相交軸轉子系統(tǒng)當量化建模與扭振響應分析*

陳立滿 楊大煉? 蔣玲莉 李學軍

（1.湖南科技大學機械設備健康維護湖南省重點實驗室，湘潭 411201）（2.佛山科學技術學院機電工程學院，佛山 528225）

引言

轉軸及軸上旋轉部件和支撐部件共同構成轉子系統(tǒng).最典型的轉子系統(tǒng)是Jeffcott轉子，此類轉子系統(tǒng)的轉軸保持同體、同速、同軸線等特性.由于結構、傳動等方面的需求，轉子系統(tǒng)可以是不同體的兩組軸或多組軸.一種情況是通過聯(lián)軸器聯(lián)接，該類轉子系統(tǒng)轉軸不同體、但同轉速、同軸線；另一種是通過齒輪聯(lián)結，又可分為圓柱齒輪聯(lián)結的平行軸轉子系統(tǒng)和錐齒輪聯(lián)結的相交軸轉子系統(tǒng)，其中相交軸轉子系統(tǒng)由螺旋錐齒輪聯(lián)結，廣泛應用于航空、航海等領域.

由于齒輪副的存在，轉子系統(tǒng)將受到明顯的嚙合激勵，嚙合剛度、阻尼不僅使轉子系統(tǒng)建模困難，而且對動力學特性產生極大影響，且不同類型的齒輪副產生的嚙合激勵差異較大.目前圓柱齒輪聯(lián)結的平行軸轉子系統(tǒng)動力學特性的研究較詳盡.洪清泉等［1］在對傳統(tǒng)的齒輪副扭轉振動模型進行動力學等效變換的基礎上，研究了齒輪傳動轉子系統(tǒng)的動態(tài)響應.蔣慶磊等［2］建立了齒輪傳動多轉子耦合系統(tǒng)動力學分析的通用模型，給出了建立多轉子耦合振動模型的方法以及振動特性分析方法.張義民等［3］推導了三平行軸齒輪轉子的嚙合剛度矩陣，通過建立有限元模型，發(fā)現了系統(tǒng)不平衡響應會在非臨界轉速處進行積累，出現最大振動峰值的現象.Tang等［4］建立了一種新的簡化扭轉振動動力學模型，研究了復合行星混合動力系統(tǒng)的扭轉振動特性.Zhang等［5］建立了五平行軸齒輪轉子有限元模型，研究了轉子系統(tǒng)在外載荷作用下，軸承剛度變化引起的臨界轉速和共振特性的變化.

直升機尾傳動系統(tǒng)是典型的錐齒輪聯(lián)結的相交軸轉子系統(tǒng)，朱自冰等［6］、許兆棠等［7，8］使用集中質量和模態(tài)疊加法建立了直升機尾傳動系統(tǒng)動力學模型，并獲得傳動系統(tǒng)的臨界轉速和模態(tài)振型.柴山，范磊等［9，10］推導了考慮彎扭耦合的齒輪嚙合單元的傳遞矩陣，將傳遞矩陣法應用于研究存在嚙合耦合的多級齒輪傳動系統(tǒng)彎扭耦合振動.為了建立更精確的相交軸齒輪傳動系統(tǒng)模型，許多學者將多種建模方法整合在一起處理由于螺旋錐齒輪的存在而產生的問題.Li等［11］首先建立離散的集中質量模型，然后根據錐齒輪嚙合邊界條件利用拉格朗日方程建立彎扭軸耦合動力學模型.雖然集中質量法計算速度快，計算效率高，但它通常使用有限的坐標，不能完全準確地反映傳動系統(tǒng)的結構特性，Hua［12］將集中質量法和有限元法結合起來，提出一種改進的集中質量建模方法.錐齒輪聯(lián)結的相交軸轉子系統(tǒng)，是一類不同體、不同轉速、不同軸線的轉子系統(tǒng)，在空間中改變動力傳遞的方向，不同傳動軸具有不同的局部坐標系，角位移、角速度和轉動慣量等無法在全局坐標系下度量；尾傳動系統(tǒng)的三組傳動軸由兩級減速器聯(lián)結，兩級減速器是螺旋錐齒輪副，產生的嚙合激勵更加復雜，且其裝配精度更難控制，導致建模、臨界轉速和振動響應分析更加困難.國內外學者在研究齒輪轉子系統(tǒng)的扭振動力學特性時，常對轉子系統(tǒng)做當量化處理.王琪［13］、Chen等［14］提出了齒輪轉子的當量化建模思想和理論.Wu等［15］推導了多分支齒輪轉子系統(tǒng)當量化建模公式.Tang等［16］應用當量化建模方法建立了混合動力汽車傳動系統(tǒng)扭振等效模型，Senjanovi?等［17］、Murawski等［18］將當量化建模方法應用到艦船推進系統(tǒng)建模中.

齒輪轉子系統(tǒng)在工作過程中不可避免的產生扭振，因此進行傳動系統(tǒng)扭振響應研究很有必要.Han等［19］通過參數化研究，對實際船舶發(fā)生高扭轉振動的原因進行了分析.Zhao等［20］研究了具有兩級行星齒輪級和一級平行齒輪級的風力發(fā)電機組齒輪箱的扭振.王飛鵬等［21］改進了基于扭矩激勵的多支承轉子系統(tǒng)力學模型，分析了無扭矩激勵和暫態(tài)扭矩激勵作用下，多支承轉子系統(tǒng)的振動響應.廖鵬飛等［22］采用經典的頻域集總參數多質點模型研究了冰載荷沖擊下船舶推進軸系扭振響應.

本文以某型直升機尾傳動系統(tǒng)作為研究對象，采用當量轉化建模方法對相交軸轉子系統(tǒng)做等效處理，進而使用DyRoBes軟件建立相交軸齒輪轉子系統(tǒng)有限元模型，從轉子動力學角度研究相交軸齒輪轉子系統(tǒng)扭振響應規(guī)律，可為齒輪聯(lián)結相交軸轉子系統(tǒng)的機構優(yōu)化設計和運行維護提供參考.

1 齒輪聯(lián)結相交軸轉子系統(tǒng)有限元模型

論文以典型相交軸齒輪聯(lián)結轉子系統(tǒng)——直升機尾傳動系統(tǒng)為研究對象，直升機尾傳動系統(tǒng)由水平軸（HS）、中間減速器、尾斜軸（OS）、尾減速器和尾槳軸（TRS）組成，見圖1.其中，中間減速器與尾減速器均由螺旋錐齒輪副構成［23］.表1給出了中、尾減螺旋錐齒輪的主要參數，其中三根組成軸的長度分別為LHS=2400mm，LOS=LTRS=800mm，外徑D=90mm，內徑d=80mm，材料為結構鋼，弾性模量E=206GPa，ρ=7800kg/m3.

圖1 某型直升機尾傳動系統(tǒng)三維實體模型Fig.1 3D model of a helicopter tail drive system

表1 尾傳動系統(tǒng)各齒輪主要參數Table1 Main parameters of each gear in the tail drive system

1.1 齒輪聯(lián)結相交軸轉子系統(tǒng)當量化有限元建模方法

有限元法的基本思想是將連續(xù)體看成有限個基本單元在節(jié)點處彼此相連接的組合體，使問題變成有限自由度的力學問題，從而借助線性方程組求解.對于扭振而言，有限元法將一個連續(xù)扭振問題離散化成有限自由度的振動問題，扭振系統(tǒng)的離散化力學模型包括質量元件、彈性元件和阻尼元件.對于螺旋錐齒輪聯(lián)結，假設齒輪采用剛性支撐，嚙合的螺旋錐齒輪副等效為由彈性單元和阻尼單元聯(lián)結的等效圓盤，建立兩自由度齒輪副動力學模型，見圖2.

圖2 螺旋錐齒輪副動力學模型Fig.2 Dynamic model of spiral bevel gear pair

Ip，Ig，Tp，Tg，θp，θg，Rp，Rg分別是主從動齒輪的轉動慣量、扭矩、扭轉角位移和基圓半徑，Cm，Km是嚙合阻尼和嚙合剛度，e（t）為靜態(tài)傳動誤差，f（x）為齒側間隙函數，根據動力學模型，參照文獻［24］給出螺旋錐齒輪副扭振微分方程：

采用DyRoBes有限元軟件，進行相交軸轉子系統(tǒng)有限元建模.由于相交軸齒輪聯(lián)結轉子系統(tǒng)各級輸入軸、聯(lián)結齒輪、輸出軸各部分的轉速不同，因此采用當量化建模方法，以輸入軸為等效構件，輸出軸的慣性、彈性和角位移等使用水平軸上的等效量來表征.當量轉化的原則是使當量化后的動能及彈性變形能與當量化前相同［12］.按照式（2）進行計算.

當量轉化后相交軸轉子系統(tǒng)解決了輸入、輸出軸不同軸線、轉速等問題，為建立有限元模型創(chuàng)造條件.根據已建立的螺旋錐齒輪副動力學模型，結合當量轉化建模思想，建立的一級相交軸齒輪轉子系統(tǒng)當量化模型如圖3所示，圖中Km是以扭轉剛度表示的綜合嚙合剛度，Cm是嚙合阻尼，Ie表示當量化后從動輪的轉動慣量.相交軸轉子系統(tǒng)轉化為了同速、同軸線轉子系統(tǒng)，為從轉子動力學角度研究相交軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學特性提供了便利.

圖3 相交軸齒輪轉子系統(tǒng)當量化模型Fig.3 Idealized model of intersecting shaft rotor system

為驗證本文基于DyRoBes的相交軸齒輪聯(lián)結的轉子系統(tǒng)當量化建模方法的有效性，與文獻［8］基于解析法建立的相交軸多級齒輪傳動系統(tǒng)分析案列進行對比.根據文獻［8］提供的數據，建立基于DyRoBes的當量化有限元模型，計算各階扭振臨界轉速，并與文獻［8］的分析結果進行對比，如表2所示.表中可見，兩種方法誤差不大，尤其是低階誤差.由此說明本文提出的基于DyRoBes的齒輪聯(lián)結的相交軸轉子系統(tǒng)當量化建模方法的有效性，可用于直升機尾傳動系統(tǒng)動力學建模分析.

表2 文中方法與現有文獻臨界轉速分析結果對比Table 2 Comparison between the method and the results of natural frequency analysis in existing literatures

1.2 典型相交軸轉子系統(tǒng)直升機尾傳動系統(tǒng)有限元模型

應用基于DyRoBes的相交軸齒輪聯(lián)結的轉子系統(tǒng)當量轉化建模方法，對直升機尾傳動系統(tǒng)進行簡化處理，把系統(tǒng)各部分向尾傳動力輸入軸處等效，以水平傳動軸為等效構件，將尾斜軸的慣性、彈性、力矩和角位移都用等效構件上的等效量來代替，根據表1中的數據和圖1所示的軸系基本結構，采用當量化建模方法，建立圖4所示的尾傳動系統(tǒng)等效扭振有限元模型，為便于分析，設置29個節(jié)點，關鍵節(jié)點位置見表3.將軸段離散化成n個微元軸段，有限元模型具有n個扭轉自由度，其廣義坐標為：

表3 尾傳動系統(tǒng)當量化模型關鍵節(jié)點位置Table 3 Important nodes of idealized model of tail drive system

圖4 尾傳動系統(tǒng)等效扭轉振動模型Fig.4 Equivalent torsional vibration model of tail drive system

其中θi為第i微元處的扭轉角位移.根據轉子動力學理論，尾傳動系統(tǒng)的扭振微分方程為：

其中，I為轉動慣量矩陣，C為扭轉阻尼矩陣，K為扭轉剛度矩陣，Q為扭矩激勵矩陣.

2 齒輪聯(lián)結的相交軸轉子系統(tǒng)扭振特性分析

2.1 扭振臨界轉速和扭振模態(tài)

直升機尾傳動系統(tǒng)由三根傳動軸和聯(lián)結轉軸的兩級減速器組成，齒輪聯(lián)結副使系統(tǒng)存在明顯的嚙合耦合，將系統(tǒng)級和各組成軸前五階臨界轉速進行對比分析，如表4所示，轉子系統(tǒng)的臨界轉速遠遠低于各組成軸.進而求解了尾傳動系統(tǒng)的前10階臨界轉速，如表5所示，分析發(fā)現，系統(tǒng)第1、2階臨界轉速是由耦合作用產生，其余8階系統(tǒng)級臨界轉速均源于各組成軸，其1、2階扭振模態(tài)振型見圖5，由圖5可知，尾斜軸和尾槳軸的扭振幅值較大，需重點關注.

圖5 前兩階扭振模態(tài)振型Fig.5 The first two torsional modes

表4 前5階扭振臨界轉速對比Table 4 Comparison of critical speed of first 5 orders torsional vibration

表5 前10階系統(tǒng)級臨界轉速Table 5 The first 10 orders critical speed of tail drive system

2.2 聯(lián)結齒輪嚙合剛度對扭振的影響研究

相交軸轉子系統(tǒng)的激勵源主要來自于聯(lián)結齒輪副，齒輪副產生嚙合激勵將嚴重影響傳動系統(tǒng)的工作狀態(tài)，造成斷軸、斷齒等嚴重機械故障.

齒輪嚙合過程中，由于參與輪齒嚙合的齒對數是周期性變化的，因此，嚙合過程中的剛度也是周期性變化的，輪齒的時變剛度可以看作嚙合線方向的時變彈性元件產生周期性變化.這種因嚙合剛度的時變性產生的動態(tài)嚙合力并對齒輪傳動系統(tǒng)進行激勵的現象就是剛度激勵.時變嚙合剛度采用式（5）計算：

其中，kn（t）為時變嚙合剛度，Fn（t）為法向動態(tài)嚙合力，B為螺旋錐齒輪齒寬，δ（t）為齒面動態(tài)變形量.由于螺旋錐齒輪齒形復雜，傳統(tǒng)解析法不適用于計算時變嚙合剛度，因此使用Kisssoft軟件計算時變嚙合剛度，為簡化計算，使用平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度，同時忽略嚙合阻尼對臨界轉速的影響.

基于已建立的有限元模型，研究相交軸轉子系統(tǒng)的扭振響應，中、尾減平均嚙合剛度為k1=1.6×106N/m，k2=3× 106N/m，

圖6給出各節(jié)點處的扭振頻譜，圖中存在四個明顯的共振轉速，其數值分別對應于系統(tǒng)前四階臨界轉速，各階臨界轉速處不同節(jié)點的扭振角位移峰值存在顯著差異.

圖6 各節(jié)點扭振頻譜圖Fig.6 Spectrum of angular displacement at all nodes

進一步研究前四階共振角位移隨中、尾減齒輪副嚙合剛度的變化規(guī)律.中減齒輪副嚙合剛度k1取0.6×106N/m，依次遞增 0.2×106N/m，至2.6×106N/m，尾減齒輪副嚙合剛度k2=3.0×106N/m保持不變，分析關鍵節(jié)點17、18和29，即中減主動齒輪、中減從動齒輪和尾旋翼，扭轉角位移隨嚙合剛度改變的變化規(guī)律，如圖7所示.

圖7 不同中減嚙合剛度下的代表性節(jié)點各階共振峰值17Fig.7 The resonant peaks of the representative nodes with different middle meshing stiffness

圖7中，第1、2階共振角位移對中減齒輪副嚙合剛度變化響應豐富，中減嚙合剛度取k1=1.0×106N/m，2.0×106N/m時，各節(jié)點一階共振角位移出現極大值；中減嚙合剛度取k1=1.4×106N/m時，節(jié)點18、29的二階共振角位移出現極大值.由此說明，在系統(tǒng)結構設計時，上述中減嚙合剛度值要盡量避免；在系統(tǒng)運行監(jiān)測中，扭振的變大有可能是嚙合剛度變化引發(fā)，為系統(tǒng)結構優(yōu)化設計及運行維護提供依據.第四階共振峰值對嚙合剛度變化不敏感，但節(jié)點29的四階共振峰值偏大.

尾減嚙合剛度K2取2.0×106N/m，依次遞增0.2×106N/m，至4.0×106N/m，中減齒輪副嚙合剛度K1=1.6×106N/m保持不變.取關鍵節(jié)點23、24和29，即尾減主動齒輪、尾減從動齒輪和尾旋翼，分析扭轉角位移隨嚙合剛度改變的變化規(guī)律，如圖8所示.

圖8中，第一、二、四階共振扭轉角位移對尾減齒輪副嚙合剛度變化響應豐富，尾減嚙合剛度K2=3.8×106N/m時，各節(jié)點一階共振角位移出現極大值；尾減嚙合剛度K2=3.0×106N/m時，各節(jié)點二階共振角位移出現極大值；尾減嚙合剛度K2=2.6×106N/m時，各節(jié)點四階共振角位移出現極大值；在系統(tǒng)結構設計時，要盡量避免尾減的上述嚙合剛度值.相較于圖7，尾減齒輪副嚙合剛度變化對各節(jié)點各階共振的影響遠大于中減齒輪副，在系統(tǒng)結構設計時，尾減的嚙合剛度選用要更加謹慎.

圖8 不同尾減嚙合剛度下的代表性節(jié)點各階共振峰值Fig.8 The resonance peaks of the representative nodes with different tail meshing stiffness

中、尾減齒輪副嚙合剛度變化對各階臨界轉速同樣會產生影響，圖9描述了系統(tǒng)前四階臨界轉速隨中、尾減齒輪副嚙合剛度變化的規(guī)律.由圖可知，第一、二階臨界轉速對嚙合剛度變化較敏感；尾減速器齒輪副嚙合剛度的變化對臨界轉速的影響大于中減速器.

圖9 系統(tǒng)前四階臨界轉速隨聯(lián)結齒輪副變化趨勢圖Fig.9 The trend chart of the first four critical speed of the system with the coupling gear pair

2.3 聯(lián)結齒輪轉動慣量對系統(tǒng)扭振臨界轉速的影響

在尾傳動系統(tǒng)中，兩級減速器中的螺旋錐齒輪具有較大的轉動慣量，對傳動系統(tǒng)的扭振臨界轉速產生重要影響，將各部件的轉動慣量按比例增減，令Ii=（δIp）kg·m4，（i=1，2，3，4，）分別代表中減主動輪（node17）、從 動 輪（node18）、尾 減 主 動 輪（node23）、從動輪（node24）；Ip為各部件的原始轉動慣量，Ipc為各部件改變后的轉動慣量；δ=（Ipc/Ip）×100%=25%，50%，75%，100%，125%，150%，175%，200%.為便于表現各階臨界轉速隨各部分（節(jié)點）轉動慣量變化，以各δ值對應的臨界轉速與δ=100%時臨界轉速的差值為縱坐標，以表征轉動慣量變化的δ值為橫坐標，繪制尾傳動系統(tǒng)各階扭振臨界轉速對轉動慣量變化的響應曲線.

由圖10可知，尾傳動系統(tǒng)扭振臨界轉速對不同部件轉動慣量變化的敏感性不同，尾減速器主動輪（node23）對系統(tǒng)級臨界轉速的影響很小；尾傳動系統(tǒng)不同階臨界轉速對同一部件轉動慣量變化的敏感性亦不相同.中減主動輪（node17）轉動慣量的變化對尾傳動系統(tǒng)第三、四、五階臨界轉速影響較大.

圖10 系統(tǒng)前四階臨界轉速隨轉動慣量變化趨勢圖Fig.10 The trend chart of the first four critical rotational speeds of the system with the moment of inertia

3 結論

（1）本文提出一種基于Dyrobes的當量化建模方法建立齒輪聯(lián)結相交軸轉子系統(tǒng)的有限元模型，與已有研究成果對比驗證了本方法的正確性.應用該方法建立了典型齒輪聯(lián)結相交軸傳動系統(tǒng)——直升機尾傳動系統(tǒng)的有限元模型.

（2）基于已建立的直升機尾傳動系統(tǒng)有限元模型，獲得了傳動系統(tǒng)扭轉振動臨界轉速和模態(tài)振型；對比分析了各組成軸和傳動系統(tǒng)的扭振臨界轉速，發(fā)現第1、2階為系統(tǒng)派生臨界轉速，其余各階源于各組成軸，并且軸系的扭振臨界轉速較各組成軸顯著降低.

（3）中、尾減嚙合剛度值與扭振的各階角位移峰值存在映射關系，部分嚙合剛度值會激發(fā)角位移極大值，保持尾減嚙合剛度k2不變，取k1=1.0×106，1.4×106，2.0×106N/m時產生共振角位移極大值；保持中減嚙合剛度k1不變，取k2=2.6×106，3.0× 106，3.8× 106N/m時產生共振角位移極大值；在系統(tǒng)結構設計及運行中應盡量避免上述嚙合剛度值.中、尾減嚙合剛度變化會引發(fā)系統(tǒng)臨界轉速的變化，尤其是第1、2階臨界轉速.

（4）系統(tǒng)級臨界轉速對不同部件轉動慣量改變的敏感性不同，中間減速器主動輪對系統(tǒng)級臨界轉速影響最大，尾減速器主動輪對系統(tǒng)級臨界轉速的影響最??；系統(tǒng)級各階臨界轉速對同一部件轉動慣量改變的敏感性也不同.