談拉格朗日方程在高中物理競(jìng)賽中的應(yīng)用

孫 偉

(南京市雨花臺(tái)中學(xué),江蘇 南京 210012)

對(duì)高中物理力學(xué)競(jìng)賽題的處理基本上是以牛頓運(yùn)動(dòng)定律來求解的,而用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來求解質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)問題時(shí),常常要解算大量的微分方程組.如果質(zhì)點(diǎn)組受到約束,則因約束反力都是未知的,所以并不能因此減少而且甚至增加了問題的復(fù)雜性.為此,利用分析力學(xué)的思路解決這類問題往往相對(duì)簡(jiǎn)單.下面對(duì)拉格朗日方程的應(yīng)用做簡(jiǎn)單介紹.

1 完整約束

某些約束僅對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的幾何形象加以限制,即僅對(duì)系統(tǒng)的位形加以限制,而對(duì)質(zhì)點(diǎn)的速度沒有限制,這種約束稱為幾何約束.對(duì)于涉及力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況的約束,即對(duì)速度也有限制的,則稱為運(yùn)動(dòng)約束.可積分的運(yùn)動(dòng)約束與幾何約束在物理實(shí)質(zhì)上沒有區(qū)別,合稱為完整約束.

2 保守力系的拉格朗日方程

3 應(yīng)用步驟

題1.(第30屆決賽)質(zhì)量均為m的小球1和小球2由一質(zhì)量可忽略、長(zhǎng)度為l的剛性輕桿連接,豎直地靠在墻角,如圖1所示.假設(shè)墻和地面都是光滑的.初始時(shí)給2一個(gè)微小的向右的初速度.問系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)桿與豎直墻面之間的夾角為何值時(shí),球1開始離開墻面?

圖1

解析: 球1開始離開墻面前兩球各自沿直線運(yùn)動(dòng),它們的運(yùn)動(dòng)受到一個(gè)剛性桿的限制,因此系統(tǒng)只有1個(gè)自由度.建立如圖2所示的坐標(biāo)系,取桿與豎直墻面的夾角θ為廣義坐標(biāo),此時(shí)球1的y軸坐標(biāo)為

y=lcosθ.

(1)

圖2

球2的x軸坐標(biāo)為

x=lsinθ.

(2)

(1)(2)式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:球1的的速度

(3)

球2的速度

(4)

主動(dòng)力為兩球的重力,它們?yōu)楸Ｊ亓?系統(tǒng)的動(dòng)能

(5)

系統(tǒng)勢(shì)能

V=mglcosθ.

(6)

拉格朗日函數(shù)

L=T-V.

(7)

由(3)～(7)式得

(8)

由拉格朗日方程得

(9)

由(9)式得

(10)

對(duì)(10)式積分并代入初始條件得

(11)

球1脫離墻面時(shí),桿對(duì)兩球沒有作用力,球2的加速度為零,對(duì)(4)式求導(dǎo)得

(12)

聯(lián)立(10)～(12) 3式得

(13)

題2.(第33屆決賽)如圖3所示,AB為一根均質(zhì)細(xì)桿,質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為l2;桿上端B通過一不可伸長(zhǎng)的軟輕繩懸掛到固定點(diǎn)O,繩長(zhǎng)為l1.開始時(shí)繩和桿均靜止下垂,此后所有運(yùn)動(dòng)均在同一豎直面內(nèi).

圖3 圖4

(1) 現(xiàn)對(duì)桿上的D點(diǎn)沿水平方向施加一瞬時(shí)沖量I,若在施加沖量后的瞬間,B點(diǎn)繞懸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同,求D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離和B點(diǎn)繞懸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的初始角速度ω0.

(2) 設(shè)在某時(shí)候,繩和桿與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2(如圖4所示),繩繞固定點(diǎn)O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω1和ω2,求繩繞固定點(diǎn)O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度α1和α2.

解析: (1) 設(shè)在施加沖量后的瞬間桿的質(zhì)心C速度為vC,由沖量定理得

I=mvC.

(1)

由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(2)

B、C點(diǎn)以同一角速度繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),B點(diǎn)速度滿足

(3)

由(1)(2)(3)式得

(4)

(2) 系統(tǒng)有2個(gè)自由度,以繩和桿與豎直方向的夾角θ1和θ2作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo).建立以點(diǎn)O為原點(diǎn),水平向右為x軸,豎直向下為y軸的坐標(biāo)系,則桿的質(zhì)心坐標(biāo)為

(5)

(5)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得質(zhì)心速度

(6)

主動(dòng)力為桿的重力,是保守力.系統(tǒng)的動(dòng)能為

(7)

系統(tǒng)的勢(shì)能

(8)

拉格朗日函數(shù)

L=T-V.

(9)

由拉格朗日方程得

(10)

(11)

由(10)、(11)式得

(12)

(13)

圖5

題3.(第33屆復(fù)賽)兩根質(zhì)量均勻分布的桿AB和BC,質(zhì)量均為m,長(zhǎng)均為l,A端被光滑鉸接到一固定點(diǎn)(即AB桿可在豎直平面內(nèi)繞A點(diǎn)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)).開始時(shí)C點(diǎn)有外力保持兩桿靜止,A、C在同一水平線AD上,A、B、C3點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi),∠ABC=60°.某時(shí)刻撤去外力后兩桿始終在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．

(1) 若兩桿在B點(diǎn)固結(jié)在一起,求

(i) 初始時(shí)兩桿的角加速度;

(ii) 當(dāng)AB桿運(yùn)動(dòng)到與水平線AD的夾角為θ時(shí),AB桿繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.

(2) 若兩桿在B點(diǎn)光滑鉸接在一起(即BC桿可在豎直平面內(nèi)繞B點(diǎn)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)),求初始時(shí)兩桿的角加速度以及兩桿間的相互作用力.

解析: (1) (i) 設(shè)兩桿的角加速度為α,兩桿繞A點(diǎn)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(1)

由(1)式得

(2)

(ii) 系統(tǒng)勢(shì)能的減少量為

(3)

系統(tǒng)動(dòng)能的增加量為

可以將激勵(lì)與考核機(jī)制設(shè)置為：按應(yīng)收賬款賬齡或者應(yīng)收賬款逾期天數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算，把賬齡分為不同的區(qū)間，再結(jié)合公司應(yīng)收賬款金額的具體情況和公司薪酬的狀況來設(shè)計(jì)相應(yīng)的比例，在不同的區(qū)間按不同的比例扣除薪酬。該措施是為了引導(dǎo)與應(yīng)收賬款管理相關(guān)的部門正確合理運(yùn)用信用管理，將信用額度控制在合理范圍內(nèi)，從而降低企業(yè)發(fā)生壞賬的風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)公司利益最大化。

(4)

整個(gè)過程機(jī)械能守恒

ΔEp減=ΔEk增.

(5)

由(3)～(5)式得

(6)

(2) 系統(tǒng)有2個(gè)自由度,以AB桿和BC桿與豎直方向的夾角θ1和θ2作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),設(shè)AB桿和BC桿的角加速度分別為α1和α2.建立以點(diǎn)A為原點(diǎn),水平向右為x軸,豎直向下為y軸的坐標(biāo)系,則BC桿的質(zhì)心坐標(biāo)為

(7)

(7)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得質(zhì)心速度

(8)

主動(dòng)力是兩桿的重力,是保守力.系統(tǒng)的動(dòng)能為

(9)

系統(tǒng)的勢(shì)能

(10)

拉格朗日函數(shù)

(11)

由拉格朗日方程得

(12)

(13)

(14)

設(shè)BC桿對(duì)AB桿的作用力沿x軸和y軸的分量分別為Fx、Fy.

對(duì)AB桿,相對(duì)于A點(diǎn),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(15)

對(duì)BC桿,其繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(16)

兩桿間相互作用力的大小為

(17)

聯(lián)立(14)～(17)式得

(18)

BC桿對(duì)AB桿的作用力與豎直方向夾角φ滿足

(19)

題4.(國(guó)家集訓(xùn)隊(duì))蒸汽機(jī)的飛球調(diào)速器,由兩個(gè)質(zhì)量為m的球通過4根長(zhǎng)為l的鉸臂,與套在豎直軸的上、下兩個(gè)套筒連接而構(gòu)成,上面的套筒固定,下面的套筒質(zhì)量為M,可沿軸無(wú)摩擦地上、下滑動(dòng),如圖6所示.整個(gè)裝置繞豎直軸以恒定角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動(dòng),忽略各鉸臂的質(zhì)量及套筒M的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖6

(1) 求套筒M平衡時(shí)與上套筒之間的距離；

(2) 求套筒M在平衡位置附近上、下小振動(dòng)的頻率.

解析: (1) 設(shè)套筒M平衡時(shí),在以角速度ω0繞軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中,其中一個(gè)小球m的受力如圖7所示,其中慣性離心力fi=mω02lsinθ,則有

圖7

(T1-T2)cosθ=mg.

(1)

(T1+T2)sinθ=fi=mω02lsinθ.

(2)

2T2cosθ=Mg.

(3)

由(1)～(3)式得

(4)

上下套筒距離

(5)

當(dāng)然θ=0也是體系的一個(gè)可能平衡狀態(tài),此情況下L=2l.

(2) 系統(tǒng)有1個(gè)自由度,以上臂與豎直方向的夾角θ作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),系統(tǒng)動(dòng)能為

(6)

系統(tǒng)勢(shì)能:

V=-2(m+M)glcosθ.

(7)

拉格朗日函數(shù):

L=T-V.

(8)

由拉格朗日方程得

(9)

(m+M)gsinθ=0.

(10)

(11)

故小振動(dòng)的頻率為

(12)

總結(jié):其實(shí)還有不少的競(jìng)賽題都能用拉格朗日方程求解,比如:第26屆復(fù)賽第8題,第30屆復(fù)賽第1題,第32屆決賽第1題等,讀者可以嘗試求解并歸類.