漂浮基空間機(jī)械臂的反演滑模容錯(cuò)控制*

宋齊 王遠(yuǎn)彬 于瀟雁，2?

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州，350116）（2.流體動(dòng)力與電液智能控制福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州，350116）

引言

空間機(jī)械臂所處空間環(huán)境的特殊性，系統(tǒng)產(chǎn)生故障之后，宇航員難以在較短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)故障位置進(jìn)行維修，容易對(duì)后續(xù)空間任務(wù)的完成造成較大的影響，產(chǎn)生較為嚴(yán)重的后果.因而如何保證對(duì)空間機(jī)械臂的控制具有高精度、較好的穩(wěn)定性和較高的安全性一直都是研究的重點(diǎn)內(nèi)容［1，2］.

為了提高機(jī)械臂在軌跡追蹤過(guò)程中的穩(wěn)定性與容錯(cuò)性能，大量的容錯(cuò)控制方法被提出來(lái)了.Niederlinski［3］最早提出了完整性控制的概念，隨后容錯(cuò)控制這一概念被正式的提了出來(lái).在這個(gè)基礎(chǔ)上，人們對(duì)容錯(cuò)控制進(jìn)行了深入的研究.Zhang［4］針對(duì)單輸入單輸出的二階非線性系統(tǒng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）提出了一種適應(yīng)性的主動(dòng)容錯(cuò)控制.Qin［5］等人提出了一種通過(guò)殘差發(fā)生器作為觀測(cè)器，然后將比例微分（PD）與比例積分微分（PID）控制律相互結(jié)合的容錯(cuò)控制.還有很多的其他的控制方法，比如H∞控制［6］，反演制［7］，滑?？刂疲?］等.在眾多的容錯(cuò)控制方法中，由于滑?？刂凭哂休^好的魯棒性，因而根據(jù)滑?？刂扑岢鰜?lái)的容錯(cuò)控制被廣泛的應(yīng)用于機(jī)械臂中.但是滑?？刂票旧碛幸幌盗械娜秉c(diǎn)，如：收斂時(shí)間較慢、存在抖振、需要知道不確定性因素的上界等問(wèn)題.因此為了解決這些問(wèn)題，一系列的控制方法被提出來(lái)了 .Wang［9］和 Yin［10］等人提出的快速終端滑模控制方案解決了滑?？刂频挠邢迺r(shí)間收斂的問(wèn)題 .Liu［11］和 Van［12］等人提出的非奇異快速終端滑模控制方法同時(shí)解決了滑?？刂频钠娈惡陀邢迺r(shí)間收斂問(wèn)題.Wu［13］等人通過(guò)二階滑?？刂破鹘鉀Q了系統(tǒng)不確定因素所需要預(yù)知上界的問(wèn)題.童超［14］等人提出了基于模糊冪次趨近律的快速滑模控制，對(duì)抖震的抑制效果明顯.Van［12］等人提出了高階滑模控制方式在一定程度上減小了抖震的存在并具有較好的跟蹤精度.以上他們所提出的這些方法都在一定程度上解決了滑模控制本身存在的弊端，并且實(shí)現(xiàn)了很好的控制.但是這些方法僅僅考慮了滑?？刂埔环N或者兩種缺點(diǎn)然后予以解決，沒有綜合考慮滑?？刂票旧淼亩喾N弊端.

當(dāng)空間機(jī)械臂作業(yè)的時(shí)候，希望機(jī)械在保證系統(tǒng)本身穩(wěn)定性的前提下，既能夠穩(wěn)定運(yùn)行，也具有較高的反應(yīng)速率，這樣可以提高其可操作性.因此本文提出一種新型的滑?？刂品桨福瑫r(shí)綜合高階滑?？刂啤⒖焖俳K端滑?？刂坪头e分滑?？刂频膬?yōu)勢(shì)，使得該控制器同時(shí)具有非奇異、抖振小和收斂迅速的特性.還通過(guò)對(duì)控制器進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得機(jī)械臂能夠在一定程度上允許機(jī)械故障發(fā)生之后，依舊能夠依據(jù)既定的任務(wù)要求，持續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行，完成空間操作任務(wù).

首先依照積分滑模控制切換函數(shù)提出一個(gè)非奇異的積分切換函數(shù)，確?？刂品椒ň哂蟹瞧娈惙e分滑?？刂频目焖偈諗康膬?yōu)點(diǎn).然后將切換函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)的方法，將其轉(zhuǎn)化成三階的形式，在滿足Lyapunov穩(wěn)定理論的前提下設(shè)計(jì)控制方案，使其同時(shí)具有高階滑?？刂贫墩裥〉膬?yōu)點(diǎn)，從而保證所設(shè)計(jì)的方法收斂速度快、非奇異且抖振小.在控制方法中對(duì)特定的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，保證系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程不受不確定參數(shù)的影響，并達(dá)到容錯(cuò)的目的.最后通過(guò)MATLAB數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的軌跡跟蹤.

1 問(wèn)題描述

圖1所示為在空間做平面運(yùn)動(dòng)的漂浮基剛性三桿機(jī)器人系統(tǒng).整個(gè)系統(tǒng)由自由漂浮的載體B0和固定在載體上的機(jī)械臂B1、B2以及B3兩部分組成.任取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，建立平動(dòng)的慣性坐標(biāo)系（O-XY）.

圖1 漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1 A planar free-floating space manipulator

機(jī)械臂僅在（X，Y）坐標(biāo)內(nèi)做平面運(yùn)動(dòng)，q0、q1、q2和q3分別表示系統(tǒng)載體姿態(tài)以及機(jī)械臂關(guān)節(jié)的相對(duì)轉(zhuǎn)角.

忽略外太空的微重力，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由拉格朗日第二動(dòng)力學(xué)方程可得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一般形式方程為：

其中，q∈Rn，q?∈Rn和q?∈Rn分別表示關(guān)節(jié)位置向量，關(guān)節(jié)速度向量和關(guān)節(jié)加速度向量，D(q)∈Rn×n為慣性矩陣，h(q，q?)q?∈Rn×n為包含科氏力和離心力項(xiàng)，τ∈Rn×n為關(guān)節(jié)力矩向量.

考慮到系統(tǒng)存在擾動(dòng)或者故障等未知因素，通常空間機(jī)器人的一般動(dòng)力學(xué)方程可寫成：

其中，?(q，q?，τ)∈Rn為系統(tǒng)故障函數(shù) ，γ(t-Tf)∈Rn是對(duì)故障事件的描述，而Tf是指故障所發(fā)生的時(shí)刻.γ(t-Tf)通常是一個(gè)對(duì)角矩陣，其形式一般為：

其中，γi(i=1，2，3，...，n)的大小表示故障函數(shù)對(duì)狀態(tài)方程的影響程度.故障函數(shù)模型可表示為：

其中，ai>0用來(lái)表示未知故障的演化速率，ai較大時(shí)表示突發(fā)性故障，而ai值較小時(shí)表示潛在故障.

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程模型，定義x1=q，x2=q?，則機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程可以改寫為：

其中，u=τ為 驅(qū) 動(dòng) 力 矩 ，f(x1，x2)=D(q)-1(-h(q，q?)q?) 為 系 統(tǒng) 已 知 部 分 參 數(shù) ，B=γ(t-Tf)?(q，q?，τ)為機(jī)械臂的故障參數(shù).

本文主要設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制輸入u，來(lái)達(dá)到發(fā)生故障的狀態(tài)下依舊實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡的跟蹤控制.

2 基于反演的滑模容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)

首先需要確保所提出的控制方法是非奇異的，并且能夠快速收斂，因此定義一個(gè)非奇異積分滑模面為：

其中，K1=diag{K11，K12，...，K1n}，K2=diag ｛K21，K22，...，K2n｝，具體數(shù)值主要取決于滑模面的性質(zhì) .p和b分別為兩個(gè)正奇數(shù)并且1

該滑模面函數(shù)結(jié)合了快速終端滑?？刂坪头瞧娈惢？刂频奶攸c(diǎn)，使得系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)收斂并且非奇異.理想的滑模狀態(tài)有s=s?=0，也就是e+K1ea+K2e?p/b=0.為了克服滑模控制本身的振動(dòng)特性，將滑模面函數(shù)轉(zhuǎn)換成高階形態(tài)，達(dá)到減小振動(dòng)的目的.因而對(duì)滑模面函數(shù)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)有：

再將基于狀態(tài)向量的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)二階狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)變成基于選定滑模面的三階狀態(tài)空間模型如下：

為了找到（13）的狀態(tài)空間模型的有效輸入，依據(jù)反演設(shè)計(jì)的原則設(shè)計(jì)控制器.引入坐標(biāo)變換：

其中，k1為設(shè)計(jì)參數(shù).根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，針對(duì)方程（14）定義Lyapunov函數(shù)：

對(duì)式（17）關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

要想保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，V?1的值必須小于0，因此需要保證θ2的值為0即可.選取Lyapunov函數(shù)：

對(duì)式（19）關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

取φ=k2θ2+s+k1s?，k2為設(shè)計(jì)參數(shù) .將其代入（20）式得到：

那么針對(duì)V?2，要想保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其值必須小于0，從式（21）可看出只需要θ3為0即可.因而定義Lyapunov函數(shù)為：

對(duì)式（22）關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，那么有：

根據(jù)式（23）可知，通過(guò)選取合適的τ，保證V?3<0即可保證跟蹤誤差漸進(jìn)收斂至0，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的.因此設(shè)計(jì)控制器為：

所以V?3≤0成立，即系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.

其中，μ和ε均為給定的數(shù)值.不確定參數(shù)的上界實(shí)際值為γ，估計(jì)值為δ，選取Lyapunov函數(shù)：

式（27）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)為：

所以V?4≤0成立，說(shuō)明說(shuō)設(shè)計(jì)的方法能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定收斂.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證該算法的有效性，以做平面運(yùn)動(dòng)的三桿漂浮基空間機(jī)械臂為對(duì)象，通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)仿真.假設(shè)載體在圖1所示的平面尺寸為1m×1m，其質(zhì)量為m0=100kg，慣性矩為I0=16.667kg?m2，機(jī)械臂的桿長(zhǎng)分別為l1=l2=l3=1m，質(zhì)量分別為m1=4kg，m2=m3=3kg，慣性矩分別為I1=0.333kg ?m2，I2=I3=0.25kg?m2.系統(tǒng)各參數(shù)選取為a1=10，a2=10，K1=10，K2=5，α=1.4，p=9，b=7，k1=200，k2=100，k3=5，μ=2，ε=0.01.

指定關(guān)節(jié)期望運(yùn)動(dòng)軌跡如下：

本文論證的內(nèi)容包含兩部分，分別為機(jī)械臂在正常狀態(tài)下的軌跡跟蹤狀態(tài)和機(jī)械臂在發(fā)生故障的情況下軌跡跟蹤狀態(tài).機(jī)械臂的初始狀態(tài)角分別為q0=0.32，q1=0.2，q2=0.3，q3=1.1.

當(dāng)機(jī)械臂在無(wú)故障發(fā)生的狀態(tài)下運(yùn)行時(shí)，只要能夠?qū)崿F(xiàn)軌跡跟蹤，不同的控制器影響的是軌跡追蹤上期望軌跡之前的狀態(tài)，因此將所設(shè)計(jì)的控制器跟 CTC［15］和 PID-SMC［15］5控制器一起放入模型中，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，整個(gè)仿真運(yùn)行時(shí)間為10s.通過(guò)MATLAB軟件的模擬仿真，得到不同控制器對(duì)各個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤曲線，分別如圖2～4和圖5所示.從這四幅圖中曲線軌跡可以看出，當(dāng)機(jī)械臂的實(shí)際關(guān)節(jié)初始位置與期望軌跡初始值不一致時(shí)，CTC控制器在跟蹤上期望軌跡之前會(huì)在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生大幅震蕩，并且頻率較快.這種關(guān)節(jié)角的高頻率大幅震蕩容易引起機(jī)械臂的機(jī)械故障，系統(tǒng)的穩(wěn)定性差.而且在追蹤上期望軌跡之前，所耗費(fèi)的時(shí)間也較長(zhǎng).PID-SMC控制器在進(jìn)行軌跡追蹤過(guò)程中，關(guān)節(jié)角的變化較為平緩，不會(huì)產(chǎn)生跟CTC算法那樣的大幅震蕩，甚至能夠在較短時(shí)間內(nèi)趨近于期望軌跡.但是在實(shí)際軌跡趨近于期望軌跡之后，并不會(huì)立即追蹤上期望軌跡，需要花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間才能完全追蹤上期望軌跡.本文設(shè)計(jì)的基于反演的高階滑模容錯(cuò)控制（ABNFTSMC）相比較于前兩種控制器，在整個(gè)追蹤過(guò)程關(guān)節(jié)角的變化較為平緩，不會(huì)出現(xiàn)震蕩，而且軌跡追蹤花費(fèi)時(shí)間較短，能夠保證整個(gè)系統(tǒng)在追蹤過(guò)程中的平穩(wěn)變化，表明了該控制器收斂快，抖振小的特性.

圖2 載體姿態(tài)角軌跡追蹤圖Fig.2 The tracking angular trajectory of the base

圖3 關(guān)節(jié)1的軌跡追蹤圖Fig.3 The tracking angular trajectory of the joint 1

圖4 關(guān)節(jié)2軌跡追蹤圖Fig.4 The tracking angular trajectory of the joint 2

圖5 關(guān)節(jié)3的軌跡追蹤圖Fig.5 The tracking angular trajectory of the joint 3

為了驗(yàn)證該控制器在機(jī)械臂故障的狀態(tài)下對(duì)軌跡追蹤的性能，即是否具有一定的容錯(cuò)能力，因此在其軌跡追蹤過(guò)程中對(duì)特定關(guān)節(jié)施加故障，定義故障函數(shù)如下所示：

故障函數(shù)的第一項(xiàng)表示機(jī)械臂在運(yùn)行到第20s的時(shí)候控制載體姿態(tài)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生了一個(gè)突發(fā)性故障.在發(fā)生第一個(gè)故障的基礎(chǔ)上，運(yùn)行到第30s的時(shí)候關(guān)節(jié)1失去了11%的有效驅(qū)動(dòng)力.關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的故障函數(shù)為0則表示該關(guān)節(jié)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中未發(fā)生故障，健康運(yùn)行.

加入故障函數(shù)之后，CTC和PID-SMC兩個(gè)控制器不具有對(duì)故障的容錯(cuò)能力.圖6為運(yùn)行時(shí)間為30s的軌跡追蹤圖，在運(yùn)行到第20s的時(shí)候，載體執(zhí)行機(jī)構(gòu)開始出現(xiàn)故障，CTC和PID-SMC控制器所追蹤的曲線開始偏離預(yù)定軌跡，并且沒法回歸到預(yù)定軌跡上來(lái).運(yùn)行時(shí)間超過(guò)30s之后，關(guān)節(jié)1的驅(qū)動(dòng)力減小，已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行有效的軌跡追蹤，仿真計(jì)算失敗，因此不再進(jìn)行比較.

圖6 載體姿態(tài)軌跡跟蹤圖Fig.6 The tracking angular trajectory of the base

針對(duì)本文中所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真計(jì)算.整個(gè)追蹤過(guò)程所用時(shí)間為50s.通過(guò)數(shù)值仿真得到載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的軌跡跟蹤曲線分別如圖7-11所示.圖7為載體姿態(tài)角的軌跡追蹤曲線，從曲線中可以看出，雖然在第20s的時(shí)候機(jī)械臂的執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生了故障，但是實(shí)際軌跡并沒有發(fā)生嚴(yán)重偏離期望軌跡的情況.從圖8（a）可以看出姿態(tài)角執(zhí)行機(jī)構(gòu)出現(xiàn)故障之后，并沒有對(duì)關(guān)節(jié)2的正常運(yùn)行產(chǎn)生影響，在運(yùn)行到第30s的時(shí)候，關(guān)節(jié)1失去了11%的驅(qū)動(dòng)力，雖然此后短時(shí)間內(nèi)關(guān)節(jié)角出現(xiàn)了一定程度的振蕩，但是在較短的時(shí)間內(nèi)再次跟蹤上了期望軌跡，并且之后的運(yùn)行過(guò)程中沒有出現(xiàn)較大的跟蹤誤差.從圖9和圖10軌跡曲線可以看出，姿態(tài)角執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障跟關(guān)節(jié)1的驅(qū)動(dòng)力故障并沒有影響到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的正常運(yùn)行.圖11是機(jī)械臂末端實(shí)施外在操作的機(jī)構(gòu)位置軌跡跟蹤曲線，從曲線中可以清晰地看出在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中，機(jī)械臂末端實(shí)際軌跡跟蹤上了期望軌跡，雖然在第20s和第30s兩個(gè)關(guān)節(jié)位置發(fā)生了一定程度的故障，但是實(shí)際軌跡始終沒有偏離期望軌跡，控制器的容錯(cuò)性能達(dá)到了預(yù)期的效果.

圖7 載體姿態(tài)軌跡跟蹤圖Fig.7 The tracking angular trajectory of the base

圖8 （a）關(guān)節(jié)1的軌跡跟蹤圖Fig.8 （a）The tracking angular trajectory of the joint 1

圖8（b）關(guān)節(jié)1驅(qū)動(dòng)力故障后軌跡跟蹤曲線放大圖Fig.8（b） The enlargement of the tracking angular trajectory of the joint 1 after the driving force failure

圖9 關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤圖Fig.9 The tracking angular trajectory of the joint 2

圖10 關(guān)節(jié)3的軌跡跟蹤圖Fig.10 The tracking angular trajectory of the joint 3

圖11 機(jī)械臂末端軌跡跟蹤圖Fig.11 The tracking position trajectory of the end-effector

4 結(jié)論

本文依據(jù)漂浮基三桿空間機(jī)械臂具有動(dòng)量守恒和動(dòng)量矩守恒的特性，利用拉格朗日第二動(dòng)力學(xué)方程結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心的概念建立了三桿平面運(yùn)動(dòng)漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

然后在關(guān)節(jié)空間，依據(jù)反演的控制策略，提出了一個(gè)滑?？刂坡?該控制律兼具高階滑?？刂?、積分滑?？刂坪头瞧娈惢？刂频膬?yōu)點(diǎn)，具有了響應(yīng)速率快、收斂性較好和抖振小的特性.為了保證在具有一般的控制性能之外還具有一定的容錯(cuò)性能，設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)自適應(yīng)率.該自適應(yīng)率添加到控制器中為整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)提供了更好的容錯(cuò)能力，在一定程度上確保了機(jī)械臂在出現(xiàn)故障之后依舊能夠完成既定任務(wù)的能力，提高了整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增強(qiáng)了其適應(yīng)能力.系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果表明，本文所提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)漂浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)的快速穩(wěn)定的跟蹤控制.