含變質量負載的雙連桿機械臂振動控制*

馬馳騁 胡帥釗 高坤明 張春林 郭宗和?

（1.山東理工大學交通與車輛工程學院，淄博255000）（2.中南林業(yè)科技大學土木工程學院，長沙410004）

引言

柔性機械臂結構在工業(yè)自動化或者智能裝備等領域的普及率越來越高，有效地提高了工業(yè)生產效率.在機械臂工作過程中，構件的剛體運動或者操作對象的質量變化都會引起結構整體參數的改變.關于含變質量構件的旋轉運動結構的動力學問題研究開展得相對較少，而在工業(yè)機器人、建筑機械、空天大型柔性結構及荷載機械臂等實際工程問題中，又迫切地需要開展變質量-剛柔耦合系統(tǒng)的動力學響應及其振動主被動控制方面的科學研究［1］.曹青松等［2，3］針對剛-柔-電耦合的雙連桿壓電柔性機械臂，結合模糊自整定/PSO自整定算法提高PID控制器的作用效果，仿真和實驗表明混合PID控制器具有響應快、魯棒性好、調整方便等優(yōu)點，更好地改善了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能.洪昭斌等［4］設計了基于奇異攝動理論的載體、關節(jié)鉸軌跡跟蹤的魯棒神經網絡控制算法和柔性振動反饋PD控制算法，所設計的控制算法解決了系統(tǒng)參數未知等因素帶來的影響，能快速準確地追蹤運動軌跡，同時可以抑制柔性桿的振動模態(tài).空間機械臂系統(tǒng)在轉動過程中必然會激起柔性臂的彈性振動，婁軍強等［5，6］在降低伺服電機的驅動扭矩的同時，通過反饋策略抑制了柔性臂的彎曲和扭轉振動，從而提高了柔性機械臂系統(tǒng)的末端定位精度.

近年來機器人工業(yè)的蓬勃發(fā)展，進一步推動了剛柔耦合結構振動控制方面的研究.Mohamed Z等［7］提出了一種基于線性矩陣不等式（LMI）的比例微分（PD）耦合控制器，用來實現(xiàn)平面雙連桿柔性機械轂角位置和端點偏轉控制，從輸入跟蹤能力和臂桿偏轉水平兩方面評價了該控制器的性能，實驗結果表明LMI-PD控制具有更好的魯棒性和系統(tǒng)性能.Lochan K等［8］針對一種雙連桿柔性機械臂結構，通過一種基于PID滑面的滑?？刂破?，實現(xiàn)了目標的高精度滑?？刂?，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，保證了PID滑動面的穩(wěn)定性.榮吉利等［9］建立了剛柔耦合的雙連桿機械臂動力學模型，提出了一種LQR-PD聯(lián)合控制策略，不僅能實現(xiàn)關節(jié)軌跡的精確跟蹤，而且能有效抑制臂桿末端的殘余振動.針對系統(tǒng)的不確定性和時變擾動，Xu B［10］分別提出了基于復合學習控制和基于擾動觀測器的兩種性能增強型控制器，有效地提高機械手的跟蹤性能.Karagülle H等［11］主要分析了伺服電機加減速時間和雙連桿結構殘余振動的關系，發(fā)現(xiàn)如果減速時間的倒數等于系統(tǒng)的第一階固有頻率時殘余振動（均方根）最小；如果減速時間的倒數等于第一階固有頻率的一半，殘余振動最顯著.Gao H等［12］本文采用假設模態(tài)法建立了兩連桿柔性機械手的N維離散化模型，然后基于離散化的動力學模型和神經網絡控制器，研究了全狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制，實現(xiàn)了軌跡跟蹤和振動抑制，并設計實驗平臺驗證了該神經網絡控制器的可行性.邱志成等［13］以兩桿柔性機械臂實驗平臺為基礎，對柔性臂轉動過程中由于電機力矩驅動產生的彈性振動，采用比例控制和非線性控制算法進行振動主動控制，取得了優(yōu)良的控制效果.Qiu Z等［14］采用廣義最小方差自校正控制和基于Takagi-Sugeno模型的模糊神經網絡控制方案，對兩連桿柔性機械手的主動振動控制進行了實驗研究，結果表明與傳統(tǒng)的線性PD控制器相比，所設計的控制器能更快地抑制雙連桿柔性機械手的大振幅和小振幅振動，特別是小振幅殘余振動.杜嚴鋒等［15］對柔性機械臂系統(tǒng)建立了一次近似剛柔耦合動力學模型，針對不同的運動參數對系統(tǒng)振動變形情況進行了仿真，分析了減速時間對機械臂殘余振動的影響.從文獻回顧中可以發(fā)現(xiàn)，近年來關于柔性機械臂的動力學分析、定位追蹤和振動控制等方面的研究工作越來越多，然而旋轉機械臂工況下質量變化對系統(tǒng)動力學特性的研究仍然相對缺少.

在之前工作的研究基礎上［16-18］，針對含變質量負載的雙連桿機構，本文主要開展了動力學響應分析和振動主動控制兩個方面的工作，具體內容如下：推導了變質量-雙連桿結構的有限元方程，研究了負載質量恒定系統(tǒng)和負載質量時變系統(tǒng)的振動特性，最后采用速度比例負反饋控制器對含變質量負載的雙連桿結構進行了振動控制.

1 有限元模型

含變質量構件的雙連桿結構如圖1所示，彈性桿OA和桿AB都可以自由旋轉，固定端O和連接A處分別安裝一個伺服電機，桿AB的末端有一個質量負載，末端集中質量是時間的函數，定義為m（t）.兩根桿的角度歷程如圖2所示，兩個電機先加速，然后平穩(wěn)運動，最后減速達到指定位置.然而由于桿件屬于彈性體，電機停止工作后，慣性使彈性桿件產生殘余振動.這也是在實際中不希望出現(xiàn)的情況，因為殘余振動會影響結構的定位和工作穩(wěn)定性，因此有必要對殘余振動現(xiàn)象分析并加以控制.在推導結構的動力學方程之前，首先對一個變質量彈簧振子系統(tǒng)進行分析，系統(tǒng)的剛度和質量分別是k和m（t），位移用x表示，那么系統(tǒng)的動能和勢能分別為1/2mx?2和1/2kx2，根據拉格朗日方程可以得到系統(tǒng)的運動微分方程為mx?+m?x?+kx=0，從方程中可以看出方程中第二項是質量變化率和速度的乘積，類似于一個阻尼的作用.因此在變質量系統(tǒng)的動力學分析中，質量變化會同時引起慣性項和阻尼項的改變.更為重要的是當系統(tǒng)質量減少時，質量變化率小于零，此時阻尼項為負，負阻尼會減緩振動的衰減，當該項大于結構阻尼時，甚至會引起振動的放大.在后面的推導中，附加的阻尼項被直接加在對應的節(jié)點上.電機O、電機A和末端負載的質量分別用m1、m2和m3表示，電機O和電機A等效剛度用k1和k2表示.

圖1含變質量負載的雙連桿機構Fig.1 Double link mechanism with variable mass load

圖2角速度歷程Fig.2 Angular velocity history

根據有限單元法［19，20］，可以方便地建立圖1所示結構的動力學方程.采用平面梁單元（2節(jié)點）建立桿件的有限元模型，每個節(jié)點包含三個自由度，包括兩個位移自由度（u，v）和一個轉角自由度φ：單元位移可以通過形函數N和節(jié)點位移di來表示：同時需要一個轉換矩陣來描述桿件單元的節(jié)點位移，轉換矩陣T具有如下形式，

其中，

利用轉換矩陣T，任意角度處的第i個單元的位移向量d，剛度矩陣k，質量矩陣m和外力向量f都可以通過轉換矩陣來表示，

其中，ki和mi為梁單元的單元剛度矩陣和質量矩陣，fi為單元慣性載荷向量，具體形式為［11］：

其中，h為單元長度，桿件單位長度的重量為ρA，x和y方向的由電機驅動引起的加速度分別為ax和ay，那么x和y方向的慣性力分量分別為qix=-ρiAihax和qiy=-ρiAih(ay+g)［11］，其中g為重力加速度.將轉換后的單元剛度矩陣進行組裝，得到系統(tǒng)整體的運動方程為：

其中M，C，K和F分別為總體質量矩陣、總體阻尼矩陣、總體剛度矩陣和載荷向量.阻尼C為比例阻尼，用比例阻尼系數α和β表示，

因為伺服電機具有一定的剛度k1，因此，O點處（矩陣中nO位置）的剛度為：

在A點處（矩陣中nA位置）我們需要考慮伺服電機的質量m2和轉動慣量I2，質量矩陣修改為：

同時還要考慮伺服電機2的剛度k2，剛度矩陣在nA修改為，

在B點（矩陣中nB位置）忽略末端負載對剛度的影響，只考慮集中質量m3對系統(tǒng)總體質量矩陣的影響：

根據前面的介紹已知質量變化會引起一個附加的阻力項［16-18］，這個阻尼并不是傳統(tǒng)意義上的阻尼，而是因為力與速度成正比，我們把他定義為一個阻尼項，大小為質量對時間的導數.

2 動力學特性分析

雙連桿結構中桿OA和桿AB的材料參數如表1所示，伺服電機的質量、轉動慣量以及剛度系數在表2中列出［11］.

表1 材料參數Table 1 Properties of the material

表2 伺服電機參數Table 2 Parameters of the Servo motors

使用表1和表2中的參數計算系統(tǒng)的前四階模態(tài)和對應的固有頻率.前四階模態(tài)如圖3所示.表3中列出了不計末端負載時兩根桿夾角不同時結構的固有頻率（θ12=θ2f-θ1f），從表中可以看出，隨著兩根桿夾角角度的增大，第一階固有頻率逐漸增大，這是由于對于第一階模態(tài)是繞著左端電機的變形，結構重心越靠近左端，有效質量越小，從而頻率越高.第二階模態(tài)以桿AB的變形為主，同時隨著角度的增大，桿OA對桿AB的影響減小，即桿AB的約束變弱，從而導致第二階頻率降低.從表中也可以看出夾角的變化對高階頻率影響較小.表4中列出了θ12=90°時不同末端負載時結構的固有頻率，質量越大，固有頻率越低.對于旋轉機械臂來說，由于剛體運動和負載質量的改變，系統(tǒng)的振動頻率發(fā)生明顯的改變，殘余振動的響應規(guī)律也更加復雜，這進一步增加了振動控制的難度.

圖3 不同θ12時結構的振型Fig.3 Mode shapes for different θ12

表3 不同角度時結構的固有頻率Table 3 Natural frequencies of the structure with different angles

表4 不同末端負載時結構的固有頻率Table 4 Natural frequencies of the structure with different payloads

在本文中只研究了一種典型的運動模式如圖4所示，其他模式可以從這種模式上拓展.開始時兩根桿在同一直線上，電機O和電機A分別帶動桿OA和桿AB旋轉，經過一段時間后，桿OA旋轉了90°，桿AB旋轉了170°.兩根桿從初始位置到最終位置角度的變化如圖5所示，3s后電機停止工作，但是由于慣性的影響，兩根桿還會發(fā)生振動，經過一段時間的衰減，桿件才能準確地停到指定位置.實際工作中機械臂往往需要完成連貫的動作，因此殘余振動會嚴重影響機械臂的定位和運動穩(wěn)定性.

圖4 雙連桿結構的運動狀態(tài)Fig.4 The motion state of the double-link structure

圖5 兩根桿件的旋轉角Fig.5 Rotation angle of two rods

通過Bathe法［20］求解系統(tǒng)的有限元方程（6），計算流程如圖6所示.計算中時間步長為0.007s，比例阻尼系數分別取1%和0.1%.圖7給出了負載質量不變時系統(tǒng)的加速度響應，圖7（a）是負載質量等于0.4kg時系統(tǒng)的響應，圖7（b）是負載質量等于2kg時系統(tǒng)的響應.從圖中我們可以看到，當結構停止旋轉時，桿件依然會發(fā)生劇烈的振動，也就是說發(fā)生了殘余振動，一方面負載質量越大，系統(tǒng)的頻率越低，另一方面也可以看到負載越大，慣性越大，因此殘余振動也越明顯.

圖6 Bathe法計算流程Fig.6 The flow chart of the Bathe’s method

圖7 負載質量恒定時系統(tǒng)自由端的加速度響應曲線Fig.7 Acceleration response curves of the free end of the system with a constant payload

圖8顯示了負載質量變化時系統(tǒng)的加速度響應曲線，在質量增加和質量減小兩種情況下系統(tǒng)響應分別如圖8（a）和圖8（b），在質量增大過程中，負載質量從0.4kg增大到2kg，質量減小過程中，負載質量從2kg線性減小到0.4kg.關于變質量負載的問題，在航天航空領域研究比較廣泛，但是在以往的研究中重點分析了質量變化對系統(tǒng)固有頻率特性的影響，而并沒有考慮質量變化引起的附加阻尼的效果，因此本文同時給出了考慮附加阻尼和不考慮附加阻尼兩種情況時系統(tǒng)的響應，如圖8所示.從圖中可以明顯看出，附加阻尼對系統(tǒng)的響應影響是非常顯著的.當系統(tǒng)質量增加時，會產生一個附加的正阻尼，因此系統(tǒng)的響應會在正阻尼的作用下加速衰減，而在質量減小過程當中，會同時引起一個附加的負阻尼力，這個負阻尼力會減緩系統(tǒng)振動的衰減.如果系統(tǒng)的質量變化非常劇烈，那么會引起一個很大的附加阻尼作用，當附加的阻尼力的作用超過結構本身的阻尼時，甚至會引起系統(tǒng)振動幅值的增大.因此在變質量結構動力學分析中，系統(tǒng)質量變化引起的非結構阻尼作用十分顯著，質量變化引起的非結構阻尼效應不可忽略.

圖8 負載質量變化時系統(tǒng)自由端的加速度響應曲線Fig.8 Acceleration response curves of the free end of the system with a time-varying payload

3 主動控制研究

在桿AB上靠近電機A的位置粘貼PZT-5A壓電片，利用壓電致動效應產生反饋控制力，壓電片的尺寸為30*20*0.5 mm3.設計速度負反饋控制器開展結構的主動控制研究，首先采集自由端處的加速度，通過積分模塊將加速度量轉換成速度量，由反饋控制器輸入信號給功率放大器，最后驅動壓電致動器實現(xiàn)閉環(huán)控制.

首先仿真了負載質量恒定時雙連桿結構的殘余振動抑制，控制前后系統(tǒng)自由端附近的加速響應曲線如圖9所示，從圖9中可以看到，對于m=0.4kg和m=2kg兩種負載工況下，施加反饋控制之后，系統(tǒng)的響應得到了有效的抑制.在壓電片的工作電壓范圍內，增大反饋系數可進一步提升控制效果.

圖9 負載質量恒定時的控制效果Fig.9 Control results for the system with constant payload

然后對含變質量負載的雙連桿機構開展數值模擬，負載質量仍然從0.4kg線性增大到2kg，或從2kg線性減小到0.4kg，在質量增大工況和質量減小工況下控制結果分別如圖10（a）和圖10（b）所示.根據控制前后桿件自由端處的加速度響應對比，可以明顯看出施加反饋控制后，結構的振動幅值迅速衰減，說明了速度反饋策略對時變參數系統(tǒng)控制的有效性，由于質量減小系統(tǒng)的速度響應較大，因此控制效果更佳顯著.根據響應對比，還有很大的控制提升空間，一方面可以增大反饋系數，另一方面可以嘗試采用高級控制算法，如模糊PID控制，最優(yōu)二次型控制等.

圖10 負載質量變化時的控制效果Fig.10 Control results for the system with time varying payload

4 結論

本文主要開展了含變質量負載的雙連桿機構的動力學分析及振動主動控制兩個方面的工作.研究表明，負載的質量變化對系統(tǒng)的動力學響應有非常顯著的影響，除了對頻率的改變，還引起了一個附加的阻尼力效果.當負載質量增大時，引起一個正的阻尼力效果；當負載質量減小時，引起一個負的阻尼力效果.附加阻尼力對系統(tǒng)的動力學響應影響十分顯著，當附加的負阻尼力的作用效果超過結構阻尼時，甚至會引起系統(tǒng)振動幅度的增大.在動力學分析的基礎上，對含變質量負載的雙連桿機構開展了主動控制研究，通過施加速度負反饋控制，有效地抑制系統(tǒng)的殘余振動，從而提高了結構的運動穩(wěn)定性和定位精度.后期的主要工作是變質量-雙連桿結構的試驗平臺設計和先進控制算法在該類結構振動抑制中的使用，本文的工作可以為高精度機械臂結構的設計提供一定的參考.