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    抓住基本結(jié)構(gòu) 任他千變?nèi)f化

    2021-05-14 12:21:40舒芳
    初中生世界·七年級(jí) 2021年3期
    關(guān)鍵詞:外角基本原理平分線

    舒芳

    同學(xué)們,有一類基本圖形:三角形的兩條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),兩條外角平分線交于一點(diǎn),或者一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線交于一點(diǎn)。圍繞這類圖的題靈活多變,角平分線還可以變?yōu)槿确志€或者n等分線。但我們只要抓住基本原理,下次遇到也不用怕!

    例題 如圖1,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P。

    (1)如果∠A=80°,求∠BPC的度數(shù);

    (2)如圖2,作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q,試探索∠Q與∠A之間的數(shù)量關(guān)系;

    (3)如圖3,延長線段BP、QC交于點(diǎn)E,試探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。

    【錯(cuò)誤】部分同學(xué)解答第(2)問時(shí)直接使用(1)中的條件“∠A=80°”,求出∠Q與∠A的具體度數(shù),關(guān)系也沒有總結(jié)出來。

    【錯(cuò)因】審題不清,第(2)問慣性使用(1)中的條件;沒有具體的數(shù)據(jù),就不會(huì)抽象分析,沒有真正領(lǐng)會(huì)“用字母表示數(shù)”的意義。

    【解析】實(shí)際上,第(1)問可以把 “∠A=80°” 這個(gè)條件去掉,考慮一般的情況?!坝米帜副硎緮?shù)”,把∠A設(shè)為α°,運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理表示∠ABC與∠ACB 的和,再用角平分線的定義,求出∠PBC+∠PCB,進(jìn)而求出∠BPC,獲得結(jié)論:∠BPC=90°[+12]∠A。

    第(2)問類似上面的思路,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN的和為360°-∠ABC-∠ACB,即180°+∠A,再根據(jù)角平分線的定義可求得∠CBQ+∠BCQ,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠BQC=90°[-12]∠A。當(dāng)然,在(1)知道∠BPC=90°[+12]∠A的基礎(chǔ)上,我們還可以采用另一種方法。因?yàn)锽P、BQ分別平分∠ABC、∠MBC,易證∠PBQ=90°,同理,∠PCQ=90°,最后利用四邊形BPCQ的內(nèi)角和為360°,可證得∠BQC與∠BPC是互補(bǔ)的,問題也可解決。

    第(3)問中,∠E是由三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線相交得來的??梢杂萌切我粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和來解決。如圖4,延長BC至點(diǎn)F,∠3是△BCE的外角,有∠E=∠3-∠1;∠ACF是△ABC的外角,有∠A=∠ACF-∠ABC;再根據(jù)角平分線的定義,∠3=[12]∠ACF,∠1=[12]∠ABC,可證得∠E=[12]∠A。當(dāng)然,也可由∠EBQ=90°知∠E與∠Q互余,進(jìn)而獲得結(jié)論。

    【總結(jié)】由三角形內(nèi)角或外角平分線相交產(chǎn)生的角,其基本圖形和基本結(jié)論,我們可以總結(jié)成如圖5的基本結(jié)構(gòu)。其中最為重要的是對(duì)基本原理的掌握。

    ∠BPC是由△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交得來,則∠BPC=90°[+12]∠A;

    ∠BQC是由△ABC的兩條外角平分線相交得來,則∠BQC=90°[-12]∠A;

    ∠E是由△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線相交得來,則∠E=[12]∠A。

    【遷移】如圖6,∠MON=90°,在△ABO中,∠ABC=[1n]∠ABN,∠BAD=[1n]∠BAO,則∠D=°(用含n的代數(shù)式表示)。

    【解析】不難發(fā)現(xiàn),∠D是由△ABO的一個(gè)外角n等分線與一個(gè)內(nèi)角n等分線相交得來,我們可以將圖5的基本原理遷移使用。因?yàn)椤螦BN是△ABO的外角,有∠O=∠ABN-∠BAO;因?yàn)椤螦BC是△ABD的外角,所以有∠D=∠ABC-∠BAD=[1n]∠ABN[-1n]∠BAO=[1n](∠ABN-∠BAO)=[1n]∠O=[90°n]。

    (作者單位:江蘇省無錫市西漳中學(xué))

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