duì)車輛的激勵(lì)作用,導(dǎo)出強(qiáng)迫振動(dòng)車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程:

    車輛系統(tǒng)(32)是一個(gè)復(fù)雜的非線性耦合動(dòng)力學(xué)方程,無法直接用理論方法進(jìn)行求解,本文利用數(shù)值積分的方法研究系統(tǒng)的振幅-速度響應(yīng)特性圖.

    3.1 阻尼對(duì)響應(yīng)的影響

    設(shè)定汽車系統(tǒng)參數(shù)分別為m=1200kg,IC=1500kg·m2,k1=k2=20kN/m,l1=1.2m,l2=1.3m,l3=60m,h0=0.1m,容易得到無量綱參數(shù)為ω1=ω2=19.90 rad/s,α=0.868,β=1.08,γ=1.0,λ=41.667,ρ=0.049,ξ1=ξ2=0.0484,a=0.0833.

    圖7給出將阻尼分別設(shè)定為c1=c2=1000(紅色圓圈○代表A1,紅色加號(hào)+代表A2),c1=c2=1500(綠色三角形Δ代表A1,綠色星形*代表A2),c1=c2=2000(藍(lán)色方形□代表A1,藍(lán)色五角星★代表A2),得到速度振幅響應(yīng)圖.研究表明,振幅A1最大值分別為0.9,0.6和0.45,增大阻尼可以有效的減小振幅A1;而對(duì)振幅A2則減小效果較小,最大振幅分別為0.45,0.29和0.28.

    圖7 振幅與速度關(guān)系圖Fig.7 Relationship of amplitude and velocity

    3.2 路面波幅對(duì)響應(yīng)的影響

    設(shè)定參數(shù)分別為m=1200kg,IC=1500kg·m2,k1=k2=20kN/m,c1=c2=1500Ns/m,l1=1.2m,l2=1.3m,l3=50m,得無量綱參數(shù)為 ω1=ω2=19.90rad/s,α=0.868,β=1.08,γ=1.0,λ=41.667,ρ=0.049,ξ1=ξ2=0.0484.

    圖8給出波幅分別為h0=0.05(紅色圓圈○代表A1,紅色加號(hào)+代表A2),h0=0.1(綠色三角形Δ代表A1,綠色星形*代表A2),h0=0.15(藍(lán)色方形□代表A1,藍(lán)色五角星★代表A2)的速度振幅響應(yīng)圖,結(jié)果顯示:增大路面波幅h0將導(dǎo)致振幅A1增大,最大振幅分別為0.3,0.6和0.9;同樣導(dǎo)致振幅A2的,增大振幅分別為0.18,0.29和0.38.

    圖8 振幅與速度關(guān)系圖Fig.8 Relationship of amplitude and velocity

    3.3 路面波長對(duì)響應(yīng)的影響

    設(shè)參數(shù)分別為m=1200kg,IC=1500kg·m2,k1=k2=20kN/m,c1=c2=1500Ns/m,l1=1.2m,l2=1.3m,h0=0.1m,則有無量綱參數(shù)為ω1=ω2=12.90 rad/s,α=0.868,β=1.08,γ=1.0,λ=83.333,ρ=0.049,ξ1=ξ2=0.0484,a=0.0833.

    圖9給出不同路面波長時(shí),即l3=30(紅色圓圈○代表A1,紅色加號(hào)+代表A2),l3=60(綠色三角形Δ代表A1,綠色星形*代表A2),l3=90(藍(lán)色方形□代表A1,藍(lán)色五角星★代表A2),分別得到速度振幅響應(yīng)圖.容易發(fā)現(xiàn),增大路面波長對(duì)振幅A1減和振幅A2的影響,振幅A1共振速度分別為V=6,11及17,振幅A2共振速度分別為V=5,10及15,結(jié)果表明,路面波長越大共振速度越大,這與工程實(shí)際是相符的.

    圖9 振幅與速度的關(guān)系圖Fig.9 Relationship of amplitude and velocity

    4 小結(jié)

    針對(duì)行駛中的車輛系統(tǒng),建立了新型兩自由度非線性耦合振動(dòng)車輛系統(tǒng),通過理論分析與數(shù)值研究得到如下結(jié)論:

    (1)在運(yùn)動(dòng)非線性機(jī)制基礎(chǔ)上,建立了上下沉浮和前后俯仰的車輛力學(xué)模型,利用Lagrange方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的精確運(yùn)動(dòng)微分方程,帶有三角函數(shù)的非線性方程可以精確地刻畫車輛系統(tǒng)的非線性特性.

    (2)對(duì)于線性系統(tǒng)的自由振動(dòng),分析得到振幅比隨系統(tǒng)參數(shù)的變換曲線,發(fā)現(xiàn)振幅比在1處有一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn);對(duì)于非線性近似系統(tǒng)的自由振動(dòng),利用諧波平衡法得到幅頻響應(yīng)曲線,發(fā)現(xiàn)在0.75和1.45處兩個(gè)固有頻率.

    (3)針對(duì)車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),利用數(shù)值仿真分析系統(tǒng)的振幅-速度響應(yīng)關(guān)系圖,研究結(jié)果表明:阻尼越大振幅響應(yīng)越小、路面波幅越大響應(yīng)振幅越大及系路面波長越大共振速度越大.

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