無(wú)限維Hilbert空間上一類算子方程的解
2021-05-18 02:35:42楊凱凡
楊凱凡
(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723001)
設(shè)H
是無(wú)限維Hilbert空間,B
(H
)表示H
上的有界線性算子的全體.論文在無(wú)限維Hilbert空間上研究非線性算子方程的正算子解問(wèn)題，其中A
,Q
∈B
(H
)，Q
>0,X
是B
(H
)中的未知算子且t
>1是給定的正整數(shù).近年來(lái),形如X
+A
X
A
=Q
，X
-A
X
-A
=I
等的矩陣方程受到許多學(xué)者的關(guān)注和研究.前人大多數(shù)是利用矩陣論的相關(guān)知識(shí)，特別是圍繞矩陣的秩展開(kāi)研究，在有限維空間上，給出這類方程有正定矩陣解的一些條件. 論文在無(wú)限維Hilbert空間上,結(jié)合算子論的相關(guān)知識(shí),給出了方程(1)有正算子解的一些必要條件和充分條件.X
-A
X
-A
=Q
(1)
1 預(yù)備知識(shí)
對(duì)于A
∈B
(H
)，‖A
‖,A
,ω
(A
),γ
(A
)分別表示算子A
的范數(shù)、伴隨算子、數(shù)值域半徑及譜半徑. 如果對(duì)任意x
∈H
， 都有(Ax
,x
)≥0，則稱A
為正算子,記為A
≥0((x
,y
)表示x
,y
的內(nèi)積).若T
,S
∈B
(H
),T
≥S
是指算子T
-S
為正算子.引理1
設(shè)T
∈B
(H
). 若T
是正規(guī)的,則ω
(T
)=γ
(T
)=‖T
‖.引理2
設(shè)P
,Q
是正算子,且P
>Q
. 如果PQ
=QP
, 則對(duì)任意實(shí)數(shù)t
>1,有P
>Q
.
B
(H
)上的正算子, 有:(1) 若P
≥Q
>0 , 則P
≤Q
.設(shè)A
為B
(H
) 上的正算子，則A
≤‖A
‖I
.(2) 設(shè)A
,B
∈B
(H
)是自伴算子且滿足A
≤B
， 則對(duì)任意T
∈B
(H
)，有T
AT
≤T
BT
.
命題
若A
∈B
(H
)是正規(guī)算子,則由A
生成的C
*-代數(shù)是可交換的.2 主要結(jié)論及其證明
定理1
若算子方程 (1)有正算子解X
, 則(1)γ
(A
+A
)<‖2X
-Q
‖;(2)γ
(A
-A
)<‖2X
-Q
‖;
證明
(1) 顯然A
X
-A
≥0，所以由方程(1)可知X
=A
X
-A
+Q
≥Q
，t
>1，所以X
≥X
,因此X
-A
X
-A
-A
-A
≤X
-A
X
-A
-A
-A
=2X
-(X
+A
X
-A
+A
+A
)=2X
-(X
+A
)*X
-(X
+A
)≤2X
,所以A
+A
≥Q
-2X
.同理X
-A
X
-A
+A
+A
≤X
-A
X
-A
+A
+A
=2X
-(X
+A
X
-A
-A
-A
)=2X
-(X
-A
)*X
-(X
-A
)≤2X
,從而，有
Q
-2X
≤A
+A
≤2X
-Q
，γ
(A
+A
)≤‖2X
-Q
‖.(2) 若X
-A
X
-A
=Q
有正算子解X
, 則X
-(iA
)X
-(iA
)=Q
也有正算子解X
,其中i表示虛數(shù)單位.由該定理中的結(jié)論(1)可知γ
((iA
)+(iA
))≤‖2X
-Q
‖ ，即γ
(A
-A
)≤‖2X
-Q
‖.(3) 若X
-A
X
-A
=Q
有正算子解X
, 則X
-(eiA
)X
-(eiA
)=Q
也有正算子解X
,其中θ
∈[-π,π].由結(jié)論(1)可知γ
((eiA
)+(eiA
))≤‖2X
-Q
‖，而(eiA
)+(eiA
)對(duì)所有的θ
∈[-π,π]都是自伴的，所以ω
((eiA
)+(eiA
))≤‖2X
-Q
‖，因此對(duì)任意的θ
∈[-π,π]及單位向量x
，都有(|((eiA
)+(eiA
))x
,x
)|≤‖2X
-Q
‖.另一方面，對(duì)H
上的單位向量x
，存在θ
(x
)，使得ei()(Ax
,x
)≥0，因此|(((ei()A
)+(ei()A
))x
,x
)|=((ei()A
)x
,x
)+((ei()A
)x
,x
)=2(ei()Ax
,x
)≤‖2X
-Q
‖.而對(duì)H
上的單位向量x
，總有|(Ax
,x
)|=|(ei()Ax
,x
)|，
不管是設(shè)計(jì)單位、制造單位、使用單位，還是檢驗(yàn)單位，都應(yīng)秉著認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度來(lái)對(duì)待工作，將責(zé)任落到實(shí)處，這樣才能避免壓力容器事故的發(fā)生。
定理2
若算子方程 (1)有正算子解X
, 則‖A
‖<‖X
-Q
‖‖X
‖.證明
由方程X
-A
X
-A
=Q
，可得
C
∈B
(H
)(其中‖C
‖=1)，使得
因此
AA
<‖X
-Q
‖X
.由此可得‖A
‖<‖X
-Q
‖‖X
‖.定理3
若算子方程 (1)有正算子解X
, 則‖X
‖=‖Q
‖的充要條件是A
不是下有界的.證明
由定理1及正算子的性質(zhì)知，若方程由正算子解X
，則X
≥Q
,‖X
‖≥‖Q
‖.必要性.設(shè)‖X
‖=‖Q
‖，而X
和Q
都是正算子(記‖Q
‖=b
),所以ω
(X
)=γ
(X
)=‖X
‖=b
，(Xx
,x
)=((A
X
-A
+Q
)x
,x
)=(Qx
,x
)+(A
X
-Ax
,x
)，從而(AX
-Ax
,x
)→0.由引理3知
Ax
→0，因此A
不是下有界的.充分性.反證法：假設(shè)‖X
‖>‖Q
‖=b
，則X
-bI
是可逆的.因此存在常數(shù)δ
，使得對(duì)于任意向量x
∈H
，有((X
-bI
)x
,x
)≥δ
‖x
‖.由X
=A
X
-A
+Q
,結(jié)合Q
≤‖Q
‖I
=bI
可得, 對(duì)任意向量x
∈H
，有
證明
構(gòu)造正算子序列
(2)
根據(jù)迭代序列(2),X
在由A
和Q
生成的C
*-代數(shù)中,且A
是正規(guī)的,由命題1知, 對(duì)任意的n
=0,1,2,…，有AX
=X
A
,X
+1X
=X
X
+1，
X
≥Q
，所以，有Q
=X
≤X
≤X
=Q
+A
Q
-A
，逐次類推可得
Q
=X
≤X
≤X
≤…≤X
≤X
≤X
=Q
+A
Q
-A
.(3)
Q
≤X
≤Q
+A
Q
-A
.記‖Q
+A
Q
-A
‖=a
,‖Q
‖=b
，則b
≤‖X
‖≤a
，所以
(4)
(5)
逐次類推可得
所以，有
結(jié)合(4)式可得
‖X
2+1-X
2‖≤b
-2‖A
‖2a
-1‖X
2-X
2-1‖.
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