基本振型對順風(fēng)向風(fēng)荷載影響分析*

嚴(yán)亞林， 陳 凱， 唐 意

(中國建筑科學(xué)研究院有限公司， 北京 100013)

0 引言

高層或高聳建筑的順風(fēng)向風(fēng)荷載由平均風(fēng)荷載和脈動(dòng)風(fēng)引起的等效風(fēng)荷載組成。其中，平均風(fēng)荷載只與地貌類別、基本風(fēng)壓及體型系數(shù)相關(guān)，計(jì)算比較容易。脈動(dòng)風(fēng)引起的等效風(fēng)荷載(簡稱等效風(fēng)振力)與風(fēng)荷載脈動(dòng)特性及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征有關(guān)，計(jì)算較為復(fù)雜。

為了簡化順風(fēng)向風(fēng)荷載的計(jì)算，自20世紀(jì)60年代以來，國內(nèi)外學(xué)者提出了一些實(shí)用方法，如：陣風(fēng)荷載因子法[1]、等效風(fēng)振力法[2]、基底彎矩陣風(fēng)因子法[3]等。其中陣風(fēng)荷載因子法將順風(fēng)向風(fēng)荷載表示為平均風(fēng)荷載與陣風(fēng)荷載因子的乘積，形式最為簡單，因而被ASCE美國規(guī)范[4]、AIJ日本荷載規(guī)范[5]、加拿大荷載規(guī)范[6]等所采用。

我國《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GB 50009—2012)[7](簡稱2012荷載規(guī)范)采用了等效風(fēng)振力法，順風(fēng)向風(fēng)荷載表示為平均風(fēng)荷載與風(fēng)振系數(shù)的乘積。風(fēng)振系數(shù)βz[8]的表達(dá)式為：

(1)

式中I10為10m高度名義湍流強(qiáng)度；R為脈動(dòng)風(fēng)荷載的共振分量因子；Bz為背景分量因子，Bz與基本振型有關(guān)。

2012荷載規(guī)范規(guī)定，高層、高聳建筑采用了不同的基本振型。其中高層建筑為基于剪力墻工作為主的彎剪振型；高聳建筑為彎曲振型。規(guī)范振型最早由《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GBJ 9—1987)[9](簡稱87荷載規(guī)范)給出，由于當(dāng)時(shí)計(jì)算條件所限，工程人員計(jì)算準(zhǔn)確的基本振型相對比較困難，為了方便工程人員應(yīng)用，規(guī)范編制組在實(shí)際工程的調(diào)研統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上給出了彎剪和彎曲這兩種振型形式。

經(jīng)過數(shù)十年，高層、高聳建筑形式、結(jié)構(gòu)分析方法及輔助設(shè)計(jì)軟件都得到了非凡的發(fā)展，獲取準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)基本振型已經(jīng)變得非常容易。研究[10-12]表明，實(shí)際結(jié)構(gòu)振型可能與規(guī)范振型偏差較大，直接采用規(guī)范振型計(jì)算順風(fēng)向風(fēng)荷載可能存在一定誤差。另一方面，隨著工程設(shè)計(jì)軟件及計(jì)算器的普及應(yīng)用，順風(fēng)向風(fēng)荷載計(jì)算工程中引入可根據(jù)實(shí)際振型情況調(diào)整的參數(shù)并不影響計(jì)算速度，因此討論振型對風(fēng)荷載的影響既存在理論需求，也具有操作性。

本文基于2012荷載規(guī)范的順風(fēng)向風(fēng)荷載計(jì)算理論體系，討論振型對風(fēng)荷載的影響，并基于規(guī)范風(fēng)振系數(shù)表達(dá)形式，給出基于振型的風(fēng)振系數(shù)計(jì)算方法。

1 風(fēng)振系數(shù)計(jì)算公式推導(dǎo)

風(fēng)振系數(shù)βz表示為：

(2)

(3)

(4)

其中：

E=B(z1)φ1(z1)B(z2)φ1(z2)μz(z1)μz(z2)Iz(z1)Iz(z2)

為簡化計(jì)算，引入下列假定。

(1)采用Davenport沿高度不變風(fēng)速譜，即：

(5)

ρ(z1,z2,ω)=ρz

(6)

(2)準(zhǔn)定常理論，即：

(7)

(8)

(3)寬度、質(zhì)量沿高度不變，即：

B(z)=B；m(z)=m

(9)

式中B,m分別為寬度常數(shù)、質(zhì)量常數(shù)。

將式(5)～(9)代入式(4)后，得：

(10)

其中：

(11)

(12)

將式(3)、式(10)代入式(2)，就是規(guī)范風(fēng)振系數(shù)的表達(dá)式(1)，其中背景分量因子Bz應(yīng)通過式(13)計(jì)算。

(13)

式(11)及式(13)中，IΦ表示在準(zhǔn)靜態(tài)風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的一階廣義位移響應(yīng)，定義為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)因子。

2 振型表達(dá)式

2.1 規(guī)范選用的振型

式(13)中背景分量因子①和②兩部分均與振型相關(guān)。2012荷載規(guī)范對兩部分進(jìn)行了不同處理：第②部分振型反映了等效風(fēng)振力的分布形式，規(guī)范保留了它的函數(shù)形式，對高層建筑采用式(14)所示的正切振型，對高聳結(jié)構(gòu)采用式(15)所示多項(xiàng)式振型；第①部分，即式(11)為雙重積分函數(shù)，即使采用數(shù)值方法計(jì)算也比較復(fù)雜，因此規(guī)范將式(14)，(15)代入式(6)，通過數(shù)據(jù)擬合，將式(13)簡化為式(16)。

(14)

(15)

(16)

式中k，a1為建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范給定的系數(shù)。

2.2 一般振型

實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)振型與結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量分布有關(guān)，當(dāng)實(shí)際振型與規(guī)范振型相差較多時(shí)，式(16)中第①部分所采用的振型將與實(shí)際振型不匹配，會(huì)引起計(jì)算誤差。為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，應(yīng)基于式(13)對結(jié)構(gòu)振型加以修正。式(13)中第②部分的振型為顯式函數(shù)形式，可直接替換振型函數(shù)；式(13)中第①部分的函數(shù)處于積分項(xiàng)中，需要采用合適的形式以簡化計(jì)算。

對于高層建筑，2012荷載規(guī)范采用正切函數(shù)表達(dá)式，對于高聳建筑，2012荷載規(guī)范采用多項(xiàng)式表達(dá)式，直接基于這兩種形式來調(diào)整結(jié)構(gòu)振型，可能引起的問題是：表達(dá)式涉及的可變參數(shù)過多，研究過于復(fù)雜。一種解決方案是采用指數(shù)型振型形式，如式(17)所示。對于高層或高聳建筑，式(17)與風(fēng)壓沿高度分布形式一致，且振型僅與振型指數(shù)β有關(guān)，可以簡化振型影響分析，一些主要的國家標(biāo)準(zhǔn)，如AIJ日本荷載規(guī)范[5]、EN 1991-1-4歐洲規(guī)范、ASCE美國規(guī)范[4]等均采用這種形式。

(17)

關(guān)于振型指數(shù)β的取值，不同的規(guī)范或文獻(xiàn)的取值不同，如AIJ日本荷載規(guī)范[5]限定范圍為0.2～4.0，EN 1991-1-4歐洲規(guī)范對不同結(jié)構(gòu)形式分別給定具體的β值，大致范圍為0.6～2.5。圖1為歸納了國內(nèi)11棟300m以上在建超高層建筑的一階振型[13]，指數(shù)區(qū)間為0.9～1.8。為了考察較大范圍內(nèi)振型變化的影響，本文β取值范圍參考AIJ日本荷載規(guī)范[5]，指數(shù)在0.2～4.0范圍內(nèi)變化。

圖1 11棟超高層建筑基本振型

為了與規(guī)范比較，用指數(shù)形式對我國2012荷載規(guī)范所給出的振型進(jìn)行了擬合，擬合曲線見圖2。對于高層建筑，振型指數(shù)擬合值為0.9；高聳建筑振型指數(shù)取值為1.5。

圖2 規(guī)范振型的指數(shù)式擬合

3 振型對風(fēng)荷載的影響

3.1 振型對IΦ的影響

準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)因子IΦ反映了在準(zhǔn)靜態(tài)風(fēng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的一階廣義位移響應(yīng)，由于建筑頂部振型向量為1，因此IΦ也反映了準(zhǔn)靜態(tài)風(fēng)荷載引起的建筑頂部位移響應(yīng)大小。

圖3以A類地貌為例，給出IΦ隨著振型指數(shù)β變化情況(α=0.12)；圖4以300m高建筑為例，給出4類地貌類別對應(yīng)的IΦ隨著振型指數(shù)變化情況?？傮w來看，剖面指數(shù)α越大，IΦ越大；對于100m以上高度的建筑來說，當(dāng)振型指數(shù)β一定時(shí)，高度越高，IΦ越?。粚τ诖_定的地貌類別及建筑高度，IΦ隨振型指數(shù)β增加而增大。

圖3 IΦ隨振型指數(shù)β變化曲線

圖4 300m高建筑IΦ隨振型指數(shù)β變化曲線

為說明振型影響，以A類300m高建筑為例，當(dāng)β=0.9時(shí)，IΦ=1.297；β=1.8時(shí)，IΦ=1.558，兩種振型對應(yīng)的IΦ相差約20%，說明當(dāng)采用不同的振型時(shí)，建筑頂部的準(zhǔn)靜態(tài)位移可能產(chǎn)生不可忽略的誤差，因此采用準(zhǔn)確的振型對建筑風(fēng)荷載的準(zhǔn)確取值尤為重要。

3.2 振型對等效風(fēng)振力基底響應(yīng)的影響

通過考察基底剪力或基底彎矩可以獲得振型對結(jié)構(gòu)整體風(fēng)荷載影響效果。采用等效風(fēng)振力法計(jì)算風(fēng)荷載時(shí)，振型僅對等效風(fēng)振力造成影響，本節(jié)討論等效風(fēng)振力基底剪力或基底彎矩隨振型變化情況。

ξS為基底剪力動(dòng)力因子，表示等效風(fēng)振力基底剪力與平均風(fēng)荷載基底剪力的比值，表達(dá)式見式(18)；ξM為基底彎矩動(dòng)力因子，表示等效風(fēng)振力基底彎矩與平均風(fēng)荷載基底彎矩的比值，表達(dá)式見式(19)。ξS，ξM表征了等效風(fēng)振力與平均風(fēng)荷載的關(guān)系，對于高度和地貌確定的建筑，平均風(fēng)荷載不隨振型指數(shù)變化而變化，因此ξS，ξM的變化規(guī)律與等效風(fēng)振力基底剪力、基底彎矩變化規(guī)律相同。

(18)

(19)

圖5 基底剪力動(dòng)力因子ξS隨振型指數(shù)β變化曲線

圖6 基底彎矩動(dòng)力因子ξM隨振型指數(shù)β變化曲線

綜上可知，考察振型指數(shù)對ξS，ξM的影響時(shí)，隨著振型指數(shù)β增加，ξS逐漸減?。沪蜯在β為0.4的位置出現(xiàn)一個(gè)峰值；β大于0.4時(shí)，ξM隨著β增加而減小。說明振型形狀越接近剪切型，等效風(fēng)振力基底剪力或基底彎矩越小。對于同一建筑，當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率固定，阻尼比一定時(shí)，振型越接近彎曲型，其平均風(fēng)振系數(shù)越小。

對比圖5,6的ξS，ξM的曲線可知，ξS的差異明顯高于ξM的差異，即振型對剪力的影響高于彎矩。

300m高建筑取值差異 表1

300m高建筑取值差異 表2

值得注意的是，β對IΦ的影響與對ξS的影響效果完全相反。這說明結(jié)構(gòu)振型形式引起的誤差，通過同一個(gè)系數(shù)修正并不能取得較好的效果，必須對振型本身進(jìn)行修正才能獲取更為準(zhǔn)確的結(jié)果。

3.3 振型對基底響應(yīng)風(fēng)振系數(shù)的影響

總的基底剪力或基底彎矩可以通過基底剪力風(fēng)振系數(shù)βS或基底彎矩風(fēng)振系數(shù)βM來表示。βS和βM的表達(dá)式為：

βS=1+ξS

(20)

βM=1+ξM

(21)

(22)

式中x1為參數(shù)。

其中阻尼比ζ1對不同的結(jié)構(gòu)取值不同，鋼結(jié)構(gòu)阻尼比最小，為0.01；參數(shù)x1>5。由此確定R的取值范圍為0～4.2。

由于基底剪力動(dòng)力因子、基底彎矩動(dòng)力因子隨風(fēng)剖面指數(shù)α增加而單調(diào)遞增，隨建筑總高度H增加而單調(diào)遞減，因此D類地貌條件下較低建筑的風(fēng)振系數(shù)較大，考察D類地貌條件下的風(fēng)振系數(shù)可以獲得高層或高聳建筑的風(fēng)振系數(shù)最大范圍。圖7，8分別給出了D類地貌下550m及50m高層建筑的風(fēng)振系數(shù)隨振型指數(shù)β變化及R值變化圖。對于550m建筑，基底剪力風(fēng)振系數(shù)βS、基底彎矩風(fēng)振系數(shù)βM在1.0～2.1之間；對于50m高建筑，基底剪力風(fēng)振系數(shù)βS、基底彎矩風(fēng)振系數(shù)βM在1.0～5.0之間。當(dāng)共振分量因子R值不變時(shí)，隨著振型指數(shù)β增加，基底剪力風(fēng)振系數(shù)βS、基底彎矩風(fēng)振系數(shù)βM減小。

圖7 D類地貌下550m高層建筑βS，βM隨β，R值變化圖

圖8 D類地貌下50m高層建筑βS，βM隨β，R值變化圖

高聳建筑與高層建筑具有類似的特征，不再重復(fù)描述。

3.4 規(guī)范振型與實(shí)際振型的風(fēng)振系數(shù)對比

圖9、圖10給出了D類地貌550m高層建筑及50m高層建筑采用指數(shù)振型的基底剪力、基底彎矩與采用規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果的比值。圖中，基底剪力風(fēng)振系數(shù)比值為實(shí)際基底剪力風(fēng)振系數(shù)βS與規(guī)范振型計(jì)算的基底剪力結(jié)果的比值；基底彎矩風(fēng)振系數(shù)比值為實(shí)際基底剪力彎矩系數(shù)βM與規(guī)范振型計(jì)算的基底彎矩結(jié)果的比值，圖11,12同。從結(jié)果來看，當(dāng)高層建筑振型指數(shù)β為0.9時(shí)，規(guī)范振型計(jì)算的基底剪力和基底彎矩結(jié)果與實(shí)際振型計(jì)算結(jié)果比值接近1，說明規(guī)范振型可以用0.9的振型指數(shù)替代。當(dāng)高層建筑振型指數(shù)β小于0.9時(shí)，指數(shù)振型結(jié)果比規(guī)范計(jì)算結(jié)果略高；振型指數(shù)β為0.2～0.9時(shí)，風(fēng)振系數(shù)比值約為1.0～1.1；而當(dāng)振型指數(shù)β大于0.9時(shí)，采用規(guī)范公式計(jì)算的基底剪力或基底彎矩計(jì)算結(jié)果高于實(shí)際計(jì)算結(jié)果。A類、B類、C類地貌條件下的規(guī)律與D類地貌相同，不再贅述。

圖9 550m高層建筑基底剪力風(fēng)振系數(shù)比值及基底彎矩風(fēng)振系數(shù)比值隨β，R值變化圖

圖10 50m高層建筑基底剪力風(fēng)振系數(shù)比值與基底彎矩風(fēng)振系數(shù)比值隨β，R值變化圖

圖11 550m高聳建筑基底剪力風(fēng)振系數(shù)比值及基底彎矩風(fēng)振系數(shù)比值隨β，R值變化圖

圖1已經(jīng)說明國內(nèi)高層建筑一般采用框筒或核心筒結(jié)構(gòu)，振型指數(shù)β一般高于0.9，因此采用2012荷載規(guī)范計(jì)算的風(fēng)荷載結(jié)果偏于安全。

圖11、圖12給出了D類地貌550m高聳建筑和50m高聳建筑的風(fēng)振系數(shù)比值。與高層建筑類似，當(dāng)振型指數(shù)β為1.5時(shí)，規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際振型計(jì)算結(jié)果接近；當(dāng)高聳建筑振型指數(shù)β大于1.5時(shí)，采用規(guī)范公式計(jì)算的基底剪力或基底彎矩計(jì)算結(jié)果高于實(shí)際計(jì)算結(jié)果。

圖12 50m高聳建筑基底剪力風(fēng)振系數(shù)比值及基底彎矩風(fēng)振系數(shù)比值隨β，R值變化圖

4 基于規(guī)范的風(fēng)振系數(shù)參數(shù)

4.1 擬合公式

2012荷載規(guī)范給出的風(fēng)振系數(shù)表達(dá)形式為式(1)，其中Bz的計(jì)算公式為式(16)。式(16)將水平相關(guān)系數(shù)、豎向相關(guān)系數(shù)和表示等效風(fēng)振力分布的振型以變量的形式表示，其余參數(shù)通過數(shù)據(jù)擬合確定。采用式(14)、式(15)的固定振型時(shí)， 即可獲得規(guī)范給定的k和a1取值。當(dāng)采用可變的指數(shù)型振型時(shí)，k和a1將隨著振型指數(shù)變化而變化。

與2012荷載規(guī)范保持同樣的風(fēng)振系數(shù)計(jì)算形式，采用最小二乘法對k和a1進(jìn)行數(shù)值擬合，可得到如下各個(gè)參數(shù)的計(jì)算式：

(23)

(24)

a1=1.055α+0.037

(25)

對于高層建筑，參數(shù)k的表達(dá)式為：

(26)

對高聳建筑：

(27)

其中水平相關(guān)函數(shù)、豎向相關(guān)函數(shù)與規(guī)范擬合公式保持一致。由于高層建筑考慮了迎風(fēng)面和背風(fēng)面相關(guān)性[14]，因此在擬合參數(shù)k時(shí)還考慮了0.7的折減因子。

4.2 擬合公式與規(guī)范公式的對比

圖2對規(guī)范振型進(jìn)行了指數(shù)函數(shù)的擬合，圖13為振型指數(shù)β為0.9，1.5時(shí)擬合公式與規(guī)范公式的對比曲線，擬合公式與規(guī)范公式計(jì)算誤差不超過2%，說明擬合公式對規(guī)范的適用程度較高。圖例中，A，B，C，D表示不同地貌類別，code表示采用規(guī)范公式的計(jì)算結(jié)果，fit表示采用指數(shù)擬合式的計(jì)算結(jié)果。

圖13 擬合公式與規(guī)范公式對比

5 結(jié)論

從等效風(fēng)振力法出發(fā)，針對沿高質(zhì)量、受風(fēng)面積、阻力系數(shù)不變的高層建筑及高聳結(jié)構(gòu)的振型進(jìn)行了指數(shù)形式的擬合，并基于指數(shù)振型研究了高層建筑及高聳建筑振型變化對順風(fēng)向風(fēng)荷載的影響。研究表明：1)現(xiàn)行2012荷載規(guī)范給定的振型函數(shù)可用指數(shù)函數(shù)替代，其中高層建筑指數(shù)為0.9；高聳建筑指數(shù)為1.5；2)準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)因子IΦ隨振型指數(shù)增加而增加；但結(jié)構(gòu)基底響應(yīng)隨著振型指數(shù)增加而減??；3)高層建筑振型指數(shù)低于0.9時(shí)，采用規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相比偏??；振型指數(shù)高于0.9時(shí)，采用規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相比偏大；4)高聳建筑振型指數(shù)低于1.5時(shí)，采用規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相比偏??；振型指數(shù)高于1.5時(shí)，采用規(guī)范振型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相比偏大。相關(guān)研究成果可供規(guī)范修訂時(shí)參考。