高維數(shù)據(jù)下線性模型的序列相關(guān)檢驗(yàn)

劉 鋒，付馨葦，胡天英，陳俊霖

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶 404100）

線性模型作為統(tǒng)計學(xué)中最基礎(chǔ)的模型之一，在過去的幾十年里得到了大量運(yùn)用。由于其結(jié)構(gòu)簡明、理論健全，因而在金融、自動化技術(shù)、電力工業(yè)、醫(yī)藥衛(wèi)生和航空航天等領(lǐng)域均有廣泛涉及。在線性模型大量運(yùn)用的同時，對于模型中殘差是否存在序列相關(guān)的檢驗(yàn)也成為數(shù)據(jù)分析中的重要工作。如果殘差是序列相關(guān)的，則得到的最小二乘估計不是有效的，更糟糕的是，若存在很強(qiáng)的序列相關(guān)性則意味著忽略了一些重要的解釋變量，導(dǎo)致模型被誤用的可能。對于本文所需進(jìn)行的序列相關(guān)檢驗(yàn)，參考 HU等［1］所提出的VT，P檢驗(yàn)統(tǒng)計量，在原假設(shè)下得到VT，P檢驗(yàn)統(tǒng)計量的漸近分布。本文研究在高維數(shù)據(jù)下的線性模型序列相關(guān)問題。在計算機(jī)和信息技術(shù)高速發(fā)展的今天，隨著積累的數(shù)據(jù)越來越多，高維數(shù)據(jù)涉及范圍越來越廣，加之許多低維數(shù)據(jù)的經(jīng)典處理方法，如主成分分析、回歸分析、聚類分析和AHP等在處理高維數(shù)據(jù)時有著相當(dāng)大的困難，進(jìn)而高維統(tǒng)計方法的研究在各個領(lǐng)域變得十分重要。因此，相較于以往序列相關(guān)檢驗(yàn)針對的低維數(shù)據(jù)，針對高維情形進(jìn)行的檢驗(yàn)將能更好地解決新型實(shí)際問題。所謂高維數(shù)據(jù)，是指協(xié)變量維數(shù)p大于樣本量n的數(shù)據(jù)，也正因?yàn)閿?shù)據(jù)的高維從而不可避免地產(chǎn)生“維數(shù)災(zāi)禍”問題。為解決維數(shù)帶來的“災(zāi)難”，許多學(xué)者提出了各種不同的方法和算法，包括但不限于：① 數(shù)據(jù)的聚類［2］，包含 Kohonen自組織特征映射［3-4］、多維縮放［5］、基于分形的降維［6-7］；② 變量的篩選，包括 Tibshirani（1996）提出的 LASSO（least absolute shrinkage and selection operator）方法［8］，Yang等［9］將 Dantzig變量選擇應(yīng)用到高維部分線性模型，李冰月［10］利用profile最小二乘方法結(jié)合RAR部分懲罰方法對超高維部分線性模型進(jìn)行變量估計等，進(jìn)一步地，對于本文針對的一般線性模型，LASSO類方法還可以推廣到自適應(yīng)LASSO［11］、松弛 LASSO［12］以及 Group LASSO［13］等；③ 利用方差分析和因子分析進(jìn)行降維［14］；④對高維數(shù)據(jù)進(jìn)行特征降維［15］等。在探尋降維算法的同時，還有一些學(xué)者考慮了降維對原始數(shù)據(jù)的影響［16］。

本文采用的檢驗(yàn)方法與傳統(tǒng)D-W檢驗(yàn)不同，其可檢驗(yàn)高階序列相關(guān)且無需對誤差的分布做出任何假定，同時結(jié)合L1懲罰函數(shù)的變量估計對高維數(shù)據(jù)下線性模型的序列相關(guān)進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 方法及主要結(jié)果

記（Yi，Xi），i＝1，2，…，n為來自模型（1）的 n個i.i.d樣本。

式中：Yi為響應(yīng)變量，Xi是p維的隨機(jī)向量且Xi～N（0，Σ），εi～N（0，σ2）。在本文中，考慮 p＞n→∞。

假設(shè)εi是來自于模型AR（k）的隨機(jī)誤差：

或者為模型MA（k）的隨機(jī)誤差：

式中：ei為i.i.d的隨機(jī)變量，同時有 E（ei）＝0，Var（ei）＝σ2＜∞。對于 ai，i＝1，2，…，k，其為未知的回歸系數(shù)，且對于模型AR（k）是固定的。

針對序列相關(guān)的檢驗(yàn)是在模型（1）的基礎(chǔ)上對誤差序列εi進(jìn)行的，即只需要檢驗(yàn)AR（k）模型亦或是MA（k）模型中的系數(shù)是否全為零即可。若模型系數(shù)全為零，則表明（1）的誤差序列不存在序列相關(guān)，反之則存在高階序列相關(guān)。

令 a＝（a1，a2，…，ak）T，因此檢驗(yàn)為

令 uj＝E（εiεi+j）以及 U＝（u1，u2，…，uk），j＝1，2，…，k。此時關(guān)于該檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：

令

并記作

在原假設(shè)下有 E（Zi）＝0，i＝1，2，…，N-k，且E（Zi）＝0意味著中沒有序列相關(guān)性。因此，對于序列相關(guān)性的檢驗(yàn)等同于檢驗(yàn)E（Zi）＝0，i.e.，

參考 HU［1］，可以利用 VT，P檢驗(yàn)統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗(yàn)。對任意的p維向量a，記記Y＝（Y1，Y2，…，Yn）T，XT＝（X1，X2，…，Xn），ε＝基于 L1懲罰函數(shù)，定義β的估計為

其中λ≥0為L1正則化參數(shù)。特別地，令T＝nk，于是在原假設(shè)的約束下，有VT，P檢驗(yàn)統(tǒng)計量

為得到主要結(jié)論，需要如下假設(shè)條件：

條件1

條件2記Op（s0λ）（見 peter J.Bickel（2009）定理 7.2）。本文中

定理1在條件1和條件2以及零假設(shè)下，當(dāng)T→∞時，有

其中Ik為k×k的單位陣。

在定理1下便得到了原假設(shè)中檢驗(yàn)統(tǒng)計量的漸近分布，因此當(dāng)利用統(tǒng)計推斷時，在已知的顯著性水平α下，可以在檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值大于漸近分布的1-α分位點(diǎn)時，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為模型（1）的誤差序列存在序列相關(guān)性，反之同理。

2 數(shù)值模擬

通過相當(dāng)部分的數(shù)值模擬研究高維數(shù)據(jù)下線性模型的序列相關(guān)性檢驗(yàn)?？紤]模型Yi＝XTiβ+εi，設(shè) Xi產(chǎn)生于正態(tài)分布 N（0，∑），利用 10折交叉驗(yàn)證對β的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行選擇，選出最優(yōu)參數(shù)后再利用L1懲罰函數(shù)對β進(jìn)行估計。對于εi，則分別假定其服從以下模型：

1）AR（1）模型：εi＝a1εi-1+ei

2）AR（2）模型：εi＝a1εi-1+a2εi-2+ei

3）MA（1）模型：εi＝a1ei-1+ei

4）MA（2）模型：εi＝a1ei-1+a2ei-2+ei

同時假定誤差ei服從正態(tài)分布。取顯著性水平α＝0.05，樣本量n取200、400和600，維數(shù) p分別取400、600和800時，各做1 000次模擬，有表1～12。

表1 AR（1）模型 n＝200

表2 AR（1）模型 n＝400

表3 AR（1）模型 n＝600

表4 MA（1）模型 n＝200

表5 MA（1）模型 n＝400

表6 MA（1）模型 n＝600

表7 AR（2）模型 n＝200

表8 AR（2）模型 n＝400

表9 AR（2）模型 n＝600

表10 MA（2）模型 n＝200

表11 MA（2）模型 n＝400

表12 MA（2）模型 n＝600

從上述結(jié)果中可以看到，當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時，若模型不存在序列相關(guān)，則檢驗(yàn)結(jié)果在顯著性水平0.05附近波動，且當(dāng)固定樣本量n，檢驗(yàn)統(tǒng)計量的size隨著維數(shù)p的增大而大致呈減小趨勢，說明當(dāng)樣本量固定不變時，維數(shù)的增大將導(dǎo)致檢驗(yàn)統(tǒng)計量的size效果變差。而在備擇假設(shè)中，無論是AR模型還是MA模型，當(dāng)相關(guān)系數(shù)變大時，檢驗(yàn)統(tǒng)計量的power均趨向于1。

3 定理的證明

引理1在概率至少為1-Cp-1時

證明：證明見 Chang et al.（2010）［17］的引理 2和引理3。

定理2在條件1、條件2及原假設(shè)下有

式中Ik為k×k的單位陣。

證明：首先考慮第 j項(xiàng)下的Z＾i，i.e.，

同時在Δ3中有

至此得到

從而有

由Gramer-Wold方法，根據(jù)m步相依隨機(jī)變量中心極限定理可得定理得證。