微結構固體中孤立波的動力穩(wěn)定性*

韓元春 那仁滿都拉

（內蒙古民族大學數理學院，通遼 028043）

引言

隨著科學技術的迅速發(fā)展，人們越來越關注微晶、合金、巖石、陶瓷以及功能梯度材料等含微結構的固體材料中波傳播問題.這主要是因為當今檢測技術中所使用的一些高頻波的波長越來越接近材料的微結構特征長度，導致微結構效應對波場產生了不可忽視的影響.由于經典連續(xù)介質理論不能對含微結構的固體材料的力學行為給出準確描述，人們提出了若干描述其變形與運動的理論和模型［1-4］.近年來，Engelbrecht等根據Mindlin微結構理論，重點研究了含微結構的固體材料中孤立波的存在與傳播問題.在文獻［5］中建立了微結構固體的非線性基本模型，并證明了微結構固體中可以存在一種非對稱孤立波.文獻［6］中詳細研究了微結構效應對孤立波的傳播及相互作用的影響.文獻［7］中研究了微結構固體中孤立波傳播的反問題.文獻［8］中本文作者之一用定性分析方法證明了微結構固體中對稱與非對稱孤立波的存在性.

含微結構的固體材料中孤立波的形成與傳播問題的研究對該材料的無損檢測與評價具有重要意義.因為孤立波在固體材料中傳播時，其形狀、幅度以及傳播速度中攜帶著材料內部結構特性的重要信息.從文獻［7］的研究結果看，這可能成為對固體材料進行檢測與評價的一種有效手段.但不管是在實驗中，還是在實際檢測中，在固體材料中傳播的孤立波始終受到不同程度的擾動，所以在擾動影響下孤立波能否穩(wěn)定傳播成為關鍵問題，只有穩(wěn)定傳播的孤立波，才能克服擾動，能夠長時間存在，且能在實驗中觀測到和實際中應用到.近年來，對復雜系統(tǒng)中孤立波的存在性和動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題的研究受到了越來越多的重視［9-12］.

本文以描述微結構固體的一種KdV類方程作為控制方程并利用積分因子方法，將對微結構固體中傳播的孤立波在不同小擾動的影響下能否穩(wěn)定傳播問題進行數值模擬研究.

1 波模型及積分因子方法

在文獻［13］中建立了描述Mindlin型微結構固體中一維孤立波傳播的新模型

積分因子方法是數值求解偏微分方程的一種計算速度快、精度高、穩(wěn)定性好并能容易編程實現的有效方法，是屬于一種偽譜方法［14，15］.該方法通過作快速傅里葉變換（FFT）和乘積分因子的巧妙手段，消掉方程中導致數值頻散的剛性項（即線性空間導數項），從而達到高精度求解方程的目的.依據該方法的基本思想，對方程（1）作傅里葉變換，可得

又因為

把（4）式代入方程（3），可得

2 微結構固體中孤立波傳播的穩(wěn)定性

這里常數A0表示孤立波的波幅.式（6）表示一種向右傳播的對稱鐘型孤立波，其傳播速度和寬度都與波幅有關，這是非線性波的重要特性.為考察未受擾孤立波在微結構固體中的傳播特性，這里以式（6）為初始條件，并采用周期性邊界條件，在區(qū)間[-π，π]上進行數值計算.計算時選取的材料常數為p1=100，p2=3，p3=0.01，孤立波的幅度為A0=1.圖1繪制的是t=0.4時刻在弱微尺度非線性效應的微結構固體中傳播的孤立波波形以及此時的孤立波波形與初始波形上對應點的位移偏差（圖中用Δu表示偏差）.可看出，隨著時間的推移，初始時刻的孤立波（6）緩慢變形并產生了一些偏差，但這種弱微尺度非線性效應下所產生的偏差非常小，即孤立波能夠較長時間基本保持波形和傳播速度在微結構固體中穩(wěn)定傳播.因此，在弱微尺度非線性效應的微結構固體中孤立波基本能夠保持波形和傳播速度而較長時間穩(wěn)定傳播.值得注意的是微結構固體中傳播孤立波的動力學穩(wěn)定性與固體介質的材料常數有關，當固體的微尺度非線性效應較強（p3較大）時，微結構固體中的孤立波明顯變形、失去其對稱性，并形成一種非對稱孤立波或根本不能形成孤立波［5，8］.因此，微結構固體中孤立波的形成需要合適的條件，不同的微結構固體（材料常數不同）中形成的孤立波的形狀特性不同，其傳播的穩(wěn)定性也應有所不同.

圖1 未受擾孤立波（紅色虛線）與初始波形的偏差Fig.1 The deviation of undisturbed solitary wave（red dashed line）and initial waveform

2.1 高斯波擾動下的孤立波

假設微結構固體中傳播的孤立波受到了高斯波擾動，其表達式為

式中，A為高斯波的幅度，μ為高斯波的寬度因數.數值模擬時，采用周期性邊界條件，并在區(qū)間[-π，π]上進行計算，初始條件取為u（x，0）=u0（x，0）+u′（x，0），材料常數取為 p1=100，p2=3，p3=0.01，孤立波幅度為A0=1.由于考慮的是小擾動，所以擾動幅度應足夠小，取為A=0.01，約為孤立波幅度的1%.如果擾動幅度較大，肯定會影響孤立波的穩(wěn)定傳播，這是眾所周知的.一般來講，經過足夠長時間的演化后，如果擾動的幅度沒有產生明顯的增加，受擾波的波幅、寬度等波形結構和傳播速度基本保持不變，則可判定該波是動力學穩(wěn)定；如果擾動的幅度產生明顯的增加，受擾波的波形結構和速度發(fā)生明顯改變，則可判定該波是動力學不穩(wěn)定.在圖2中顯示的是當A=0.01，μ=40時，t=0和t=0.4時刻的孤立波的波形圖.可看出，隨著時間的推移，初始時刻的局部擾動，逐步彌散到整個計算區(qū)域，但擾動幅度沒有明顯增加.經過一定時間的演化后，t=0.4時刻的受擾孤立波的波形和傳播速度有了一些小的變化，出現了一些波尾，在圖3所示的受擾孤立波與未受擾孤立波在同一時刻的偏差圖上也能看到這一點.這表明微結構固體中的孤立波的抗干擾性不是很強，其動力學穩(wěn)定性也不是很穩(wěn)定.特別是當A=0.01，μ=10，即改變局部擾動的寬度時，受擾孤立波的波形結構和傳播速度有了比較明顯變化（如圖4所示），在圖5所示的偏差圖上也明顯看到這一點.這表明高斯波擾動的幅值能夠影響孤立波的穩(wěn)定傳播之外，其寬度也能影響孤立波的穩(wěn)定傳播.由此可總結出：微結構固體中傳播孤立波的抗干擾性即其動力學穩(wěn)定性不是很強，只有受到幅度和寬度都非常小的高斯波擾動下，微結構固體中傳播的孤立波才能顯現出一定程度的動力學穩(wěn)定性.

圖2 高斯波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.2 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Gaussian wave

圖3 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.3 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

圖4 高斯波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.4 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Gaussian wave

圖5 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.5 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

2.2 Ricker子波擾動下的孤立波

假設微結構固體中傳播的孤立波受到了Ricker子波擾動，其表達式為

其中，A為Ricker子波的幅度，λ為Ricker子波的寬度因數.數值模擬時，所采用的邊界條件、初始條件、材料常數和孤立波幅度都與上節(jié)的相同.圖6中顯示的是當A=0.01，λ=6時，t=0和t=0.4時刻受到Ricker子波擾動的孤立波波形圖.由圖可看出，隨著時間的推移，初始時刻的局部擾動，逐步彌散到整個計算區(qū)域，但擾動幅度沒有明顯增加.經過一定時間演化后，受擾孤立波的波形和傳播速度開始發(fā)生了一些微小的變化，但還能夠保持原有特性.如圖7所示的受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差圖上可以看到兩者的偏差，顯然偏差度很小.因此，在Ricker子波小擾動下孤立波的波形和傳播速度也發(fā)生了一些微小的變化，但相比于高斯波擾動下的變化要小一些.當A=0.01，λ=3，即改變局部擾動的寬度時（如圖8所示），受擾孤立波的波形和傳播速度有了較明顯變化（如圖9所示）.這表明Ricker子波的寬度也能夠影響孤立波的穩(wěn)定傳播.由此可得：微結構固體中傳播孤立波的抗干擾性和動力學穩(wěn)定性不是很強，只有受到幅度和寬度都非常小的Ricker子波擾動下，微結構固體中傳播的孤立波才能顯現出一定程度的動力學穩(wěn)定性.

圖6 Ricker子波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.6 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Ricker wavelet

圖7 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.7 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

圖8 Ricker子波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.8 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Ricker wavelet

圖9 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.9 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

2.3 雙曲正割波擾動下的孤立波

設微結構固體中傳播的孤立波受到了雙曲正割波小擾動，即 u′（x，0）=Asech（μx），同樣我們采用數值方法考察了孤立波傳播的動力學穩(wěn)定性.數值模擬時，所采用的邊界條件、初始條件、材料常數和孤立波幅度等都與上節(jié)相同.圖10給出的是當A=0.01，μ=12時，在t=0和t=0.4時刻受到雙曲正割波擾動的孤立波的波形圖.圖11給出的是在t=0.4時刻受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差圖.從偏差圖可看出，受到雙曲正割波擾動的孤立波的波形和傳播速度的變化情況非常類似于受到高斯波擾動的孤立波的波形和傳播速度的變化情況.圖12給出的是當A=0.01，μ=6時，在t=0和t=0.4時刻受到雙曲正割波擾動的孤立波的波形圖，即受到寬度較寬的雙曲正割波擾動的情況.可以看出，受到寬度較寬的雙曲正割波擾動之后，孤立波的波形和傳播速度有了更明顯的變化，從偏差圖13也可看到這一點.此時的變化情況非常類似于受到高斯波擾動的孤立波的波形和傳播速度的變化情況.相比受到三種不同小擾動下的孤立波的波形和傳播速度的變化，可看出在Ricker子波擾動下孤立波的波形和傳播速度的變化最小，高斯波擾動和雙曲正割波擾動下孤立波的波形和傳播速度的變化非常類似，偏差程度也基本相同.

圖10 雙曲正割波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.10 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Hyperbolic secant wave

圖11 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.11 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

圖12 雙曲正割波擾動下的孤立波（紅色虛線）Fig.12 The solitary wave（red dashed line）disturbed by Hyperbolic secant wave

圖13 受擾孤立波與未受擾孤立波的偏差Fig.13 The deviation of disturbed solitary wave and undisturbed solitary wave

3 結論

描述微結構固體中波傳播的一種KdV類方程作為控制方程，并利用積分因子方法，對受到不同小擾動的孤立波在具有弱微尺度非線性效應的微結構固體中傳播的動力學穩(wěn)定性進行了數值模擬研究.主要結論有：

（1）在高斯波擾動、Ricker子波以及雙曲正割波擾動下，孤立波的動力學穩(wěn)定性都與三種擾動的幅度和寬度有關.

（2）微結構固體中傳播孤立波的動力學穩(wěn)定性不是很強，只有受到幅度和寬度都非常小的小擾動下，微結構固體中傳播的孤立波才能顯現出一定程度的動力學穩(wěn)定性.

（3）擾動幅度和寬度基本相同的情況下，相比Ricker子波擾動，高斯波擾動和雙曲正割波擾動對孤立波的影響更明顯一些.只有穩(wěn)定傳播的孤立波，才能克服擾動，能夠長時間傳播，且能在實驗中觀測到和實際中可能利用到.從此意義上講，微結構固體中孤立波能否穩(wěn)定傳播問題的研究對固體材料性能的無損檢測與評價具有重要實際意義.希望本文結果會對微結構固體的無損檢測與評價提供理論指導和幫助.