基于改進(jìn)Bingham模型的磁流變阻尼器力學(xué)建模及試驗(yàn)研究

祝世興，楊麗昆，魏 戩，祝恒佳

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

磁流變阻尼器（magnetorheological damper，MRD）是一種阻尼可調(diào)的半主動(dòng)智能控制器件，其傳動(dòng)介質(zhì)磁流變液（magnetorheological fluid，MRF）是一種受磁場(chǎng)影響的特殊材料［1］。MRF的黏度可隨外加磁場(chǎng)強(qiáng)度不同而迅速發(fā)生變化，進(jìn)而改變輸出阻尼力的大小。因此MRD的輸出阻尼可以在外加磁場(chǎng)（一般通過電流大小來控制）作用下實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，并以其結(jié)構(gòu)簡單、可調(diào)范圍寬、響應(yīng)快、可靠性和適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于建筑［2-4］、汽車［5-8］、航空［9-10］、航海［11-12］等領(lǐng)域。

一般阻尼器多應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的減震、隔振及減擺等維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面。在削弱振動(dòng)過程中往往由于非線性因素［13］（本文MRD的非線性因素主要是MRF）的存在，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)具有非線性特性，非線性特性對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模［14-15］的影響是不可避免的。黎崛珉等［16］研究了剛度非線性與阻尼非線性對(duì)隔振系統(tǒng)的影響。姚文莉等［17］將非理想系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模問題描述為目標(biāo)函數(shù)為高斯拘束函數(shù)、優(yōu)化變量為質(zhì)點(diǎn)加速度的約束最優(yōu)化問題，并驗(yàn)證其方法的有效性。Zhu［18，19］等人研究了帶有阻尼器的空氣彈簧非線性動(dòng)力學(xué)模型，用來描述車輛減震系統(tǒng)以提高乘坐舒適性。

為了準(zhǔn)確模擬MRD復(fù)雜的非線性阻尼力特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)MRD精準(zhǔn)控制，研究人員基于多體動(dòng)力學(xué)［20］及MRF的材料特性對(duì)MRD的力學(xué)建模方法進(jìn)行了深入探究［21-22］。Shou［23］、李趙春［24］等人研究了MRD在沖擊載荷作用下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性模型。Ma［25］、Gurubasavaraju［26］、Yang［27］等研究了MRF剪切應(yīng)力模型，對(duì)MRF電導(dǎo)率特性進(jìn)行了 實(shí) 驗(yàn) 研 究。Zolfagharian［28］、Peng［29］、陳 世嵬［30］等人對(duì)MRD進(jìn)行參數(shù)化建模并對(duì)模型的參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行了研究。龔微［31］等提出了一種可以求解阻尼器逆模型的3段線性變阻尼恢復(fù)力模型，適用于MRD控制器的設(shè)計(jì)。梅真等［32］對(duì)MRD進(jìn)行動(dòng)力性能測(cè)試，建立了參數(shù)化模型和非參數(shù)化模型，通過對(duì)比2種建模方式的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)非參數(shù)化模型的精度高于參數(shù)化模型。

以上研究結(jié)果表明，由于MRF的流變機(jī)理復(fù)雜，目前尚無統(tǒng)一、精確的力學(xué)模型描述，使得參數(shù)化模型的建模方式復(fù)雜化。非參數(shù)化模型是基于實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果建立的，利用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，得到較為精確化的模型，可簡化建模方式和提高模型精度?？紫闁|等［33］提出了Bingham-多項(xiàng)式力學(xué)模型，并與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，解決了Bingham模型精度低、多項(xiàng)式模型高階不穩(wěn)定的問題。祝世興等［34］提出用傅立葉級(jí)數(shù)來表達(dá)MRD的非線性關(guān)系，改進(jìn)了線性模型精度差的問題。劉永強(qiáng)等［35］提出一種對(duì)MRD模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的新方法，分析模型參數(shù)對(duì)MRD輸出阻尼的影響規(guī)律，獲取調(diào)控阻尼力的最佳參數(shù)，并擬合參數(shù)值和電流之間的函數(shù)關(guān)系。胡海剛等［36］提出一種將遺傳算法和最小二乘法相結(jié)合的方法，對(duì)MRD的力學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并用Simulink工具箱進(jìn)行仿真驗(yàn)證，所得結(jié)果精度較高，可靠性滿足要求。周勇等［37］提出一種改進(jìn)型RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，基于實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果，利用線性插值法建立模型算法，并與改進(jìn)前的模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后模型精度更高，可以更加可靠地描述MRD的動(dòng)力學(xué)特性。

現(xiàn)有的非參數(shù)化模型參數(shù)較多，建模方式較為復(fù)雜，分段模型存在分段方式模糊、拐點(diǎn)不明確等問題。為了精確描述磁流變阻尼器在不同電流下力與速度之間的非線性關(guān)系、減少力學(xué)模型參數(shù)、簡化分段模型的分段方式，本文作者通過對(duì)臺(tái)架試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，建立Rational-Bingham模型，采用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，基于臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果對(duì)Rational-Bingham模型和多項(xiàng)式-Bingham模型的精度進(jìn)行對(duì)比研究。

1 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)所采用的磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)原理圖如圖1，其中缸筒內(nèi)填充MRF。

圖1 磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)原理圖

MRD實(shí)物圖如圖2，通過活塞桿引出的導(dǎo)線可以為MRD施加不同大小的電流。阻尼特性測(cè)試平臺(tái)如圖3所示，將MRD的上端固定，下端活塞端連接激振臺(tái)中心，激振臺(tái)通過液壓作動(dòng)為阻尼器提供正弦位移激勵(lì)。

實(shí)驗(yàn)采用正弦位移激勵(lì)，以振幅為2 mm、頻率為3 Hz為例，通過圖2引出的導(dǎo)線分別對(duì)MRD施加0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A的電流，研究在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下MRD的阻尼特性。將不同電流下力-位移關(guān)系轉(zhuǎn)換為力-速度關(guān)系，結(jié)果如圖4所示，其中橫坐標(biāo)表示MRD的輸入速度v，縱坐標(biāo)表示MRD的輸出阻尼力F。

圖2 實(shí)物圖

圖3 阻尼特性測(cè)試平臺(tái)

圖4 不同電流下MRD力-速度關(guān)系

從不同電流下MRD的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線可以看出，將速度換向處（A處和C處）和加速度換向處（B處和D處）作為分段點(diǎn)進(jìn)行分段建?？蓪⒁粋€(gè)運(yùn)動(dòng)周期分為2段線性曲線和2段為非線性曲線。

2 Bingham模型中MRF力學(xué)特性

MRF在無外加磁場(chǎng)的影響下可近似為牛頓流體，此時(shí)MRF的剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率之間的關(guān)系為：

式中：τ為剪切應(yīng)力；η為黏度系數(shù)；γ為剪切應(yīng)變率。

MRF在外加磁場(chǎng)影響下具有黏塑性流體特性，如圖5所示，在不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下，流動(dòng)模式可分為屈服前區(qū)、屈服區(qū)、屈服后區(qū)等3種變化過程。其中MRF在屈服前區(qū)剪切應(yīng)力隨剪切應(yīng)變率的變化呈正相關(guān)；在屈服區(qū)剪切應(yīng)力隨剪切應(yīng)變率的變化呈不穩(wěn)定狀態(tài)；在屈服后區(qū)呈穩(wěn)態(tài)，剪切應(yīng)力不隨剪切應(yīng)變率變化。

圖5 MRF的剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率關(guān)系

出于本文的實(shí)際工況及MRD的工作狀態(tài)考慮，選取穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)下MRD中MRF的所處狀態(tài)進(jìn)行研究，此狀態(tài)下MRF穩(wěn)定流動(dòng)處于屈服后區(qū)，剪切應(yīng)力為定值，MRF黏度為定值。

Bingham模型將MRF的剪切應(yīng)力描述為：

式中：τy為MRF的剪切應(yīng)力；τ0為MRF的臨界剪切應(yīng)力；H為MRF所處磁場(chǎng)強(qiáng)度；γ為MRF的剪切應(yīng)變率；η為MRF達(dá)到屈服后區(qū)的黏度系數(shù)。

Bingham模型中MRF在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度影響下剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率的量綱為一化關(guān)系如圖6所示。

圖6 Bingham模型中MRF本構(gòu)關(guān)系

由圖6可知，磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化會(huì)改變Bingham模型中的臨界剪切應(yīng)力，而MRF在剪切屈服前后的黏度η在Bingham模型中被視為定值。

描述MRD輸出力與激勵(lì)速度之間線性關(guān)系的常用 Bingham力學(xué)模型，是由 Stanway等［38］提出的由庫倫摩擦力和黏滯阻尼器構(gòu)成的理想化模型，即：

式中：fk為庫倫阻尼力，與MRF的屈服應(yīng)力相關(guān)；x為MRD的輸出位移；˙x為MRD的輸出速度；c0為黏滯阻尼系數(shù)；f0為補(bǔ)償元件存在而產(chǎn)生的力，結(jié)合本文MRD實(shí)際結(jié)構(gòu)及實(shí)際工況此項(xiàng)可忽略。

將圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Bingham力學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比分析，可以發(fā)現(xiàn)：圖4的線性部分在理論上近似表示MRF達(dá)到屈服后期且黏度不變時(shí)MRD的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可通過Bingham模型模擬，但其非線性區(qū)域的滯回特性無法用Bingham模型進(jìn)行精確描述。本文針對(duì)Bingham模型對(duì)描述MRD非線性區(qū)域力學(xué)特性存在的局限性問題，對(duì)傳統(tǒng)的Bingham模型進(jìn)行改進(jìn)，從而獲得更準(zhǔn)確的磁流變阻尼器非線性力學(xué)模型。

3 力學(xué)建模與參數(shù)辨識(shí)

本文在Bingham模型基礎(chǔ)上進(jìn)行分段建模，對(duì)圖4的線性部分采用Bingham模型，非線性部分分別采用多項(xiàng)式函數(shù)和Rational函數(shù)進(jìn)行描述。

3.1 多項(xiàng)式-Bingham模型建立與參數(shù)辨識(shí)

對(duì)圖4進(jìn)行分析可知，B-C段和D-A段所表示的MRD輸出力與速度之間的線性關(guān)系可通過Bingham模型進(jìn)行描述，為了在形式上進(jìn)一步簡化分段模型，本文將式（3）中fksgn（˙x）視為一個(gè)整體 f，c0視為 c，則參數(shù) f和 c為待識(shí)別參數(shù)。A-B段和C-D段為非線性部分，首先采用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行描述。為了防止高階振蕩失真和更好地描述滯回特性，擬采用3次多項(xiàng)式建模，可得多項(xiàng)式-Bingham模型（以下簡稱為多項(xiàng)式函數(shù)模型），其表達(dá)式為：

式中：v為MRD的速度；˙v為MRD的加速度；c1、f1、p11、p12…為待識(shí)別參數(shù)；式（4）中函數(shù)分別依次對(duì)應(yīng)表示圖4中D-A段、A-B段、B-C段、CD段。

本文采用最小二程曲線擬合法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，最小二成曲線擬合法的基本原理是對(duì)給定數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝0，1，…，n），在函數(shù)類 φ中，求得g（x）∈φ，使誤差的平方和R最小，可表示為：

從幾何意義上來說，就是找到與給定點(diǎn)（xi，yi）（i＝0，1，…，n）的距離平方和為最小的函數(shù)曲線 y＝g（x），函數(shù) g（x）稱為最小二乘解或擬合函數(shù)，求擬合函數(shù)g（x）的方法稱為最小二乘曲線擬合法。

在振幅為2 mm、頻率為3 Hz的振動(dòng)工況下，將加載電流分別為 0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到不同電流下對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，并建立不同參數(shù)與電流之間的關(guān)系。具體過程以加載電流為1.5 A的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為例，利用Matlab擬合工具箱對(duì) CD段系數(shù)為 p21、p22、p23、p24的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果如圖7所示，可得CD段的各參數(shù) p21、p22、p23、p24分別為：0.000 016、0.001 25、0.035 35、0.063 13。

根據(jù)擬合結(jié)果可以看出，多項(xiàng)式函數(shù)與實(shí)際散點(diǎn)之間的擬合偏差較小，因此三階多項(xiàng)式具有一定的有效性。通過對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，可得到不同電流下多項(xiàng)式函數(shù)模型的各參數(shù)值，部分結(jié)果如表1所示。

圖7 1.5 A電流下C-D段多項(xiàng)式函數(shù)的擬合結(jié)果

表1 多項(xiàng)式-Bingham模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

通過對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析可知，多項(xiàng)式函數(shù)模型各參數(shù)與電流之間為非線性關(guān)系，作者擬采用三階多項(xiàng)式來建立各個(gè)參數(shù)與電流之間的關(guān)系，可得到各參數(shù)與電流的函數(shù)關(guān)系，部分結(jié)果如下：

以上為多項(xiàng)式函數(shù)模型中各參數(shù)與電流之間建立的映射關(guān)系，結(jié)合式（4），可以得到完整的多項(xiàng)式函數(shù)模型，其中模型的輸入分別為電流和速度，輸出為對(duì)應(yīng)輸入電流和速度下的輸出阻尼力。

3.2 Rational-Bingham模型建立與參數(shù)辨識(shí)

為了更好地描述同一振動(dòng)工況不同電流下MRD的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，本文建立了有理函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型表進(jìn)行對(duì)比研究。本質(zhì)上有理函數(shù)（rational函數(shù)）是由2個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)，表示如下：

式中：P（x）為分子多項(xiàng)式函數(shù)；Q（x）為分母多項(xiàng)式函數(shù)。

當(dāng)多項(xiàng)式擬合效果不夠好時(shí)，Rational函數(shù)擬合在精度上有一定的優(yōu)越性［39］。為了減少模型參數(shù)，將Rational函數(shù)的分子分母擬采用一次線性函數(shù)進(jìn)行建模，可得到Rational-Bingham模型（以下簡稱為Rational函數(shù)模型）為：

式中：v為MRD的速度；˙v為MRD的加速度；a1、b1、d1、a2、b2、d2為待識(shí)別參數(shù)；式中函數(shù)分別對(duì)應(yīng)表示圖4中 D-A段、A-B段、B-C段、CD段。

同樣在振幅為2 mm、頻率為3 Hz的振動(dòng)工況下，將加載電流分別為 0、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5 A實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別對(duì)Rational函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到不同電流下對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，并建立不同參數(shù)與電流之間的關(guān)系。具體過程仍以加載電流為1.5 A的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為例，利用Matlab中的擬合工具箱對(duì)CD段系數(shù)為a2、b2、d2的Rational函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果如圖8所示，可得CD段的各參數(shù) a2、b2、d2分別為：-0.591 7、0.677 1、-11.78。

圖8 1.5 A電流下C-D段Rational函數(shù)的擬合結(jié)果

根據(jù)擬合結(jié)果可以看出，與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比，Rational函數(shù)模型與實(shí)際散點(diǎn)的擬合效果好一些，通過對(duì)Rational函數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到不同電流下Rational函數(shù)模型中各參數(shù)值，部分結(jié)果如表2所示。

表2 Rational-Bingham模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

同樣，對(duì)Rational函數(shù)模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行分析可知，各參數(shù)與電流為非線性關(guān)系，選擇采用三階多項(xiàng)式來建立各參數(shù)與電流之間的關(guān)系，得到各參數(shù)與電流之間的函數(shù)關(guān)系，部分結(jié)果如下：

以上為Rational函數(shù)模型中各參數(shù)與電流之間建立的映射關(guān)系，結(jié)合式（8）可得到完整的Rational函數(shù)模型，與多項(xiàng)式函數(shù)模型相似，Rational函數(shù)模型的輸入分別為電流和速度，輸出為對(duì)應(yīng)輸入電流和速度下的輸出阻尼力。

4 模型仿真分析

本文在Matlab／Simulink環(huán)境中對(duì)模型在不同工況下力與速度之間的非線性關(guān)系進(jìn)行仿真分析。如圖9所示，模型輸入分別為可以自定義的輸入電流及正弦位移激勵(lì)，模型輸出為MRD輸出阻尼力與速度之間的關(guān)系。其中SubSystem模塊中分別為多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型，是仿真系統(tǒng)的子系統(tǒng)。系統(tǒng)可分別輸出在不同工況下多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的F-v仿真結(jié)果。

圖9 模型的Simulink仿真框圖

4.1 辨識(shí)工況（電流不同）

在振幅A為2 mm、頻率f為3 Hz的振動(dòng)工況下，將不同電流分別輸入多項(xiàng)式函數(shù)模型仿真系統(tǒng)和Rational函數(shù)模型仿真系統(tǒng)，可分別得到輸出F-v曲線并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果生成對(duì)比，受篇幅限制，本節(jié)以施加電流大小分別為0、0.5、1.0、1.5 A為例，所得結(jié)果如圖10所示。

圖10 辨識(shí)工況下兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過分析圖10中模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，可以得出以下結(jié)果：

1）從整體上看，在同一振動(dòng)工況不同電流下2種模型的擬合效果都比較好，都可以不同程度較為準(zhǔn)確地描述經(jīng)典Bingham力學(xué)模型無法模擬的非線性滯回區(qū)域。

2）從局部上看，多項(xiàng)式函數(shù)模型在低于0.5 A時(shí)高速段存在局部不穩(wěn)定性、在速度換向處存在擬合效果不佳的缺陷，而Rational函數(shù)模型可以修正多項(xiàng)式函數(shù)這一缺陷，在穩(wěn)定性上更加符合實(shí)際。

4.2 驗(yàn)證工況（激勵(lì)頻率、振幅不同）

為了分別檢驗(yàn)2種模型在同一電流不同振動(dòng)工況下的適用性，將圖9中輸入電流設(shè)為I＝1.0 A固定不變，首先改變輸入正弦位移激勵(lì)信號(hào)的頻率，以振幅A為2 mm、頻率f為5 Hz為例，所得多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖11所示。

圖11 I＝1.0 A，A＝2 mm，f＝5 Hz工況下，兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

電流I＝1.0 A固定不變，改變輸入位移激勵(lì)信號(hào)的振幅，以振幅A為4 mm、頻率f為3 Hz的振動(dòng)工況為例，所得多項(xiàng)式函數(shù)模型和Rational函數(shù)模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12所示。

通過分析改變正弦激勵(lì)輸入信號(hào)的頻率或振幅后，2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比（見圖11、圖12），可以得出以下結(jié)果：

1）多項(xiàng)式函數(shù)模型存在的缺陷更加顯著，改變頻率或振幅后，多項(xiàng)式函數(shù)模型在一個(gè)行程周期的高速段均存在不收斂的現(xiàn)象。線性區(qū)的仿真結(jié)果趨近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，非線性低速區(qū)的仿真結(jié)果存在一定程度的誤差。

圖12 I＝1.0 A，A＝4 mm，f＝3 Hz工況下，兩模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2）為解決多項(xiàng)式函數(shù)模型在改變振動(dòng)工況后高速段存在不收斂問題，可將多項(xiàng)式函數(shù)與線性函數(shù)相交之后的高速段取線性函數(shù)，低速非線性區(qū)用多項(xiàng)式函數(shù)來表達(dá)，這將改變分段模型的分段方式，因此多項(xiàng)式函數(shù)模型在本文的分段方式下對(duì)同一電流不同振動(dòng)工況的適用性較弱。

3）在改變頻率或振幅后，Rational函數(shù)模型在非線性區(qū)的表達(dá)存在不同程度的誤差，但總體仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，改變振動(dòng)工況后仍然可以較好地模擬MRD輸出阻尼力的最大值。此外Rational函數(shù)模型可以修正多項(xiàng)式函數(shù)模型高速段不收斂的震蕩現(xiàn)象，對(duì)同一輸入電流不同振動(dòng)工況下的適用性較強(qiáng)。

2種模型的非線性區(qū)均存在一定程度誤差的原因是：不同振動(dòng)工況（正弦輸入信號(hào)）直接影響模型的輸入速度，所以簡化模型中各參數(shù)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系，在同一振動(dòng)工況下建立各參數(shù)與電流之間的絕對(duì)關(guān)系，使得改變振動(dòng)工況后非線性低速區(qū)的仿真結(jié)果存在一定程度的誤差。

5 模型誤差對(duì)比評(píng)估

2種非線性模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差可通過均方根誤差RMSE來進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算公式如下：

式中：RMSE為均方根誤差；yi為擬合數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

5.1 辨識(shí)工況

對(duì)同一振動(dòng)工況（A＝2 mm，f＝3 Hz）不同電流下，2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果各段的均方根誤差值及Rational函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)相比Rational函數(shù)的誤差降低率，如表3所示。

CRMSE（累積均方根誤差）計(jì)算公式表示為：

ERR（誤差降低率）計(jì)算公式表示為：

表3 2種模型在不同電流下的均方根誤差

通過對(duì)表3進(jìn)行分析，可以得出以下結(jié)果：

1）2種模型在同一振動(dòng)工況不同電流下各段的擬合精度平均可達(dá)0.99以上；

2）不同電流下，Rational函數(shù)模型的累積擬合誤差與多項(xiàng)式函數(shù)模型的累積擬合誤差相比均有一定程度的降低，與2種模型各自的仿真結(jié)果一致；

3）在電流低于0.5 A時(shí)，Rational函數(shù)模型的誤差降低率隨著電流的增大而增大，電流高于0.5 A后Rational函數(shù)模型的誤差降低率隨著電流的增大而減小。

5.2 驗(yàn)證工況

對(duì)同一電流（I＝1.0 A）不同振動(dòng)工況（分別改變正弦位移激勵(lì)輸入信號(hào)的頻率和振幅）下，2種模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果各段的均方根誤差值及Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比Rational函數(shù)模型的誤差降低率，如表4所示。

通過對(duì)表4進(jìn)行分析，可以得出以下結(jié)果：

1）2種模型線性區(qū)的誤差結(jié)果較為接近，與模型結(jié)構(gòu)相符合；非線性區(qū)多項(xiàng)式函數(shù)模型的誤差與Rational函數(shù)模型相比均有不同程度的增大，與仿真結(jié)果一致；

2）同一電流不同振動(dòng)工況下Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比Rational函數(shù)模型的誤差降低率均在20%以上，結(jié)合圖11、圖12的仿真結(jié)果可知，Rational函數(shù)模型的適用性強(qiáng)于多項(xiàng)式函數(shù)模型。

表4 2種模型在不同振動(dòng)工況下的均方根誤差

6 結(jié)論

1）相比于多項(xiàng)式函數(shù)模型，Rational函數(shù)模型的分子、分母項(xiàng)均為一次線性函數(shù)，模型參數(shù)較少，且模型結(jié)構(gòu)簡單，分段方式明確。

2）在相同振動(dòng)工況下，Rational函數(shù)模型可改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)模型在電流低于0.5 A時(shí)高速段存在的不穩(wěn)定性和在速度換向拐點(diǎn)處擬合效果不佳的現(xiàn)象，之后隨著電流增大，2種模型擬合誤差的差距逐漸縮小。Rational函數(shù)模型整體上可更加精確地描述MRD在不同電流下的非線性動(dòng)態(tài)特性。

3）在相同電流下，改變輸入正弦位移激勵(lì)的頻率或振幅，通過不同頻率、不同振幅激勵(lì)工況的驗(yàn)證表明，Rational函數(shù)模型與多項(xiàng)式函數(shù)模型相比，具有更高的精度和更好的適用性。