一類具有分布時滯的離散SVIR傳染病模型的穩(wěn)定性分析

許澤宇，雒志學

（蘭州交通大學數(shù)理學院，蘭州 730070）

近些年來，為了能更加準確地描述傳染病的傳播機理，引入了時滯這一概念。在傳染病的研究過程中，大量學者發(fā)現(xiàn)時滯能夠破壞模型的穩(wěn)定性，并在一定條件下產(chǎn)生Hopf分支。通常用微分方程建立的模型都是連續(xù)的［1-13］，對離散模型的研究比較少，而且離散模型在參數(shù)和初值的選取上都相對容易。因此建立和分析離散傳染病模型更具有實際意義。在考慮具體的傳染病模型時，大多數(shù)模型采用的是標準發(fā)生率和雙線性發(fā)生率。為了方便起見，本文選取傳染病模型中經(jīng)常使用的雙線性發(fā)生率。

1 模型的建立

Li等［14］研究了一類具有雙線性發(fā)生率的SVIR傳染病模型，即：

該模型給出了無病平衡點全局漸進穩(wěn)定和地方病平衡點局部漸進穩(wěn)定所滿足的條件。若潛伏期比較小時，則地方病平衡點是全局穩(wěn)定的。

對模型（1）進行降維，則它的等價系統(tǒng)為：

在系統(tǒng)（2）的基礎(chǔ)上考慮分布時滯對傳染病的影響，建立了如下模型：

式中：S（t）、V（t）、I（t）和 R（t）分別表示 t時刻易感染者、接種者、染病者和恢復者的數(shù)量；A表示易感染者的輸入量（包括新生兒）；假設(shè)上述4類人均具有相同的死亡率μ（0≤μ≤1）；q（0≤q≤1）表示新生兒的疫苗接種率；p（0≤p≤1）表示易感染者的疫苗接種率；β和βσ（0＜σ＜1）分別表示傳染病在易感人群和接種人群中的傳染率；ε表示免疫失效比例；γ表示感染者的恢復率；h（h＞0）表示時滯；f（s）≥0且滿足且上述參數(shù)和變量均為非負數(shù)。

傳染病的傳染機制如圖1所示。

圖1 傳染病的傳染機制示意圖

為了便于討論，采用隱式Euler方法對系統(tǒng)離散化后進行研究，主要思想是應用文獻［15-16］的方法處理該離散傳染病模型，運用隱式Euler方法建立系統(tǒng)（3）所對應的離散傳染病模型：

初始條件為：

當 I（x）≡0時，容易得到系統(tǒng)（4）的無病平衡點 E0＝（S0，V0，0），其中：

定義基本再生數(shù)為：

2 無病平衡點的全局吸引性

引理2.1［17-19］當 x＞0時，系統(tǒng)（4）的任意解（S（x），V（x），I（x））都滿足 S（x）＞0，V（x）＞0，I（x）＞0。

定理2.1若R0＜1且γ＞μ+2ε，則系統(tǒng)（4）的無病平衡點E0是全局吸引的。

證我們利用文獻［20］中的方法來定義Lyapunov函數(shù)，有：

記

根據(jù)引理［2.1］可知 I（x）＞0，從而 L（x）＞0，即 L（x）正定。

由系統(tǒng)（4）可以得到：

要使 ΔL＜0，只需找到 ci（i＝1，2，3）＞0，使下面的條件同時成立：

聯(lián)立式（6）和式（7），可以得到：

由式（8）可得：

因為 μ，q∈［0，1］，所以 μq-1≤0，從而對于任意的正數(shù) c1和 c3，式（9）恒成立。

式（10）可以變形為：

根據(jù)實際意義，式（10）等價于：

已知c3β＞0，要使式（11）的第一式成立，則只需：

將式（12）關(guān)于c3展開，有：

即

同理，可以找到使式（11）的第二式成立的條件，有：

因此，當式（13）（14）同時成立時，式（10）成立。

綜上所述，只需逐次找到c2、c3、c1滿足如下條件：

由于 R0＜1，由此可知 βS0＜μ+ε，βσV0＜μ+ε，則式（15）成立需滿足 γ＞μ+2ε。綜上討論，依次取：

使式（6）～式（10）同時成立，最終使 ΔL＜0。因此數(shù)列｛L（x）｝單調(diào)遞減且有界，從而｛L（x）｝收斂，即：

則有

所以

3 系統(tǒng)的持續(xù)性

引理3.1若系統(tǒng)（4）的任意解為（S（x），V（x），I（x）），記總?cè)丝跒?N（x）＝S（x）+V（x）+I（x）+R（x），則有

證由系統(tǒng)（4）可以得到：

故有

定理3.1若 R0＞1，則系統(tǒng)（4）對任何初始條件（5）是持續(xù)的。

證根據(jù)引理［3.1］可知，對任意的 ε0＞0，存在充分大的 x0＞0，當 x＞x0時，有

由系統(tǒng)（4）的第一式可得：

由ε0的任意性可得：

因此由引理［3.1］有：

同理，由系統(tǒng)（4）的第二式可得：

由于

則存在0＜α＜max｛I（x）｝和θ＞0使得：

記

在這里，I（x）和α的關(guān)系只能有以下3種情況：

（i）對于任意的 x＞mθ，都有 I（x）≤α；

（ii）對于一切充分大的 x，都有 I（x）＞α；

（iii）當 x充分大時，I（x）關(guān)于 α振蕩。

根據(jù)系統(tǒng)（4）中第三式的特點，構(gòu)造數(shù)列：

則

當x≥x1+m時，有：

當 x≥x1+m+mθ時，有：

同理有：

因此

設(shè) I′：＝min｛I（x1+mθ+2m+k）｝，k＝-m，-m+1，…，1，0，則，當 x≥x1+m+mθ時，I（x）＞I′。

即W（x）有界，這與 W（x）→ +∞矛盾，故情況（i）不成立。

若情況（ii）成立，則結(jié)論成立。

若情況（iii）成立，設(shè)存在足夠大的 x，x1，x2滿足 x1＜x＜x2，使 I（x1），I（x2）≥α，I（x）＜α，由系統(tǒng)（4）可知，I（x+1）-I（x）≥ -（μ+γ）I（x+1），即對任意的 x1＜x＜x1+m+mθ，都有：

如果x2≥x1+m+mθ，則用相同的方法可以得到由區(qū)間x1＜x＜x2的任意性可知，對足夠大的x都有即得到：

綜上所述，系統(tǒng)（4）對于任何初始條件（5）是持續(xù)的。

4 結(jié)論

考慮了一類具有分布時滯的離散SVIR傳染病模型，從理論上分析了該模型的動力學性質(zhì)。首先對原模型等價降維，得到了連續(xù)的模型；然后運用隱式歐拉方法對模型離散化，并通過計算得到系統(tǒng)的無病平衡點E0和基本再生數(shù)R0；最后證明了無病平衡點的全局吸引性和系統(tǒng)的持續(xù)性。最終得到如下結(jié)論：當R0＜1時，系統(tǒng)的無病平衡點E0是全局吸引的，疾病會消亡；當R0＞1時，系統(tǒng)是持續(xù)的，疾病將始終存在。通過對這種SVIR模型的研究，給該類傳染病的預防和控制提供了理論基礎(chǔ)，具有一定的參考價值。