基于PLSCM算法的柔性雙足機(jī)器人周期步態(tài)吸引域的求解

劉 鋮，周亞麗，張奇志

(北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,北京 100192)

0 引言

20世紀(jì)末，加拿大著名學(xué)者T.McGeer[1]首次提出了被動(dòng)動(dòng)態(tài)行走的概念，即機(jī)器人可以不依靠外力，僅憑自身的重力特性在具有一定坡度的斜坡上行走。根據(jù)這一概念，他成功研制出了平面被動(dòng)行走雙足機(jī)器人。該機(jī)器人采用圓弧形的腳掌設(shè)計(jì)，雖能夠在具有一定傾斜角度的斜坡上行走，但存在不可控的特點(diǎn)，實(shí)用價(jià)值不大。Michael J.Coleman[2]對(duì)雙足機(jī)器人進(jìn)行改進(jìn)，加入了自由擺動(dòng)的手臂，使其能夠適應(yīng)三維空間的自由行走。雖然被動(dòng)動(dòng)態(tài)行走方法使得機(jī)器人能夠高效行走，能量消耗低且步態(tài)自然，但其抗干擾性能較差，穩(wěn)定性隨著斜坡坡度變大不斷降低[3]。并且機(jī)器人不能在平地行走，因此使用場(chǎng)景十分有限?？紤]到傳統(tǒng)的主動(dòng)行走機(jī)器人存在效率低、步態(tài)不自然的缺點(diǎn)，介于純被動(dòng)行走和主動(dòng)行走機(jī)器人之間的欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人便成為了眾多學(xué)者們的研究對(duì)象。

欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人只在機(jī)器人的部分關(guān)節(jié)增加驅(qū)動(dòng)裝置，讓機(jī)器人不僅能在平地行走，還能提高其魯棒性。自1980年以來(lái)，Raibert等[4]對(duì)欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人進(jìn)行了深入的研究。除此之外，Buss B. G.[5]研發(fā)了欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人MARLO，該機(jī)器人在踝關(guān)節(jié)新增了驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)，使得機(jī)器人能夠在三維空間中自由行走。此外，美國(guó)康奈爾大學(xué)[6]研制了五自由度欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，Tedrake等[7]研制了六自由度無(wú)膝關(guān)節(jié)的3D欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人。清華大學(xué)[8]研制的欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人THR-I，成功實(shí)現(xiàn)了步行周期為0.64 s、步幅為腿長(zhǎng)0.56倍的快速行走。張奇志等[9]對(duì)半被動(dòng)雙足機(jī)器人的固定點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，采用脈沖推力作為行走的動(dòng)力源，使得機(jī)器人可以在水平面上穩(wěn)定行走。這些研究成果不僅驗(yàn)證了采用被動(dòng)行走原理設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人的可行性，也對(duì)基于被動(dòng)行走原理的雙足機(jī)器人的研究起到了推動(dòng)作用。

建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是研究欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人行走步態(tài)的首要步驟。Blickhan[10]在1989年首次提出了彈簧負(fù)載倒立擺模型(spring-loaded inverted pendulum，SLIP)，該模型將人類奔跑時(shí)雙腿的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為兩條帶彈簧的腿的交替運(yùn)動(dòng)。Rummel等[11]通過(guò)多次步態(tài)仿真證實(shí)了柔性腿在實(shí)際行走過(guò)程中具有較好的抗干擾能力。SLIP 模型雖然具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，但其魯棒性較差。因此，Visser等[12]采用變剛度的柔性腿進(jìn)行仿真，使得系統(tǒng)的魯棒性大大增強(qiáng)。Bae等[13]在經(jīng)典SLIP模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)虛擬彈簧和一個(gè)阻尼器，并提出新的狀態(tài)估計(jì)器，對(duì)該模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)估計(jì)。本文擬對(duì)具有SLIP模型和柔性腿的欠驅(qū)動(dòng)雙足機(jī)器人進(jìn)行研究。

由于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型具有非線性和強(qiáng)耦合性，是一個(gè)高維的變結(jié)構(gòu)模型，通過(guò)傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法難以對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的步態(tài)進(jìn)行有效分析。而采用胞映射算法則可以對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型的全局性態(tài)進(jìn)行有效的分析。傳統(tǒng)胞映射算法有兩種形式：簡(jiǎn)單胞映射 (simple cell mapping,SCM)和廣義胞映射 (generalized cell mapping,GCM)。

自從Hsu C.S.[14]于1987年首次將胞映射用于非線性系統(tǒng)的全局性態(tài)分析以來(lái)，胞映射方法在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。柳寧等[15]利用胞映射研究直腿和有膝關(guān)節(jié)的被動(dòng)機(jī)器人，得到了直腿模型的吸引域。張佩杰[16]將Newton-Raphson迭代的思想應(yīng)用到胞映射方法中，極大地提高了吸引域的計(jì)算效率與精度。郭聞昊等[17]通過(guò)用簡(jiǎn)單胞映射方法計(jì)算不同摩擦系數(shù)對(duì)應(yīng)的直腿被動(dòng)行走器的吸引盆，得到了模型的吸引盆會(huì)隨著髖關(guān)節(jié)含庫(kù)倫摩擦系數(shù)的變化而改變的結(jié)論。熊夫睿[18]通過(guò)對(duì)胞映射算法的改進(jìn)，大大提高了運(yùn)用胞映射計(jì)算系統(tǒng)全局性態(tài)的速度。孫建橋等[19]將胞映射算法用于多目標(biāo)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)，并通過(guò)計(jì)算機(jī)的并行計(jì)算解決高維多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題。傳統(tǒng)胞映射算法往往會(huì)產(chǎn)生巨大的運(yùn)算量，而采用類龐加萊胞映射 (Poincare-like simple cell mapping,PLSCM)算法[20]能有效地解決這個(gè)問(wèn)題。PLSCM算法通過(guò)引入龐加萊截面，使胞空間維數(shù)降一維，計(jì)算量大大降低，且更容易求得周期解及分辨周期軌道。尤其在兩個(gè)周期解軌跡十分接近時(shí)，PLSCM算法優(yōu)勢(shì)更為明顯。

在上述文獻(xiàn)中，PLSCM算法主要是應(yīng)用在廣義非線性系統(tǒng)中，來(lái)分析系統(tǒng)的全局特性；或者是應(yīng)用到雙足機(jī)器人領(lǐng)域，對(duì)純被動(dòng)剛性腿機(jī)器人進(jìn)行吸引域的分析。在本文所采用的欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)中，在機(jī)器人一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)，擺動(dòng)腿擺動(dòng)階段不施加控制，僅關(guān)注單雙支撐切換瞬間系統(tǒng)狀態(tài)的變化。因此可采用PLSCM算法，以單雙支撐切換瞬間作為龐加萊截面，可大大減少計(jì)算量。

1 模型建立

1.1 模型描述

圖1為所要研究的雙足機(jī)器人模型。由一個(gè)髖關(guān)節(jié)和兩條長(zhǎng)度可變的柔性腿組成。兩腿各有一個(gè)彈性系數(shù)為k0的彈簧，腿的原始長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，L1為支撐腿長(zhǎng)度，L2為擺動(dòng)腿長(zhǎng)度，腿的長(zhǎng)度變化量為u1和u2。髖關(guān)節(jié)的質(zhì)量為M，腿無(wú)質(zhì)量。以q=[x，y]T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，其中x是髖部運(yùn)動(dòng)的水平位移，y是髖部運(yùn)動(dòng)的豎直位移。圖2為機(jī)器人一個(gè)完整的步態(tài)周期。其初始狀態(tài)是支撐腿垂直站立，擺動(dòng)腿不與地面接觸，即單支撐階段。當(dāng)髖關(guān)節(jié)下降到高度H時(shí)，此時(shí)的H=L0sinα稱為切換高度，擺動(dòng)腿以原始長(zhǎng)度L0和角度α接觸地面，然后機(jī)器人進(jìn)入雙支撐階段。當(dāng)髖關(guān)節(jié)升高到高度H時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入單支撐階段，如此循環(huán)反復(fù)。

圖1 雙足機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖2 雙足機(jī)器人完整的步態(tài)周期

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

基于拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程。拉格朗日函數(shù)定義為

(1)

(2)

式中：n為自由度數(shù)，在本文中n=2；qi為廣義坐標(biāo)；Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力。

由于髖關(guān)節(jié)沒(méi)有力矩，則作用在廣義坐標(biāo)[x，y]T的廣義力Qi為0。以地面為勢(shì)能零點(diǎn)，計(jì)算總動(dòng)能和總勢(shì)能，可得拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式為

(3)

將式(2)代入式(3)，可得單支撐階段的動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

(5)

將式(4)、(5)寫(xiě)成如下的形式：

(6)

式中：

(7)

同理，雙支撐階段可以表示為

(8)

可以簡(jiǎn)化為

(9)

由式(9)可見(jiàn)，當(dāng)機(jī)器人處于單支撐階段時(shí)，是欠驅(qū)動(dòng)模型，在雙支撐階段是全驅(qū)動(dòng)模型。所以從總體上來(lái)說(shuō)是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

2 不動(dòng)點(diǎn)和PLSCM算法

2.1 動(dòng)力學(xué)模型的不動(dòng)點(diǎn)

以不動(dòng)點(diǎn)作為初值能使機(jī)器人直接進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)周期，因此先找到系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)至關(guān)重要。將每一次完整的周期步態(tài)看作一次Poincare映射F，Poincare截面取機(jī)器人單雙支撐切換瞬間。設(shè)一個(gè)狀態(tài)zi(i=1,2,…,n)，有

zi+1=F(zi)

(10)

若有

F(z*)=z*

(11)

則z*稱為不動(dòng)點(diǎn)。偏離不動(dòng)點(diǎn)一定范圍的狀態(tài)變量依然能產(chǎn)生穩(wěn)定步態(tài)，這個(gè)范圍便是該不動(dòng)點(diǎn)的吸引域。在吸引域中選取系統(tǒng)的狀態(tài)初值，機(jī)器人通過(guò)一段時(shí)間的動(dòng)態(tài)過(guò)程，可以收斂到穩(wěn)定的步態(tài)周期。

在實(shí)際的系統(tǒng)中，每次都從精確的不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)是難以達(dá)到的，因此需要對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的吸引域進(jìn)行確定。從不動(dòng)點(diǎn)的吸引域中選擇系統(tǒng)的步態(tài)初值能很大程度降低初值選取的不確定性。

2.2 PLSCM算法

PLSCM算法是利用Poincare映射的思想，將求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)周期解的問(wèn)題

u(t)=u(t+kT)k為正整數(shù)

(12)

轉(zhuǎn)化為求解Poincare截面上點(diǎn)映射系統(tǒng)的周期點(diǎn)問(wèn)題

u*=Cm(u*)

(13)

式中：C為定義在整個(gè)胞狀態(tài)空間上的映射函數(shù)；m為胞映射的階次。在PLSCM算法中，胞函數(shù)C即為Poincare映射F。

圖3 胞空間的劃分

進(jìn)行胞映射前，先賦予所有胞編號(hào)。正規(guī)胞共N個(gè)，編號(hào)為從2到N+1的正整數(shù)，陷胞編號(hào)則為1，陷胞為所關(guān)注的狀態(tài)空間范圍之外的胞。賦予每個(gè)胞3個(gè)參數(shù)：分別為該胞的群數(shù)G，該胞對(duì)應(yīng)周期解的周期數(shù)P，以及該胞映射到周期胞需要的最少映射步數(shù)S。陷胞的周期數(shù)P=1。將正規(guī)胞分成未處理胞、在處理胞和已處理胞。未處理胞為進(jìn)行胞映射之前的正規(guī)胞，其群數(shù)G是0，已處理胞有一個(gè)正整數(shù)的群數(shù)，映射到同一周期運(yùn)動(dòng)的已處理胞具有相同的群數(shù)。以胞編號(hào)為順序進(jìn)行胞映射，設(shè)其編號(hào)為n，以該胞中心點(diǎn)作為初值開(kāi)始胞映射，得到：

zn→C(zn)→C(C(zn))→…Cm(zn)→…

(14)

當(dāng)映射到下一個(gè)胞時(shí)，對(duì)該胞的群數(shù)進(jìn)行檢查。如果新映射到的胞群數(shù)為0，則該胞為未處理胞，將此胞的群數(shù)賦為-1，表示正在對(duì)此胞進(jìn)行處理，繼續(xù)對(duì)此胞進(jìn)行胞映射處理；如果新映射到的胞群數(shù)為正整數(shù)，表示該胞為已處理胞，說(shuō)明映射到了已發(fā)現(xiàn)的周期序列，則將整個(gè)映射序列中的胞都賦予這個(gè)正整數(shù)，結(jié)束此序列，進(jìn)行下一個(gè)未處理胞的映射；如果新映射到的胞的群數(shù)為-1，表示映射到了在處理胞，即發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的周期運(yùn)動(dòng)，則將序列中所有的胞的群數(shù)賦為一個(gè)新的正整數(shù)值，然后結(jié)束此序列，進(jìn)行下一個(gè)未處理胞的映射。按照上述步驟依次對(duì)所有未處理胞進(jìn)行映射，直到所有胞都被處理過(guò)。

3 仿真分析

3.1 求取不動(dòng)點(diǎn)及吸引域

要求取不動(dòng)點(diǎn)的吸引域，需先對(duì)所有正規(guī)胞進(jìn)行胞映射得出周期胞，然后用所得的周期胞作為初值進(jìn)行迭代得出模型的不動(dòng)點(diǎn)，最后通過(guò)PLSCM算法計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的吸引域。

首先給出機(jī)器人的各部分參數(shù)：M=15 kg，L0=1 m，α=62°，k0=1 500 N/m，g=9.8 m/s2，u1=0，u2=0。根據(jù)給定機(jī)器人實(shí)際物理參數(shù)，經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試，確定有效的狀態(tài)空間范圍為：x1∈[0.6,1.8]，x2∈[-2,0]。每個(gè)方向離散100份，加上陷胞共計(jì)10 001個(gè)胞。對(duì)所有胞進(jìn)行編號(hào)，并按順序?qū)⑺姓?guī)胞依次進(jìn)行一次PLSCM計(jì)算。

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，第3 901號(hào)胞映射回自身，且有324個(gè)胞映射到3 901號(hào)胞，可知3 901號(hào)胞為周期胞，部分結(jié)果如表1所示。用該胞對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量組合代入機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行迭代計(jì)算，得到不動(dòng)點(diǎn)[1.062,-0.035]，再運(yùn)用PLSCM算法對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的吸引域進(jìn)行計(jì)算，整個(gè)與不動(dòng)點(diǎn)組數(shù)相同的胞形成的映射序列便構(gòu)成了不動(dòng)點(diǎn)的吸引域，得出的吸引域如圖4所示，不動(dòng)點(diǎn)用“*”標(biāo)出。

從仿真程序運(yùn)行中可以看出：由于簡(jiǎn)單胞映射是對(duì)一個(gè)完整步態(tài)周期連續(xù)跟蹤，一臺(tái)2.20 GHz CPU、8 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)對(duì)雙足機(jī)器人的步態(tài)周期進(jìn)行連續(xù)計(jì)算，需要約0.536 s，相比于僅關(guān)注龐加萊截面上狀態(tài)變量的PLSCM算法所需的0.268 ms，計(jì)算時(shí)間相差約2 000倍，可見(jiàn)PLSCM算法能使計(jì)算量大大減少。

表1 一次PLSCM計(jì)算部分結(jié)果

圖4 用PLSCM算法得到的機(jī)器人吸引域

3.2 選取距不動(dòng)點(diǎn)不同距離的初值進(jìn)行步態(tài)仿真

使用PLSCM算法得到系統(tǒng)的吸引域和不動(dòng)點(diǎn)之后，選取離不動(dòng)點(diǎn)不同距離的胞作為初值進(jìn)行步態(tài)仿真，對(duì)比不同初值下雙足機(jī)器人行走步態(tài)的區(qū)別。首先，選取不動(dòng)點(diǎn)[1.062,-0.035]作為初值，仿真結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出，雙足機(jī)器人沒(méi)有經(jīng)過(guò)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)周期，形成穩(wěn)定的極限環(huán)。而且由于模型采用的是柔性腿，所以在機(jī)器人足底碰撞時(shí)各部分狀態(tài)變量不會(huì)發(fā)生突變，髖關(guān)節(jié)的水平速度和豎直速度這兩個(gè)狀態(tài)變量得以形成首尾相連的環(huán)。

圖5 不動(dòng)點(diǎn)為初值產(chǎn)生的步態(tài)周期

選取不動(dòng)點(diǎn)附近的胞[1.11,-0.515]作為初值進(jìn)行步態(tài)仿真，仿真結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯觯瑱C(jī)器人在經(jīng)歷幾個(gè)周期之后進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)。從髖關(guān)節(jié)的水平速度和豎直速度的變化可知，該胞經(jīng)過(guò)幾次胞映射之后才映射到不動(dòng)點(diǎn)上，這也導(dǎo)致剛開(kāi)始時(shí)髖關(guān)節(jié)的水平速度有一定的起伏，在映射到不動(dòng)點(diǎn)的時(shí)候才穩(wěn)定下來(lái)。可知，在不動(dòng)點(diǎn)附近選取的初值能使機(jī)器人映射一定步數(shù)后進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)。

圖6 不動(dòng)點(diǎn)附近的初值([1.11，-0.515])產(chǎn)生的步態(tài)周期

再選取吸引域邊緣遠(yuǎn)離不動(dòng)點(diǎn)的胞[1.302,-1.385]作為初值進(jìn)行步態(tài)仿真，結(jié)果如圖7所示。從髖關(guān)節(jié)的水平速度和豎直速度的變化可知，該胞剛開(kāi)始完全不能產(chǎn)生穩(wěn)定的步態(tài)周期，經(jīng)過(guò)多次胞映射之后映射到不動(dòng)點(diǎn)才逐漸穩(wěn)定下來(lái)。進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較不動(dòng)點(diǎn)附近初值進(jìn)入穩(wěn)定步態(tài)的時(shí)間要長(zhǎng)。從圖7中可以看出，機(jī)器人在進(jìn)入穩(wěn)定步態(tài)的調(diào)整過(guò)程中，髖關(guān)節(jié)的水平速度有較大起伏，不如不動(dòng)點(diǎn)附近初值的水平速度與水平位移產(chǎn)生的曲線平順。

圖7 遠(yuǎn)離不動(dòng)點(diǎn)的初值([1.302，-1.385])產(chǎn)生的步態(tài)周期

最后，選取陷胞[0.822,-1.595]作為系統(tǒng)的初值，所得的步態(tài)周期如圖8所示。可以看出，無(wú)論是髖關(guān)節(jié)的水平速度還是豎直速度，隨著水平位移的增加都是一片混亂，兩狀態(tài)變量一直不能形成穩(wěn)定的步態(tài)，可見(jiàn)機(jī)器人在吸引域之外不能進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)周期。

圖8 陷胞為初值時(shí)產(chǎn)生的步態(tài)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)拉格朗日第二方程推導(dǎo)出機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，用PLSCM算法對(duì)柔性雙足欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行研究，得到機(jī)器人模型的周期胞和不動(dòng)點(diǎn)的吸引域，從吸引域中選取初值能使機(jī)器人較快地進(jìn)入穩(wěn)定的周期步態(tài)。選取離不動(dòng)點(diǎn)不同距離的胞進(jìn)行映射，發(fā)現(xiàn)不同的胞進(jìn)入穩(wěn)定步態(tài)所需要的步數(shù)不同。以不動(dòng)點(diǎn)作為初值，機(jī)器人直接進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)周期，以遠(yuǎn)離不動(dòng)點(diǎn)的胞作為初值，機(jī)器人經(jīng)過(guò)一定的步態(tài)周期也能進(jìn)入穩(wěn)定的步態(tài)，用陷胞作為初值則機(jī)器人無(wú)法產(chǎn)生穩(wěn)定的步態(tài)。在以上研究的基礎(chǔ)上，如何通過(guò)改變機(jī)器人各部分的物理參數(shù)得到更大的吸引域，使模型具有更好的抗干擾能力是進(jìn)一步研究的課題。