基于剛體衛(wèi)星繩系編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模及姿態(tài)控制*

趙俊淇 陳衛(wèi)東? 余本嵩，2

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

（2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

引言

空間繩系衛(wèi)星系統(tǒng)（Tethered Satellite System），簡(jiǎn)稱TSS，是通過(guò)系繩將兩個(gè)或者多個(gè)衛(wèi)星連接起來(lái)，最初的設(shè)想是空間繩系衛(wèi)星系統(tǒng)由母星和子星以及系繩構(gòu)成，系繩兩端分別連接母星和子星，母星利用卷?yè)P(yáng)機(jī)構(gòu)對(duì)子星進(jìn)行釋放或回收.根據(jù)系繩導(dǎo)電與否，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)可分為電動(dòng)力系統(tǒng)和非電動(dòng)力系統(tǒng)兩大類.多體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)是由兩體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)演化而來(lái)，通常由多個(gè)衛(wèi)星或航天器在空間范圍內(nèi)相對(duì)靜止地組成某種特定的構(gòu)形.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)具有低成本，高靈活性，高性能等優(yōu)勢(shì)，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-7］.

三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，由三顆衛(wèi)星通過(guò)系繩首尾相連，通過(guò)自旋張緊系繩形成穩(wěn)定的空間姿態(tài)，可節(jié)省用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)姿態(tài)以及衛(wèi)星相對(duì)位置的燃料，因此具有很大的研究意義.Kumar等將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，忽略系繩質(zhì)量，通過(guò)拉格朗日法得到橢圓軌道中不包括衛(wèi)星質(zhì)量和系繩長(zhǎng)度的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制方程的一般形式，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的可行性［8］.Kim等對(duì)三角形繩系衛(wèi)星編隊(duì)進(jìn)行了研究，提出通過(guò)控制系繩長(zhǎng)度降低整體所需的推理水平從而實(shí)現(xiàn)節(jié)省燃料的目的［9］.Nakaya等將航天器視為剛體，提出基于虛擬結(jié)構(gòu)方法，研究三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)展開(kāi)過(guò)程中通過(guò)角動(dòng)量以及系繩張力實(shí)現(xiàn)控制方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)展開(kāi)［10］.Topal等將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，對(duì)等邊三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，得到了低地球圓軌道上運(yùn)行的旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定方程［11］.Williams將衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，基于系繩張力控制，對(duì)三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)自旋展開(kāi)的問(wèn)題進(jìn)行了研究［12］.陳志明針對(duì)三星編隊(duì)問(wèn)題提出一種通過(guò)系繩連接的方法基于自選剛體衛(wèi)星的平衡分析，建立了兩種平衡構(gòu)型的繩系衛(wèi)星編隊(duì)方法，并分析了穩(wěn)定性［13］.Yu等忽略衛(wèi)星剛體姿態(tài)，研究了空間三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的自旋穩(wěn)定性并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［14］.Cai等將航天器視為質(zhì)點(diǎn)，研究了釋放和回收階段平動(dòng)點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，并且討論了初始系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)速率與耦合軌道振幅對(duì)釋放回收階段的影響，并得到繩長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)影響不大作為對(duì)三角形繩系衛(wèi)星研究的基礎(chǔ)［15，16］.黃靜等人對(duì)于考慮剛體的欠驅(qū)動(dòng)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制［17］.Bonzani等考慮剛體衛(wèi)星對(duì)經(jīng)典兩體繩系衛(wèi)星建模并分析了大氣阻力對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響［18］.Huang等人對(duì)于輻形繩系衛(wèi)星進(jìn)行考慮剛體衛(wèi)星姿態(tài)的展開(kāi)控制研究［19］.

本文考慮衛(wèi)星的剛體姿態(tài)的影響，對(duì)三體環(huán)形繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行研究.采用四元數(shù)法，避免方程奇異值，采用Newton-Euler法建立動(dòng)力學(xué)模型，得到包含四元數(shù)的可求解的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程.基于此動(dòng)力學(xué)模型，分析三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).對(duì)于扭矩造成的衛(wèi)星姿態(tài)不穩(wěn)定，通過(guò)施加控制力進(jìn)行主動(dòng)控制.

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

三顆質(zhì)量相同的衛(wèi)星S1、S2、S3通過(guò)系繩兩兩相連組成三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng).衛(wèi)星質(zhì)量相等為m，將衛(wèi)星視為半徑為rc的球體，相對(duì)各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J.由剛度為EA，原長(zhǎng)為L(zhǎng)的系繩連接.忽略J2攝動(dòng)以及大氣阻力，引入三組坐標(biāo)參考系，設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)圓球體，建立固結(jié)于地球質(zhì)心O，X軸指向升交點(diǎn)，Z軸垂直于軌道平面的慣性坐標(biāo)系O-XYZ；同時(shí)以系統(tǒng)質(zhì)心o為原點(diǎn)，x軸為系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的反方向，y軸由地球質(zhì)心指向系統(tǒng)質(zhì)心建立軌道坐標(biāo)系o-xyz；另外，對(duì)于衛(wèi)星Si，以衛(wèi)星質(zhì)心oi為原點(diǎn)，yi軸由系統(tǒng)質(zhì)心指向衛(wèi)星質(zhì)心，zi軸平行于慣性坐標(biāo)系Z軸建立本體坐標(biāo)系oi-xiyizi.本文在慣性坐標(biāo)系O-XYZ下建模.

系統(tǒng)為正三角形形狀，對(duì)一顆衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模，類推到另外兩衛(wèi)星.剛體衛(wèi)星Si共有6個(gè)自由度，即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)三個(gè)移動(dòng)自由度和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.在慣性系下，通過(guò)笛卡爾坐標(biāo)系Xi、Yi、Zi表示剛體的質(zhì)心位置，對(duì)于剛體姿態(tài)，采用四元數(shù)λi0、λi1、λi2、λi3代替歐拉角，未知變量增加為7個(gè).根據(jù)Newton第二定律，列出慣性系下的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：

其中，i，j，k=1，2，3，mi為衛(wèi)星Si的質(zhì)量，r?i=(X?i，Y?i，Z?i)表示慣性系下衛(wèi)星Si的位置矢量，F(xiàn)i為衛(wèi)星Si受到的萬(wàn)有引力，Tij、Tik為衛(wèi)星Si受到的系繩拉力.慣性系下衛(wèi)星Si剛體動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，i，j，k=1，2，3，ωi為剛體的角速度，Ji為衛(wèi)星Si的慣量張量，Mi為衛(wèi)星Si的萬(wàn)有引力主矩，Nij及Nik為系繩拉力產(chǎn)生的力矩.

考慮本體坐標(biāo)系下衛(wèi)星Si的萬(wàn)有引力，系統(tǒng)質(zhì)心所在軌道高度為H，地球平均半徑為RE，為方便辨別，將本體坐標(biāo)系下變量右下角加(i)，α1，β1，γ1、α2，β2，γ2、α3，β3，γ3分別是本體坐標(biāo)系oi-xiyizi中xi軸、yi軸、zi軸與慣性系X，Y，Z軸的方向余弦.設(shè)地球質(zhì)心O相對(duì)于剛體任意位置的微元質(zhì)量dm的徑矢為ri′(i)，有：

其中r為地球質(zhì)心相對(duì)于剛體質(zhì)心的距離大小，作用于微元質(zhì)量dm的萬(wàn)有引力主矢dF和對(duì)oi的主矩dM為：

其中，ρi(i)=(xi(i)，yi(i)，zi(i))，dm為相對(duì)于剛體質(zhì)心oi的徑矢，在剛體域內(nèi)積分，可得衛(wèi)星Si在本體坐標(biāo)系下的萬(wàn)有引力主矢Fi和主矩Mi，可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣變換到慣性系下的萬(wàn)有引力主矢和主矩.

考慮剛體受到的系繩拉力，認(rèn)為系繩質(zhì)量很小，忽略不計(jì).衛(wèi)星上系繩連接處位置如圖1所示.假設(shè)系繩連接處位置位于軌道坐標(biāo)系的x，y平面，系繩連接處延長(zhǎng)相交于衛(wèi)星表面，由此可以確定系繩連接處位置，在本體坐標(biāo)系下oi-xiyizi，衛(wèi)星Si的系繩連接處位置ai、bi，相應(yīng)另外兩顆衛(wèi)星的位置在各自的本體坐標(biāo)系下表示為aj、bj及ak、bk，轉(zhuǎn)換到慣性系下后可以進(jìn)行計(jì)算，得到系繩實(shí)際實(shí)時(shí)長(zhǎng)度.記另兩顆衛(wèi)星分別為Sj、Sk，衛(wèi)星Si相連的兩根系繩拉力分別是：

圖1 軌道坐標(biāo)系下x，y平面系繩位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the position of the xy plane tether in the orbital coordinate system

其中，E為系繩的楊氏模量，A為系繩的橫截面積，rij及rik分別是衛(wèi)星Si與Sj、Sk之間系繩的實(shí)時(shí)長(zhǎng)度，rij及rik分別為它們的模.

通過(guò)本體坐標(biāo)系可以表示出系繩拉力對(duì)衛(wèi)星Si質(zhì)心的距離rTij及rTik，從而得到拉力力矩Nij及Nik：

將各個(gè)力與力矩通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的坐標(biāo)系下，代入公式（1），（2）中即可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

取一組參數(shù)數(shù)值研究該動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量相同，為100kg，記繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)質(zhì)心所在軌道距地高度為H=500km，地球平均半徑為RE=6378km，地球引力參數(shù)μE=3.9885×1014m3/s2［16］，則系統(tǒng)所在得軌道高度的繞地角速度為：

即軌道坐標(biāo)系o-xyz相對(duì)于慣性系O-XYZ的公轉(zhuǎn)角速度約為Ω=0.0011rad/s；根據(jù)坐標(biāo)系的建立得知，軌道坐標(biāo)系相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的角速度也為Ω，且旋轉(zhuǎn)方向以逆時(shí)針為正.記系繩初始長(zhǎng)度皆為L(zhǎng)=10km，且不計(jì)系繩質(zhì)量，剛體為rc=1m的球體.本文研究的三體環(huán)形繩系編隊(duì)系統(tǒng)繞軌道坐標(biāo)系z(mì)軸自旋運(yùn)動(dòng)，在給定系統(tǒng)初始自旋角速度為ω=5Ω的情況下，進(jìn)行系繩連接處位置不同時(shí)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的討論.

2.1 系繩連接處延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)質(zhì)心

取系繩剛度EA=5×104N，首先，對(duì)于系繩連接位置過(guò)質(zhì)心的簡(jiǎn)單情況進(jìn)行數(shù)值模擬，此時(shí)沒(méi)有系繩拉力引起的扭矩，同時(shí)系繩位置及萬(wàn)有引力位于x，y平面內(nèi)，因此，x，y平面內(nèi)剛體所受力矩為0，只有z方向的扭矩，且沒(méi)有z方向的位移.因此僅對(duì)x，y平面上的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行展示.得到仿真結(jié)果如圖2所示，表示慣性系下系統(tǒng)運(yùn)行軌跡，圖2為軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1的運(yùn)行軌跡，得到完整規(guī)則圓形，對(duì)其進(jìn)行細(xì)節(jié)觀察，可以發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星圍繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)五個(gè)周期，而且周期之間距離相差較小.

圖2 慣性系下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.2 Trajectory diagram of the system in the inertial coordinate system

圖3 軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1運(yùn)行軌跡Fig.3 Trajectory of satellite 1 in the orbit coordinate system

2.2 系繩連接處延長(zhǎng)線不經(jīng)過(guò)衛(wèi)星質(zhì)心

初始時(shí)刻，取系統(tǒng)質(zhì)心及衛(wèi)星S1的質(zhì)心同時(shí)位于慣性坐標(biāo)系O-XYZ的X軸上，衛(wèi)星相對(duì)于各自本體坐標(biāo)系的偏轉(zhuǎn)角度都為0，數(shù)據(jù)模擬結(jié)果如圖4，圖5所示，圖4表示慣性系下系統(tǒng)運(yùn)行軌跡，圖5為軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1的運(yùn)行軌跡，都得到完整規(guī)則圓形，因此表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的.同時(shí)觀察軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡細(xì)節(jié)，可以發(fā)現(xiàn)在ω=5Ω的情況下，衛(wèi)星圍繞系統(tǒng)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)五個(gè)周期，因此，驗(yàn)證了方法的正確性，但是相比于系繩位置穿過(guò)質(zhì)心的情況，周期之間距離更大，受到系繩位置影響.

圖4 慣性系下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the system in the inertial coordinate system

圖5 軌道坐標(biāo)系下衛(wèi)星1運(yùn)行軌跡Fig.5 Trajectory of satellite 1 in the orbit coordinate system

3 衛(wèi)星姿態(tài)控制

3.1 基于單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制

首先通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣，將衛(wèi)星角度從四元數(shù)轉(zhuǎn)化為歐拉角的形式，根據(jù)前文受力可知，衛(wèi)星只受z方向的扭矩，因此只有繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，即α角的變化.單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示 .圖 中 ，x1(k)=e(k)-e(k-1)；x2(k)=e(k)；x3(k)=Δ2e(k)=e(k)-2e(k-1)+e(k-2)；初始角度為0，即理想角度為0，e(k)為衛(wèi)星瞬時(shí)角度αd(t)與理想角度α(t)的差值.則控制律u(k)為：

圖6 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Single neuron adaptive PID control structure block diagram

權(quán)值wi(k)的學(xué)習(xí)算法為：

其中，z(k)=e(k)；ηP、ηI、ηD分別為比例、積分、微分的學(xué)習(xí)速率；K為神經(jīng)元的比例系數(shù)，K>0.對(duì)比例P、積分I、微分D的調(diào)節(jié)，可以通過(guò)ηP、ηI、ηD分別進(jìn)行調(diào)節(jié)，取ηP、ηI、ηD分別為10、1、10進(jìn)行計(jì)算，得到最佳比例、積分、微分系數(shù).

3.2 滑模控制

通過(guò)滑?？刂瓶刂菩l(wèi)星角度α變化，考慮被控對(duì)象

取滑模函數(shù)為

其中，e(k)仍為衛(wèi)星瞬時(shí)角度αd(t)與理想角度α(t)的差值，e?(t)為衛(wèi)星瞬時(shí)角速度α?d(t)與理想角速度α?(t)的差值，則：

采用等速趨近律，有

結(jié)合式（16）和式（17），得基于趨近律得滑?？刂坡蔀椋?/p>

取b，c，ε分別為1，100，0.01進(jìn)行滑模控制.

3.3 算例研究

取前文的各數(shù)值進(jìn)行控制仿真，如表1所示.

表1 繩系衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of tethered satellite system

對(duì)衛(wèi)星1的姿態(tài)控制進(jìn)行仿真，其他兩衛(wèi)星姿態(tài)控制方法類似.系繩連接處所在位置如圖7所示，系繩延長(zhǎng)線不經(jīng)過(guò)衛(wèi)星質(zhì)心，首先通過(guò)普通PID控制，檢驗(yàn)控制方法可行性，如圖7所示.

由圖7可以看出，在簡(jiǎn)單的PID控制下，衛(wèi)星的姿態(tài)得到了良好的控制，說(shuō)明控制方法的有效性，但是對(duì)于PID控制，控制參數(shù)需要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)以及多次實(shí)驗(yàn)得出，增加工作量，同時(shí)效率較低，因此通過(guò)改進(jìn)方法，采用基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制進(jìn)行衛(wèi)星的姿態(tài)控制.得到基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制與PID控制結(jié)果對(duì)比圖如圖8所示.圖中虛線為普通PID控制，實(shí)線為單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制，可以看出，單神經(jīng)元自適應(yīng)得到的PID的參數(shù)進(jìn)行控制后，控制曲線超調(diào)量更小，控制效果更好，穩(wěn)定速度更快.普通PID控制可以使衛(wèi)星角度轉(zhuǎn)動(dòng)控制在10-2的數(shù)量級(jí)，而單神經(jīng)元PID將其控制在0左右.

圖7 有無(wú)控制衛(wèi)星姿態(tài)對(duì)比Fig.7 Satellite attitude comparison：with vs.without control

圖8 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制與PID控制結(jié)果對(duì)比圖Fig.8 Comparison of single neuron adaptive PID control and PID control results

對(duì)于滑模控制，控制結(jié)果與基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制的對(duì)比圖如圖9所示.圖9中實(shí)線代表單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制結(jié)果，虛線代表滑?？刂平Y(jié)果.從圖中可知，二者超調(diào)量基本相同，都可以達(dá)到10-4數(shù)量級(jí)，滑?？刂祈憫?yīng)更快，更加平穩(wěn)，控制時(shí)間在10s左右，三種控制結(jié)果對(duì)比如表2所示.

圖9 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制與滑模控制結(jié)果對(duì)比圖Fig.9 Comparison of results of single neuron adaptive PID control and sliding mode control

表2 控制結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of control results

4 結(jié)論

對(duì)于三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)，通過(guò)采用考慮剛體姿態(tài)的模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，獲得更符合實(shí)際情況的動(dòng)力學(xué)模型，得到不同系繩連接位置的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，驗(yàn)證模型有效性；對(duì)于系繩拉力引起的姿態(tài)不穩(wěn)定，通過(guò)基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制以及滑?？刂七M(jìn)行姿態(tài)控制，并取得良好的控制效果.