二維高陳數(shù)模型中Bloch電子的拓撲刻畫

劉佳斌，于肇賢，王宏偉，馬余全

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192)

0 引言

對新奇物態(tài)和相變的研究一直是凝聚態(tài)物理的理論前沿。朗道相變理論可以通過自發(fā)對稱性破缺原理對相進行分類。但是隨著對量子Hall效應(yīng)的深入研究，發(fā)現(xiàn)朗道相變理論無法對其相變進行解釋。這是因為引起量子Hall效應(yīng)的量子態(tài)并不存在對稱性破缺，相變的產(chǎn)生源于一種拓撲相。隨著分數(shù)量子Hall效應(yīng)[1]、反常量子Hall效應(yīng)[2]、拓撲絕緣體[3-4]以及拓撲超導(dǎo)[5]等大量無法使用朗道相變理論解釋的現(xiàn)象出現(xiàn)，物理學(xué)界開始引入量子信息和量子態(tài)空間幾何中的概念來研究量子相變。

從量子信息中引入了量子保真度和保真率的概念。Zanardi等[6]在一維橫場XY模型和Dicke模型中利用體系基態(tài)的量子保真度確定了系統(tǒng)的臨界點。周煥強等[7]研究了量子保真度與臨界標度和重整化之間的關(guān)系。陳澍等[8]對具有次近鄰相互作用的海森堡鏈的基態(tài)和激發(fā)態(tài)保真度進行了研究。尤文龍等[9]確立了量子基態(tài)保真率與系統(tǒng)虛時關(guān)聯(lián)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并成功地標識了系統(tǒng)的量子相變和拓撲相變的相邊界。在量子態(tài)空間幾何角度，認識到Berry相位其本質(zhì)為系統(tǒng)波函數(shù)在哈密頓參數(shù)空間中絕熱演化所誘導(dǎo)的厄米線叢上的和樂(holonomy)后，物理學(xué)界發(fā)現(xiàn)量子多體系統(tǒng)的基態(tài)Berry相位與系統(tǒng)的量子相變關(guān)系極大。Parchos等[10]在一維橫場各向異性XY自旋模型中發(fā)現(xiàn)了基態(tài)Berry相位和其與第一激發(fā)態(tài)的Berry相位差在相變點均出現(xiàn)有限的跳躍。朱詩亮[11]證明了一維橫場XY模型的基態(tài)Berry相位對參數(shù)的微商在相變點奇異。

量子保真度、量子保真率以及Berry相都是參數(shù)空間中的局域量，不能全面反映量子態(tài)的拓撲性質(zhì)，所以引入了量子幾何張量。量子保真度和Berry相位兩種途徑可以在量子幾何張量的概念下得到統(tǒng)一的理解。它的實部是由Provost和Valee[12]提出的一種(半正定的)度規(guī)張量，它定義了系統(tǒng)Hilbert參數(shù)空間中兩個毗鄰量子態(tài)之間具有U(1)規(guī)范不變性的距離，對應(yīng)于量子保真度。M.V.Berry[13]指出量子幾何張量的虛部正比于Berry曲率。

Haldane[14]將量子幾何張量引入分數(shù)量子Hall態(tài)的研究，發(fā)現(xiàn)了量子幾何張量和Hall粘滯度的重要聯(lián)系。2013年，馬余全等[15]提出了利用能帶拓撲歐拉數(shù)來表示某些具有能隙的費米系統(tǒng)的非平庸拓撲相，拓撲歐拉數(shù)利用能帶在第一布里淵區(qū)上的黎曼度規(guī)張量，根據(jù)高斯—博內(nèi)定理而求出。實驗中在可調(diào)控的超導(dǎo)量子電路上可以直接測出量子度規(guī)張量，并且能在一個時間反演不變的兩能級系統(tǒng)中觀測到由能帶拓撲歐拉數(shù)所標志的拓撲量子相變[16-17]，從而直接驗證了能帶拓撲歐拉數(shù)的正確性。使用量子幾何張量分析多體量子系統(tǒng)的新奇物態(tài)和相變現(xiàn)象既擁有實驗結(jié)果的支持，又能夠全面而深刻地揭示量子多體系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，所以已經(jīng)成為當前凝聚態(tài)物理的研究熱點。

本文將使用量子幾何張量對二維空間中兩能帶高陳數(shù)格點模型進行研究。這個模型由D.Sticlet[18]等首先提出，模型在費米子原子組成的三角晶格上實現(xiàn)，每個格點都有一個內(nèi)部軌道自由度。類似于Hofstadter模型[19]，模型中電子的躍遷概率幅是復(fù)數(shù)，這種復(fù)躍遷的電子行為會破壞系統(tǒng)的時間反演對稱性。根據(jù)模型Bloch動量空間中的哈密頓量，能夠計算出系統(tǒng)的量子幾何張量，并得到相應(yīng)的Berry曲率和度規(guī)張量。能帶的第一類陳數(shù)由Berry曲率在第一布里淵區(qū)上的積分得到。將度規(guī)張量限定在正定區(qū)域，那么度規(guī)張量也是一種黎曼度規(guī)，運用高斯—博內(nèi)定理，在第一布里淵區(qū)的閉合Bloch態(tài)流形上計算出能帶的拓撲歐拉數(shù)，這種拓撲序[20]與第一類陳數(shù)不同，同時給出了模型的第一類陳數(shù)和拓撲歐拉數(shù)的相圖。第一類陳數(shù)和拓撲歐拉數(shù)是基于量子幾何張量的一種直觀簡單的研究方法，它超越了朗道相變理論框架，全面地刻畫了高陳數(shù)模型的拓撲量子相變現(xiàn)象，并進一步揭示了低維量子體系的拓撲性質(zhì)，為探索新奇量子態(tài)和相變提供了理論方法支持。

1 陳數(shù)和拓撲歐拉數(shù)

計算能帶的第一類陳數(shù)和拓撲歐拉數(shù)，首先引入Bloch動量空間中的量子幾何張量。它由系統(tǒng)Bloch態(tài)U(1)線叢上的兩個毗鄰態(tài)之間規(guī)范不變的度量導(dǎo)出，這里的U(1)線叢是由第n個能級的Bloch態(tài)|un(k)〉的絕熱演化得到。兩個相鄰Bloch態(tài)|un(k)〉和|un(k+δk)〉之間的量子度規(guī)為

(1)

其中μ和ν表示kμ和kν。|?μun(k)〉將分解為

|?μun(k)〉=|Dμun(k)〉+[1-P(k)]|?μun(k)〉

(2)

式中Pn(k)=|un(k)〉〈un(k)|為投影算符，在線叢上|un(k)〉的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為|Dμun(k)〉=Pn(k)|?μun(k)〉。量子絕熱近似保證了|un(k)〉到|un(k+δk)〉在U(1)線叢上的平行輸運，故|Dμun(k)〉=0。因此，將式(2)代入式(1)得到量子度規(guī)：

dS2=

(3)

由此給出量子幾何張量為

(4)

現(xiàn)在求能帶的第一類陳數(shù)和拓撲歐拉數(shù)。在二維動量空間中，第一布里淵區(qū)的拓撲結(jié)構(gòu)是一個二維的環(huán)面，考慮二維動量空間中的哈密頓量，Bloch態(tài)|un(k)〉會隨著系統(tǒng)哈密頓量參數(shù)的量子絕熱演化誘導(dǎo)出一個U(1)線叢。U(1)線叢上所有填充帶的拓撲不變量是第一類陳數(shù)，量子幾何張量的虛部(Berry曲率)在布里淵區(qū)上積分得到第一類陳數(shù)：

(5)

由量子幾何張量實部計算出的拓撲歐拉數(shù)同樣具有拓撲不變性，根據(jù)高斯—博內(nèi)定理，拓撲歐拉數(shù)為

(6)

(7)

式中Rn為與Bloch態(tài)|un(k)〉相聯(lián)系的里奇曲率。

在二維準動量空間k=(kx,ky)中，兩能帶Bloch態(tài)的哈密頓量為

(8)

式中：ε(kx,ky)為哈密頓量的特征值；I2×2為2×2單位矩陣；σα為泡利矩陣，表示贗自旋自由度；dα為泡利矩陣的系數(shù)。哈密頓量的本征能級為

(9)

哈密頓量的本征向量為

(10)

已知Pn(k)=|un(k)〉〈un(k)|，選用低能帶Bloch態(tài)|un(k)_〉，將其代入式(4)得到量子幾何張量：

Qkxky=〈?kxu-|[1-|u-〉〈u-|]|?kyu-〉

(11)

Fkxky=-2ImQkxky=

〈?kxu-|?kyu-〉-〈?kyu-|?kxu-〉

(12)

將式(10)代入式(12)得到Berry曲率：

(13)

(14)

量子度規(guī)的計算是復(fù)雜的，量子度規(guī)行列式detgkxky卻與布洛赫態(tài)|un(k)〉存在一種簡單的關(guān)系：

(15)

通過式(13)和式(15)的比較得到量子度規(guī)行列式detgkxky與Berry曲率之間的關(guān)系detgkxky=(Fkxky)2/4。將式(15)代入式(7)得到能帶拓撲歐拉數(shù)：

(16)

將式(13)代入式(5)得到第一類陳數(shù)：

(17)

2 高陳數(shù)模型

本文選擇了一個具有高陳數(shù)的格點模型[21]作為例子，該模型具有豐富的拓撲物態(tài)。已知該模型Bloch動量空間中的哈密頓量為

H(k)=2t1cos(kx)σ1+2t1cos(ky)σ2+

{2t2cos(kx+ky)+2t3[sin(kx)+sin(ky)]}σ3

(18)

根據(jù)式(8)，從式(18)中得到系數(shù)：

ε(kx,ky)=0，d1=2t1cos(kx)，d2=2t1cos(ky)以及d3=2t2cos(kx+ky)+2t3[sin(kx)+sin(ky)]。將上述系數(shù)代入式(13)得到Berry曲率：

Fkxky=

(19)

將式(19)代入detgkxky=(Fkxky)2/4得到量子度規(guī)行列式：

detgkxky=

(20)

從式(19)和式(20)中知道Fkxky和detgkxky都是t2的函數(shù)。

已知兩能帶模型中的里奇曲率R恒定為8，將式(15)代入式(16)得到能帶拓撲歐拉數(shù)：

(21)

將式(20)代入式(21)得到能帶拓撲歐拉數(shù)的數(shù)值結(jié)果，如圖1所示。

圖1 能帶拓撲歐拉數(shù)隨參數(shù)t2的變化

可以觀察到能帶拓撲歐拉數(shù)并不總是一個精確的偶數(shù)，在3個奇異點t2=-1、t2=0和t2=1處呈現(xiàn)出冠狀曲線。將式(19)代入式(5)得到能帶的第一類陳數(shù)：

(22)

可以使用第一類陳數(shù)來劃分相圖，如圖2所示。

圖2 能帶的第一類陳數(shù)隨參數(shù)t2的變化

在二維準動量空間中，將能帶拓撲歐拉數(shù)和第一類陳數(shù)進行比較。當t2<1時，拓撲歐拉數(shù)出現(xiàn)穩(wěn)定值，其數(shù)值為對應(yīng)第一類陳數(shù)值絕對值的2倍。在-1

3 結(jié)束語

本文研究了兩能帶高陳數(shù)格點模型中Bloch電子的量子幾何張量。基于量子幾何張量的實部給出Bloch態(tài)流形的量子度規(guī)，利用高斯—博內(nèi)定理在第一布里淵區(qū)Bloch態(tài)流形上，得到了能帶拓撲歐拉數(shù)；在第一布里淵區(qū)對量子幾何張量的虛部進行積分得到能帶的第一類陳數(shù)，兩者都可以作為拓撲序來劃分相圖。發(fā)現(xiàn)高陳數(shù)拓撲絕緣體擁有極其豐富的拓撲量子相變現(xiàn)象。當前使用拓撲歐拉數(shù)和第一類陳數(shù)等具有幾何和拓撲的概念來揭示量子多體系統(tǒng)的拓撲量子相變，已經(jīng)成為研究的熱點。在二維嚴格可解量子系統(tǒng)及具有相互作用的自旋與費米系統(tǒng)中，研究它們的量子幾何張量、第一類陳數(shù)以及拓撲歐拉數(shù)與拓撲量子相變的聯(lián)系，對于深入理解量子系統(tǒng)的宏觀量子特性和調(diào)控性，以及探索新奇量子態(tài)和奇異物性提供了必要的理論支持。本文的研究方法可應(yīng)用在大多數(shù)二維嚴格可解的自旋以及費米模型中，如Haldane模型[22]、Kitaev模型[23]、Kane-Mele模型[3-4]。研究其能帶拓撲歐拉數(shù)與其他拓撲量子數(shù)的聯(lián)系可以進一步揭示低維量子體系的一些新的幾何和拓撲性質(zhì)。