談在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生合理運(yùn)算能力的培養(yǎng)

何瑞卿 張金鋒

摘要：當(dāng)前高中生的運(yùn)算能力已經(jīng)成為影響其成績的重要因素，培養(yǎng)學(xué)生的合理化運(yùn)算能力勢在必行。本文針對當(dāng)前高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算所面臨的問題，從教材上的一道習(xí)題出發(fā)，分析并探討了培養(yǎng)學(xué)生合理運(yùn)算能力的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；合理運(yùn)算能力；學(xué)生

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-0086

2017版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一考查。教育部考試中心研究員任子朝先生在《高考能力考查與內(nèi)容改革創(chuàng)新研究》一文中就指出：“運(yùn)算量的大小以40%的考生在120分鐘內(nèi)能完成全卷的解答為標(biāo)準(zhǔn)?！痹诟骷壐黝惪荚囍?，學(xué)生的運(yùn)算錯誤而失分的現(xiàn)象極其普遍，但學(xué)生往往將之歸因?yàn)椤按中摹薄笆д`”，并不認(rèn)為運(yùn)算出錯是其運(yùn)算能力水平低下，思想上不夠重視引起的。

一、當(dāng)前高中數(shù)學(xué)運(yùn)算面臨的問題

1.當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課程弱化了運(yùn)算能力要求，刪減掉了十字相乘法、立方和、立方差等乘法公式，弱化了因式分解、代數(shù)的恒等變形、二次根式的化簡、分式的運(yùn)算，造成初高中銜接不上。而在整個高中階段，這些內(nèi)容又是頻繁出現(xiàn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

2.學(xué)生在運(yùn)算過程中不能合理地選擇運(yùn)算方法、合理地運(yùn)用運(yùn)算法則，不能根據(jù)問題特征形成合適的運(yùn)算思路，只顧機(jī)械地套用運(yùn)算公式。

二、運(yùn)算合理性的研究

2017版普通《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指會根據(jù)法則、公式及其適用范圍，進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇合理的運(yùn)算公式，在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算程序，解決問題。這其中運(yùn)算的合理性是運(yùn)算素養(yǎng)的核心，一般一個較復(fù)雜的運(yùn)算，往往是由多個運(yùn)算組合而成的。如何合理地確定運(yùn)算目標(biāo)，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、選擇運(yùn)算途徑，并將各部分有機(jī)地聯(lián)系在一起，這是運(yùn)算合理性的主要標(biāo)志。接下來就從一道課本題說起。

案例：高一數(shù)學(xué)必修二《直線與圓的位置關(guān)系》這節(jié)課，數(shù)學(xué)教師都認(rèn)為能把這堂課講好，但是當(dāng)堂練習(xí)時，想不到學(xué)生做得參差不齊。這道題是數(shù)學(xué)課本上的一道題，題目是這樣的：“判斷直線4x？3y = 50與圓x2+ y2= 100的位置關(guān)系。如果有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)?！蹦茏鰧Φ膶W(xué)生很少，教師十分驚訝。后來，和同行們以這道題為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行了探討，并得出一些感悟。

1.試題解讀

解答這道題時，學(xué)生已學(xué)過了圓的方程，直線方程，兩直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，這都是做這道題所要用的知識。經(jīng)過分析，解答這道題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）確定圓和直線的位置關(guān)系；（2）解出圓與直線的公共點(diǎn)。

要突破第一點(diǎn)共有兩種解法：①將圓和直線的方程進(jìn)行聯(lián)立，解方程組；②算出直線到圓心之間的距離d，通過d與圓的半徑r的大小關(guān)系，從而判斷出圓與直線的位置關(guān)系。要突破第二點(diǎn)的常規(guī)作法就是解方程組，所以，學(xué)生能想到解方程組的做法，不但能突破第一點(diǎn)而且能突破第二點(diǎn)。但學(xué)生的現(xiàn)狀是，很多學(xué)生的方程組解錯或算到中途進(jìn)行不下去，原因是方程組聯(lián)立后，整個方程看起來較為復(fù)雜，并且計(jì)算量大，極易解錯。

2.詳細(xì)做法

法二：圖形法。先算出直線到圓心的距離，從而確定線與圓的位置關(guān)系是相切的，由初中圓的性質(zhì)：“切點(diǎn)和圓心的連線垂直于切線”，再根據(jù)“若兩直線垂直，則斜率之積為-1”，得出切點(diǎn)與圓心連線所在方程。這樣一來，聯(lián)立直線方程與圓的方程就轉(zhuǎn)變?yōu)槁?lián)立切線方程與直線的方程，計(jì)算量會減少很多。此法用了數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想，雖然沒有法一好列式，但計(jì)算量小，學(xué)生出錯概率會大大減小。

法三：三角換元。對于圓的方程，可令x = 10cosα，y=10sinα代入直線方程，得出一組解從而確定圓與直線相切。此法要用到參數(shù)方程，輔助角公式等三角知識，高一上期還沒有學(xué)到這些，可在高三時再講該題時使用此法。

三、一些感悟

1.備好課，具體到該堂課所涉及的題目

教師在備課時往往注重知識點(diǎn)的講解，不注重習(xí)題的運(yùn)算，所以在備課時，凡是在本課中要求學(xué)生做的作業(yè)、練習(xí)等，自己要先認(rèn)真演算，從而確定題目的最優(yōu)解法，再滲透到講課過程中。

2.重視類題通法，使學(xué)生會照葫蘆畫瓢

數(shù)學(xué)課中知識點(diǎn)的講解很重要，把知識運(yùn)用到解題中的教學(xué)同等重要，對數(shù)學(xué)的檢測最終都是通過做題考查的。我們不提倡題海戰(zhàn)術(shù)，但為了適應(yīng)當(dāng)前的教育現(xiàn)狀，應(yīng)該在講課過程中適當(dāng)?shù)貙W(xué)生進(jìn)行計(jì)算指導(dǎo)。

本題講過后，可以把直線方程和圓的方程進(jìn)行改寫，讓學(xué)生在做同類型題時，感到跨度不大，從而使學(xué)生在解答時樹立信心，使其計(jì)算能力不斷提高。

3.重視一道題的多種解法，使學(xué)生思維開闊，從而選取最優(yōu)解法

一道題思考用多種解法可以有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。在這道題中，法一是最容易想出的方法，但計(jì)算煩瑣，容易無疾而終，若具有多種解題思路，就可能變換其他方法，而不是只會硬算。

4.重視解題教學(xué)，使學(xué)生具有必備的運(yùn)算技能

法一中，若學(xué)生會整體代入，將直線方程和圓的方程同時變形，就不會使計(jì)算陷入泥沼，無法自拔。

5.引導(dǎo)學(xué)生時常在題目完成后進(jìn)行反思

學(xué)生在做題時，常會因看不清題，定義理解得含糊不清，對有的條件視而不見，思考問題不全面，簡單計(jì)算出現(xiàn)錯誤等問題，導(dǎo)致不能將題目完全做對。所以在題目完成后，必須和學(xué)生一起對做題過程進(jìn)行反思，吸取教訓(xùn)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

在培養(yǎng)學(xué)生合理化運(yùn)算的教學(xué)中，教師可以介紹一些名家、大師的解題理論，陪著學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)演算。例如：將大數(shù)學(xué)家波利亞的解題四步驟介紹給學(xué)生，即：（1）理解問題；（2）制訂計(jì)劃；（3）執(zhí)行計(jì)劃；（4）回顧檢驗(yàn)。波利亞的解題方法可以培養(yǎng)學(xué)生有意識地選取最優(yōu)的解題方法。

（作者單位：河南省三門峽市陜州區(qū)第二高級中學(xué)472001）