Kersten-Krasil’shchik 耦合KdV-mKdV 方程的達布-貝克隆變換

高 鵬,薛玲玲

（寧波大學 數學與統(tǒng)計學院,浙江 寧波 315211）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是孤立子理論中非常重要的方程.它有N=1[1]和N=2[2]超對稱形式,當中N=2,a=1超對稱KdV 方程為[2-6]:

其中,Di=?/?θi+θi(?/?x),(i=1,2)為超導數;Φ=Φ(x,t,θ1,θ2)是依賴于時間變量t、空間變量x及Grassmann 奇變量θ1與θ2的玻色函數.設Φ=v+θ2β,其中,β=β(x,t,θ1),v=v(x,t,θ1)分別是費米函數和玻色函數,式(1)可改寫為N=1 的超對稱形式:

其中,D≡D1.令β=θ1u(x,t),v=w(x,t),式(2)退化為經典方程:

當w=0時,式(3)約化為KdV 方程ut=(-uxx+3u2)x;當u=0時,式(3)約化為wt=-wxxx+3w2wx和(wwxx)x=0,前者是mKdV 方程.因此,人們將方程(3)稱為Kersten-Krasil’shchik 耦合KdV-mKdV方程[7].此外,令w=iφ,u=-φx(i2=-1),式(3)還可約化為3 階Burgers 方程φt=-(φxx+3φφx+φ3)x.

耦合KdV-mKdV 方程(3)的很多性質已被研究.Kersten 和Krasil’shchik 證明該方程完全可積性,即存在遞推算子和無窮多對稱[7].隨后,Kalkanli 等[8]證明它具有Painlevé 性質和Lax 對,Hon 等[9]獲得了它的孤子解和雙周期波解,Qin 等[10]得到了它的雙線性形式并給出了N-孤子解.最近,Rui 等[11]構造了它的擬周期解,Qasim 等[12]得到了近似解.但據我們所知,它的達布變換和貝克隆變換尚未被研究.

達布變換在孤立子理論和可積系統(tǒng)的研究中起著至關重要的作用,其可以有效地構造出非線性系統(tǒng)不同形式的精確解[13-14].由達布變換可推導出貝克隆變換,即從一個已知解出發(fā)對貝克隆變換積分求得新解.依據Bianchi 的可交換性定理,由貝克隆變換可以生成非線性疊加公式,從而只需通過微分和代數計算便可以求出新解[15].本文將從耦合KdV-mKdV 方程的矩陣形式的線性問題出發(fā),作規(guī)范變換推導達布變換和相應的貝克隆變換,進而構造非線性疊加公式,從而為進一步研究式(3)的解和構造式(1)的達布變換和非線性疊加公式提供理論基礎.

1 達布變換

方便起見,引入變量φ和φ使得w=iφx,u=-φx.由式(3)得到勢KdV-mKdV 方程:

由式(2)的Lax 對[6]可以得到式(4)的Lax 對:

fx+φxg-λf=0,

其中,λ為譜參數.引入變量h使得hx=gφx+φxfx,并令Ψ=[f,g,h]T,式(5)可改寫為矩陣形式:

其中,

可以驗證式(6)的相容性條件,即零曲率方程

等價于式(3).注意到,通過規(guī)范變換[13]:

式(6)等價于文獻[10]給出的Lax 對.

接下來,構造線性系統(tǒng)(6)的達布變換.假設存在一個規(guī)范變換:

使得～Ψ滿足:

假設待定矩陣T關于λ是一次的,即T=λH+G,其中,H和G是與λ無關的 3×3 矩陣,并且將M改寫為:

比較式(9)第1個式子中λ的各次冪系數,得到矩陣方程:

由式(10)可得:

其中,c、s、hij和gij是待定函數,且滿足以下超定方程:

由式(11)知h33為常數.不失一般性,取h33=1.

為得到簡潔的達布矩陣,取式(15)的特解,即g21=0.再由式(14)可得g11=k1,其中,k1是積分常數.

將式(16)和式(19)相加,式(17)和式(18)相減,分別得到:

取其特解:

此時式(16)和式(17)可分別化為:

引入輔助變量r,使得

并取式(24)的特解:

下面將r和其他未知變量用線性系統(tǒng)(6)的解來表示.取Ψ1=[f1,g1,h1]T是線性系統(tǒng)(6)當λ=λ1時的解.特別地,由式(6)的第1 個矩陣方程得:

先求解式(28).

將式(12)整理為:

為了從式(28)中求出r,擬設r=r(f1,g1).利用式(27)的前2 個式子,g12的表達式可改寫為:

將式(31)代入式(28),并比較φx和h1的系數,分別得到以下方程:

式(32)的解為:

其中,k2是積分常數.將式(33)代入式(28),可得k1=-λ1.

然后,求解式(29)和式(30),分別得到:

利用式(25)、(26)、(33)和(34),比較式(13)和式(35)可得:

最后,由式(20)可得k2=0.可以驗證式(21)～(23)成立,式(9)的第2 個矩陣方程也成立.我們將結果整理為以下定理.

定理1設Ψ1=[f1,g1,h1]T是線性系統(tǒng)(6)當λ=1λ時的解,定義

其中,

則式(7)滿足式(8).其中,T是達布矩陣.

需要說明的是,為了給下一節(jié)做鋪墊,式(38)中的達布矩陣T已經用輔助變量r和ρ來表示,即線性系統(tǒng)(6)的解以及φ.下面我們用場變量φ、φ、來表示達布矩陣T.利用式(36)和式(37),把輔助變量r和ρ改寫成:

同理,由式(9)的第2 個矩陣方程可得耦合KdV-mKdV 方程時間部分的貝克隆變換:

2 非線性疊加公式

貝克隆變換式(40)和(41)建立了勢耦合KdVmKdV 方程(4)的新解與舊解(φ,φ)之間的聯(lián)系.從一個已知解出發(fā),對貝克隆變換進行積分一次就可以得到新解,但構造大量的新解有一定困難.由達布-貝克隆變換的可交換性可獲得非線性疊加公式,利用它只需通過微分和代數運算便可以得到新解[14].

利用達布變換(7)以及式(38)和式(39),我們考慮一對達布變換:

其中,

因此,對于給定方程(4)的3 組解(φ,φ)、和,利用式(44)便可以得到新解.