關(guān)于二次函數(shù)的變換案例分析

袁保玉 李巖 劉維全

摘要：初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)部分“函數(shù)的變換方式”是難點，鑒于本部分有很強(qiáng)的幾何代數(shù)知識的結(jié)合性，因此該部分在教學(xué)過程中需要結(jié)合科學(xué)完備的教學(xué)方式，并輔以先進(jìn)有效的教學(xué)理念。本文主要針對初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)教學(xué)中“函數(shù)圖像的變換”這部分內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展分析，以課堂實踐案例解析的形式對該課時的教學(xué)提供教學(xué)方法和改進(jìn)意見，以求優(yōu)化教學(xué)方法，達(dá)到更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；變換；分析；教學(xué)方法

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）28-0103

二次函數(shù)是初中階段代數(shù)學(xué)中的一大難點，也是中考的一大考點和高中函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)在初中階段的數(shù)學(xué)中尤為重要。本文將針對滬科版九年級上冊第二十二章“二次函數(shù)與反比例函數(shù)”中擴(kuò)展專題“二次函數(shù)圖像的變換”的具體案例進(jìn)行分析研究，以求優(yōu)化教學(xué)方法、提高教學(xué)效果。

一、教材分析

教材分析：二次函數(shù)的坐標(biāo)變換建立在對二次函數(shù)圖像已經(jīng)有一定的理解和掌握的基礎(chǔ)之上，是二次函數(shù)表達(dá)式與圖像內(nèi)容的擴(kuò)展和延伸，是“二次函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容考查的難點，許多考試中出現(xiàn)的經(jīng)典題型或偏難題型的基本思路，是初中數(shù)學(xué)階段的一大重點和難點[1]。

二、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：二次函數(shù)圖像的三種變換

教學(xué)難點：二次函數(shù)表達(dá)式的變換在二次函數(shù)圖像上的體現(xiàn)[2]

三、教學(xué)過程

1.課題引入

回顧二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c對應(yīng)圖像的畫法和大概形狀，在二次函數(shù)表達(dá)式的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了字母a、b、c在圖像中的作用，這節(jié)課主要研究二次函數(shù)圖像的變化。

2.平移變換

拋物線在x軸上面的平移變換：給出y=2（x+2）2-1的圖像后提出問題：計算拋物線的頂點，然后在同一坐標(biāo)系下給出向右平移五個單位的圖像，再計算平移后頂點的坐標(biāo)，思考拋物線向右平移五個單位后，它對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。將拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為點的平移問題，更方便學(xué)生的理解和掌握。

3.軸對稱變換

給出拋物線y=2（x+2）2-1的圖像，并引導(dǎo)思考圖像x、y對稱后得到的圖像。給出這兩個新的圖像的頂點并與原圖像頂點坐標(biāo)進(jìn)行對比。交流后總結(jié)：在坐標(biāo)軸中進(jìn)行對稱變換時，關(guān)于x軸對稱，頂點變縱坐標(biāo)，開口方向改變；關(guān)于y軸對稱，頂點變橫坐標(biāo)，開口方向不變。

4.旋轉(zhuǎn)變換

給出y=2（x+2）2-1的圖像，想象拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°以后的形狀。同時給出拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)以后的圖像，并提出下一個問題：拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)以后得到的圖像，通過觀察和計算給出這兩個新的圖像的頂點并與原圖像頂點坐標(biāo)進(jìn)行對比，探尋其中的規(guī)律：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，只變開口方向；繞原點旋轉(zhuǎn)180°，頂點坐標(biāo)、開口方向都變。

5.課堂練習(xí)

第1題.已知拋物線C1：y=2x2+4x+5

（1）拋物線C2與C1關(guān)于y軸對稱，求拋物線C2的解析式；

（2）拋物線C1繞原點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C4，求拋物線C4的解析式；

（3）拋物線C1繞頂點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C5，求拋物線C5的解析式。

第2題.已知二次函數(shù)y=（x+1）2+2，將圖像繞點（0，3）旋轉(zhuǎn)180°后得到的函數(shù)圖像解析式為______________。

題目有一定的創(chuàng)新性，采用“四人一組、小組討論”的方法進(jìn)行題目的探究，在布置題目前強(qiáng)調(diào)要遵照“數(shù)形結(jié)合”的思路進(jìn)行分析。

6.歸納總結(jié)

本部分的主要教學(xué)任務(wù)是將所學(xué)的三種函數(shù)圖像聯(lián)系起來并分析不同種類圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式之間的區(qū)別和聯(lián)系。

四、總結(jié)分析

此種教學(xué)方案在實施過程中運用了“創(chuàng)設(shè)情景法”方便學(xué)生對于所學(xué)內(nèi)容的理解和吸收，同時課堂的邏輯性、系統(tǒng)性較強(qiáng)，在授課過程中很有章法。

亮點在于：在進(jìn)行二次函數(shù)表達(dá)式的講解時十分注重表達(dá)式與圖像的相互結(jié)合過程；而且在講課過程中大量運用“空間想象”這一教學(xué)方法，將本次授課的內(nèi)容與函數(shù)圖像在表達(dá)式上的直觀變換緊密結(jié)合在一起[2]。這種授課方式很有帶動性，并且學(xué)生對于知識的理解能力也可以得到提高。課堂提問的方式，注意啟發(fā)和追問。

不足在于：授課過程中缺少合作和討論，如果把集體回答換成小組討論，會在一定程度上節(jié)省時間，同時也會活躍課堂氛圍，提高整體效率[3]。而且“圖像的平移”環(huán)節(jié)簡單而且重復(fù)性很強(qiáng)，占用了大量的課堂時間，布置的課堂練習(xí)基礎(chǔ)性較低，綜合性較強(qiáng)，沒有遵照“循序漸進(jìn)”的原則進(jìn)行布置[4]。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂勝德.初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》的教學(xué)案例分析及反思[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2012（1）：25-30.

[2]張學(xué)慧.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例《函數(shù)與圖像》[J].新課程·中學(xué)，2014（4）：56-57.

[3]王正美.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“二次函數(shù)”的教學(xué)策略研究[J].教學(xué)周刊，2016（22）：15-16.

[4]譚樹標(biāo).初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中存在的問題及其策略分析[J].課程教育研究，2016（3）：38-39.

（作者單位：安徽省合肥一六八玫瑰園學(xué)校230601）