一般勻強(qiáng)電磁場中電荷的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)

姜志鋒

(鄱陽縣第一中學(xué) 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330000)

勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場同時(shí)存在時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)一直是大家感興趣的話題．其討論可分為兩類：非相對(duì)論性的和相對(duì)論性的．對(duì)于前者，最早是文獻(xiàn)[1]給出了一種漂亮的處理方式，后來大家從理論、軌跡、數(shù)值計(jì)算等幾方面進(jìn)行了詳盡的討論[2～6]．在相對(duì)論情形，討論較多的是電場與磁場正交這一有趣的特例[7,8]．此時(shí)，只要|B|c≠|(zhì)E|，就一定可以找到一個(gè)慣性系，使得其中只有電場或只有磁場，于是可以在新慣性系中求解問題，再利用洛倫茲變換得到原慣性系中想要的結(jié)果．這一思路具有鮮明的物理特色．

本文試對(duì)一般的勻強(qiáng)恒定電磁場討論帶電粒子的一般相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)．當(dāng)然，不能期望此時(shí)仍能找到類似的、物理特色鮮明的思路．

1 一般討論

在自然單位制(c=1)下，相對(duì)論粒子的動(dòng)量p和能量W分別為

(1)

其中m為固有質(zhì)量，也就是牛頓力學(xué)中的質(zhì)量．動(dòng)量和能量滿足質(zhì)殼條件

W2-p2=m2

(2)

在電磁場中，帶電粒子的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

根據(jù)式(1)，這是關(guān)于速度v=v(t)的非線性微分方程組，即使在電磁場正交時(shí)也不好處理．所幸，我們可以將其改為另一形式．式(3)點(diǎn)乘v，得到

(4)

改用固有時(shí)(或原時(shí))τ作為自變量

dt=γdτ

(5)

將式(5)代入式(3)、(4)，并利用式(1)，即得到一組關(guān)于四維矢量(W,p)的、協(xié)變形式的方程組

(6)

不失一般性，可設(shè)電磁場為

B=(0,0,B)E=(0,Ey,Ez)

(7)

且不妨設(shè)k,B,Ey,Ez≥0，因?yàn)槠渲腥魏我粋€(gè)反號(hào)都不難額外處理．于是方程組(6)寫為

(8)

茲用微分算子法解之，將其寫為

(9)

(10)

[Δ4+k2(B2-E2)Δ2-

(11)

其對(duì)應(yīng)特征方程的4個(gè)特征根為

λ1=-ikαλ2=ikα

λ3=-kβλ4=kβ

(12)

其中

且它們滿足α2-β2=B2-E2．于是px的通解為e-ikατ,eikατ,e-kβτ,ekβτ的線性組合，或?yàn)閏os(kατ),sin(kατ),cosh(kβτ),sinh(kβτ)的線性組合．于是有

px=Acos(kατ+φ)+Ccosh(kβτ+ψ)

(13)

將式(13)代入式(8)，可以得到其他量

(14)

將式(13)和(14)代入質(zhì)殼關(guān)系式(2)，得到

(15)

Cα(B2+β2)sinh(kβτ+ψ)]+t1

(16)

其中t1為常數(shù)，可要求τ=0時(shí)t=0而確定．若已知t=0時(shí)的初速度(vx0,vy0,vz0)，可由此得到初能量W0和初動(dòng)量(px0,py0,pz0)．結(jié)合式(13)和(14)，可以解出A,φ,C,ψ這4個(gè)數(shù)．

(17)

其中C1,C2,C3為積分常數(shù)，由初始坐標(biāo)決定．于是，問題得到完全解決．

2 特例分析

我們看一個(gè)具體例子：設(shè)勻強(qiáng)電磁場[見式(7)]中帶電粒子初始時(shí)靜止于原點(diǎn)，求其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．此時(shí)，把τ=0時(shí)px0=py0=pz0=0,W0=m代入式(13)、(14)，即可得積分常數(shù)為

于是，式(13)、(14)給出

(18)

而式(16)、(17)給出

(19)

不難看出，式(18)、(19)對(duì)k,B,Ey,Ez的一切正負(fù)可能性都成立．此外，式(19)可視為參數(shù)化形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和軌道方程，只不過現(xiàn)在所取的參數(shù)是原時(shí)．

3 具體討論

作為一般解，應(yīng)該在各種條件下回到相應(yīng)的特殊結(jié)果．以下著重分析粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程．

(20)

(21)

此時(shí)，可在式(20)中令α→0，或在式(21)中令β→0，都可得到

(22)

討論4：Ey=0

此時(shí)，電場與磁場平行，且α=|B|,β=|E|，式(19)給出

(23)

結(jié)果跟磁場無關(guān)．這符合預(yù)期，因?yàn)榇藭r(shí)速度方向與磁場平行，洛倫茲力為零.

討論5：非相對(duì)論情形——短時(shí)間近似(kατ,kβτ?1)

下面考慮非相對(duì)論近似．非相對(duì)論情形下的嚴(yán)格解為

(24)

在一般情形(如電場較大)，隨著時(shí)間推移，粒子速度會(huì)變大，相對(duì)論效應(yīng)變明顯，此時(shí)牛頓解只在短時(shí)間內(nèi)才可靠．故考慮相對(duì)論解式(19)和牛頓解式(24)的短時(shí)間近似，二者應(yīng)該接近．

將式(19)做小量展開，可得到t,x,y,z關(guān)于τ的冪級(jí)數(shù)．反解出τ用t表示的級(jí)數(shù)，代入x,y,z的級(jí)數(shù)中，即得到它們關(guān)于坐標(biāo)時(shí)t的級(jí)數(shù)

(25)

而牛頓解式(24)在近似kBt?1下的展開式為

(26)

可見，二者在最低兩階的行為相同，但再高時(shí)開始有不同預(yù)言．

討論6:非相對(duì)論情形——弱電場近似

如果電場足夠弱，那么粒子速度緩慢增長，使得牛頓解式(24)在長時(shí)間內(nèi)是足夠可靠的．在近似Ey,Ez?B下，式(19)給出

(27)

其中各式的第一項(xiàng)(將τ換為t)正好給出牛頓解式(24)，而后面的項(xiàng)是最低階的非零相對(duì)論修正．

進(jìn)一步，當(dāng)Ez=0時(shí)，弱電場條件應(yīng)該會(huì)使得牛頓解永遠(yuǎn)足夠可靠，因?yàn)樗俣纫恢倍疾淮螅鴱氖?27)容易看出當(dāng)Ez=0時(shí)，y作為τ的函數(shù)是有界的，符合預(yù)期．當(dāng)然，此時(shí)的結(jié)果也可以從式(20)中令E?B而得到．