2020年國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)試題介紹及解答

荀 坤，李 智，穆良柱，陳志堅(jiān)，陳曉林

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

因新冠肺炎疫情全球爆發(fā)，原計(jì)劃于2020年7月在立陶宛共和國(guó)舉行的第51屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽(IPhO)被順延至次年. 就在各隊(duì)為本年度選手失去參賽機(jī)會(huì)而惋惜時(shí)，俄羅斯在國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽委員會(huì)的授權(quán)下主辦了此次特別的國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽(International Distributed Physics Olympiad, IdPhO2020)，各參賽方在主辦方代表監(jiān)督下在本國(guó)參加比賽. 經(jīng)主辦方艱苦努力和各參賽方密切配合，競(jìng)賽得以于2020年12月8—15日在跨越14個(gè)時(shí)區(qū)的全球多地成功舉行. 2020年初選拔產(chǎn)生，9月已經(jīng)進(jìn)入北京大學(xué)學(xué)習(xí)的5名代表中國(guó)參賽的選手以較大優(yōu)勢(shì)包攬了本次競(jìng)賽的前5名. 其中，來(lái)自長(zhǎng)沙市第一中學(xué)的張意飛同學(xué)更是贏得了理論、實(shí)驗(yàn)和總成績(jī)3項(xiàng)第一.

競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)器材由主辦方代表在考試前2 h帶到考場(chǎng). 實(shí)驗(yàn)試題名為“晶體學(xué)”，時(shí)長(zhǎng)為5 h，不要求分析誤差[1]. 試題內(nèi)容幾乎涵蓋了通過(guò)衍射確定晶體結(jié)構(gòu)的所有方面，篇幅長(zhǎng)，內(nèi)容多，故介紹試題時(shí)會(huì)在圖文上做一定壓縮. 試題解答的重點(diǎn)也放在方法和最后結(jié)果上，中間過(guò)程能省則省略. 本文結(jié)構(gòu)參考了文獻(xiàn)[2].

1 試題介紹

晶體是指由1個(gè)基本單元(晶胞)在空間周期性排列形成的結(jié)構(gòu). 如ρ(r)為描述晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)函數(shù)，a1,a2和a3為3個(gè)線性無(wú)關(guān)的矢量，則對(duì)整個(gè)晶體有：

ρ(r+e·a1+f·a2+g·a3)=ρ(r),e,f,g∈Z,

(1)

其中，a1,a2和a3被稱為晶格矢量，簡(jiǎn)稱格矢. 晶體也可以只是一維或二維的. 本題的任務(wù)是確定晶體結(jié)構(gòu)，也即晶胞結(jié)構(gòu)ρ(r)和格矢a1,a2和a3.

圖1 散射矢量示意圖

要求：在A部分以衍射光柵(一維晶體)為例研究晶體衍射的最基本規(guī)律；在B,C和D部分要分別確定未知晶體的晶格參量、晶胞的對(duì)稱性和結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié).

1.1 從狹縫到晶體

如圖2所示，衍射光柵是最簡(jiǎn)單的一維晶體，狹縫和兩狹縫間的區(qū)域構(gòu)成晶胞，格矢a1等于光柵常量a.

圖2 一維晶體的晶胞(不透光區(qū)域用粗黑線表示)

當(dāng)觀察光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射時(shí)，光強(qiáng)與衍射角θ的關(guān)系為

(2)

其中，I0為θ=0時(shí)的光強(qiáng)，N為被照明的光柵狹縫數(shù).

A.1 利用散射矢量q(q?ki)重新寫式(2). (0.3分)

A.2 寫出光柵常量為a的光柵的第h個(gè)衍射極大的散射矢量q. (0.2分)

A.3 設(shè)q1為1級(jí)衍射極大對(duì)應(yīng)的散射矢量. 用q1表示各級(jí)衍射極大的散射矢量q.q1和a間有何關(guān)系？(0.2分)

A.4 觀察樣品DG1～DG5的衍射. 用實(shí)驗(yàn)方法確定每一樣品的q1和a. 畫出裝置示意圖，寫出所測(cè)得的量及用于計(jì)算的公式. (1.0分)

A.5 由實(shí)驗(yàn)得到樣品DG3～DG5的a與b之比a/b. 用公式和示意圖來(lái)解釋求解方法. 已知b≤a/2. (1.5分)

衍射極大的位置和強(qiáng)度分別由晶體的周期(a1=a)和晶胞參量(狹縫寬度b)決定. 為簡(jiǎn)化強(qiáng)度計(jì)算，可以引入被稱為結(jié)構(gòu)因子的復(fù)函數(shù)：

(3)

其中，ρ(x)是振幅透射率(本題中可視為實(shí)數(shù))，q是散射矢量，積分區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)晶胞(本文所有結(jié)構(gòu)因子表達(dá)式的積分區(qū)域也都是整個(gè)晶胞，一般不再標(biāo)出). 將所對(duì)應(yīng)的q代入，得到各衍射極大的相對(duì)強(qiáng)度：I=|F|2.

衍射強(qiáng)度極大位置(衍射斑點(diǎn))總可以表示成矢量(倒格矢)之和：

1D：q=h·q1,

(4)

2D：q=h·q1+k·q2,

(5)

3D：q=h·q1+k·q2+l·q3,

(6)

其中h,k,l∈Z.

每個(gè)衍射斑點(diǎn)，以3D的為例，可以用1組數(shù)(h,k,l)標(biāo)記，對(duì)應(yīng)的復(fù)振幅和強(qiáng)度分別記為F(h,k,l)和I(h,k,l).

A.6 按圖2坐標(biāo)系寫出圖2中A所示衍射光柵晶胞的ρ(x). 設(shè)光柵常量a=pb,p∈N，計(jì)算此晶胞由h標(biāo)記的衍射斑點(diǎn)的結(jié)構(gòu)因子FA(h)，用h和q1表示. 哪些極大的強(qiáng)度為0？寫出這類極大的h滿足的方程. (0.7分)

A.7 對(duì)另一個(gè)晶胞(圖2中B)重復(fù)A.6. (0.7分)

1.2 2D晶體

圖3為以a1和a2為格矢的2D晶體，習(xí)慣上取格矢間夾角α≤90°，圖中圓點(diǎn)表示晶體中的等價(jià)位置. 如果平行單色光垂直照射到如圖3所示的2D晶體面上，會(huì)在其后的屏上出現(xiàn)周期性的衍射花樣，各極大位置可以用式(5)描述.

圖3 2D晶體

B.1 用晶體參量a1,a2和α(圖3)表示矢量q1和q2的長(zhǎng)度及其夾角β. (1.0分)

圖4給出了4種晶胞都為正方形的晶體，2個(gè)格矢長(zhǎng)度相等且相互垂直. 晶胞內(nèi)黑色正方形完全不透光，其他部分則完全透光. 對(duì)晶胞C有b′>b. 晶胞D中2個(gè)黑方塊完全相同，一個(gè)相對(duì)于另一個(gè)向右和向上分別移動(dòng)了半個(gè)格矢.

圖4 A～D的晶胞是正方形(除aB>aA外， 其他尺寸比都未知)

B.2 對(duì)晶體A和D給出衍射斑點(diǎn)(h,k)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)因子的模|F(h,k)|，用a和b表示. 只需給出1個(gè)除中心斑點(diǎn)(h=0,k=0)外都成立的表達(dá)式. (1.0分)

B.3 觀察樣品UC1～UC4的衍射花樣，用實(shí)驗(yàn)方法確定它們的晶體周期aUC1,aUC2,aUC3和aUC4. (0.6分)

B.4 給出UC1～UC4與圖4中各晶胞的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并做解釋. (0.4分)

B.5 確定尺寸b. (0.8分)

B.6 樣品UC5～UC7是簡(jiǎn)單的2D晶體.

觀察它們的衍射花樣，用實(shí)驗(yàn)方法確定每一樣品的參量a1,a2及其夾角α，并解釋用到了衍射花樣的哪些參量. (1.2分)

1.3 晶體的對(duì)稱性

如圖5所示，實(shí)際晶體的晶胞中常常會(huì)含有存在對(duì)稱性的幾個(gè)分子. 知道這些對(duì)稱性有助于確定晶胞結(jié)構(gòu). 晶胞的對(duì)稱性會(huì)使得h和k滿足某些條件的衍射斑點(diǎn)系統(tǒng)性缺失(消光).

(a) (b)圖5 晶胞具有C4對(duì)稱的示例[繞圖(b)中豎直線轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后晶胞會(huì)復(fù)原]

圖6是格矢大小相等(a1=a2)且相互垂直的2D晶體的衍射圖(僅畫了|h|,|k|≤2的部分).

圖6 2D晶體的衍射圖

C.1 給出其旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心的h和k. 該圖的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱階m可能取哪些值？畫出所有可能的鏡像對(duì)稱軸，并給它們命名. (0.3分)

C.2 寫出上一任務(wù)中你所畫出并命名的每一鏡像對(duì)稱軸的直線方程. (0.2分)

C.3 對(duì)每一旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和鏡像對(duì)稱，寫下它們的記號(hào)(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱用Cm，鏡像對(duì)稱用直線方程)，以及存在該對(duì)稱元素時(shí)強(qiáng)度I(qx,qy)滿足的方程. (0.4分)

C.4 寫出衍射斑點(diǎn)(h,k)和(-h,-k)的強(qiáng)度滿足的方程. 指出任務(wù)C.1中與此方程相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性并做解釋. (0.2分)

圖7各晶胞中的白、黑格子分別代表透光和不透光. 晶胞2和3分別由晶胞1對(duì)x=0軸和x=y做鏡像變換得到. 晶體4由晶體1平移(x1,y1)得到.

(a)1：原初 (b)2：x=0 (c)3:y=x (d)4:平移圖7 通過(guò)不同對(duì)稱操作可由晶體1得到晶體2～4

C.5 利用結(jié)構(gòu)因子的定義和對(duì)稱性，分別將晶體2～4的結(jié)構(gòu)因子用晶體1的結(jié)構(gòu)因子表示. (0.4分)

C.6 2D晶體中旋轉(zhuǎn)對(duì)稱階m只能取哪些值？說(shuō)明原因. (0.5分)

參照答題紙上所給晶胞示意圖18：

C.7 確定晶胞K，L，M，N，P，Q，R，S和T具有的對(duì)稱性，鏡像對(duì)稱軸直接畫在圖中，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱符號(hào)標(biāo)在圖下方. (0.9分)

C.8 觀察樣品PG1，2，5和8的衍射花樣，確定這些衍射花樣有何對(duì)稱性，并給出它們與晶胞K，L，M和N間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. (0.8分)

C.9 觀察樣品PG3，4，6，7和9的衍射花樣，給出它們和晶胞P，Q，R，S和T間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并說(shuō)明理由. (1.0分)

C.10 觀察樣品UC8的衍射花樣. 它可能是晶體嗎？請(qǐng)解釋原因. (0.3分)

1.4 相位問(wèn)題

入射光經(jīng)晶體散射后的復(fù)振幅由下式(傅氏變換)給出：

(7)

由結(jié)構(gòu)因子經(jīng)逆傅氏變換亦可反推出：

(8)

對(duì)離散衍射斑點(diǎn)，積分可以變成求和：

ρ(r)～∑|F(q)|exp (iφ)·exp (-iq·r).

(9)

實(shí)際只需對(duì)式(9)中的強(qiáng)衍射斑點(diǎn)求和即可. 衍射斑點(diǎn)強(qiáng)度能給出結(jié)構(gòu)因子的模，但不能給出相位，由式(9)不能直接解出ρ(r). 為此，通常會(huì)取近似的初始相位，先用式(9)得到ρ(r)，再將得到的ρ(r)代入式(7)來(lái)更新相位，不斷重復(fù)，直到收斂. 如果已知某晶體結(jié)構(gòu)與待測(cè)晶體的類似，即可用該晶體的相位作為待測(cè)晶體的初始相位.

MR0，MR1和MR2的晶胞都由4×4階的透光(ρ=1)或不透光(ρ=0)方塊組成. MR0的晶胞結(jié)構(gòu)已知，如圖8所示.

圖8 MR0的晶胞結(jié)構(gòu)(白方塊透光，黑方塊不透光)

晶體MR1結(jié)構(gòu)未知，但應(yīng)為圖9中之一. 晶體MR2的結(jié)構(gòu)和MR0的非常接近，但有7個(gè)透光方塊. 圖10給出了MR0晶體|h|,|k|≤2衍射斑點(diǎn)的相位(單位為rad).

圖9 MR1晶體可能的晶胞

圖10 MR0晶體|h|,|k|≤2衍射斑點(diǎn)的相位

D.1 如果入射光強(qiáng)為I0，請(qǐng)給出MR0或者M(jìn)R2的0級(jí)衍射斑點(diǎn)的強(qiáng)度. (1.0分)

D.2 確定晶體MR1的晶胞，并說(shuō)明原因. (2.0分)

D.3 若MR2的晶胞與MR0的差別僅為其中2個(gè)方格從不透光變成透光，請(qǐng)確定其結(jié)構(gòu). (2.0分)

1.5 實(shí)驗(yàn)器材

實(shí)驗(yàn)器材如圖11所示. 1為數(shù)字萬(wàn)用表，2為帶磁鐵的光電二極管，3為9 V電池，4為10 kΩ和200 kΩ電阻，5為連接器(4個(gè))，6為電池引線座，7為630 nm波長(zhǎng)激光器，8為光具座，9為針，10為膠帶，11為螺絲刀，12為直尺，13為大鐵夾(2個(gè))，14為卷尺，15為樣品(分別標(biāo)有Diffraction grating, Unit cell, Plane group和Molecular replacement)，16為衰減片，17為小鐵夾(4個(gè))，18為樣品座(需自己組裝)，19為繪圖紙，20為黑卡紙，21為帶磁性的平板.

圖11 實(shí)驗(yàn)器材(白線畫出的左上部用于光強(qiáng)測(cè)量)

圖12示意了如何將激光器裝在光具座上并且用大鐵夾來(lái)控制其開(kāi)關(guān)，如何用針和膠帶紙減小激光光束的尺寸，以及如何用衰減片來(lái)減弱光強(qiáng). 圖13示意了激光器、樣品和觀察屏應(yīng)該如何放置.

圖12 激光器和衰減片的使用示意圖

圖13 激光器、樣品和觀察屏的放置示意圖

流過(guò)光電二極管的電流與照在其上的光強(qiáng)成正比. 用電池引線座和連接器將萬(wàn)用表、光電二極管、電阻和電池按圖14連接，就可得到光強(qiáng)探測(cè)器. 電阻大小可視光強(qiáng)做選擇.

圖14 光強(qiáng)探測(cè)器線路

2 試題解答

(10)

A.2 可由光柵衍射方程直接推出：

(11)

A.3 由式(11)立即可得：

q=q1h,h∈Z,

(12)

q1a=2π.

(13)

A.4 圖15為衍射光路示意圖，其中，L和sN分別是樣品到觀察屏和0級(jí)到第N級(jí)衍射斑點(diǎn)的距離.

圖15 衍射光路及衍射光斑示意圖

確定q1的公式為

(14)

q1與a滿足：

q1a=2π.

(15)

對(duì)每一樣品，分別測(cè)量L和sN，再利用式(14)和(15)，求出對(duì)應(yīng)的光柵常量. 標(biāo)準(zhǔn)答案為

DG1:q1=(320±32) mm-1,a=(20±2) μm;

DG2:q1=(130±13) mm-1,a=(50±5) μm;

DG3～DG5:q1=(79±8) mm-1,a=(80±8) μm.

A.5 由式(10)推出第h級(jí)衍射極大的強(qiáng)度為

(16)

則第1和第2級(jí)衍射極大強(qiáng)度滿足：

(17)

將測(cè)得的第1和第2級(jí)衍射極大強(qiáng)度值代入，可解出a/b. 標(biāo)準(zhǔn)答案為

DG3:a/b∈[7，10];

DG4:a/b∈[3.2，4.8];

DG5:a/b∈[1.5，2.5].

式(17)是超越方程，規(guī)則不允許使用可編程計(jì)算器，很難求解. 中國(guó)選手普遍采用某級(jí)衍射極大缺失來(lái)求a/b，被以方法沒(méi)有普適性為由扣分. 實(shí)際上也觀察不到衍射斑點(diǎn)明顯缺失. 其實(shí)，利用0級(jí)衍射光強(qiáng)和透光面積平方成正比就可以快捷地求出a/b. 更簡(jiǎn)單地，將光電二極管緊貼在光柵之后測(cè)量光柵平均的透光率也可以求出a/b. 用這2種方法得到的DG3，DG4和DG5的a/b分別為：7.9和7，3.4和4，2.1和2，均落在標(biāo)準(zhǔn)答案區(qū)間內(nèi).

A.6 對(duì)照?qǐng)D2直接可以寫出：

(18)

將式(18)代入式(3)，經(jīng)積分、化簡(jiǎn)后可得：

(19)

其中，p=a/b. 強(qiáng)度為0的極大點(diǎn)滿足：h=±pm,m∈N.

A.7 仿照A.6，不難得到：

(20)

(21)

強(qiáng)度為0的極大點(diǎn)滿足：h=±pm,m∈N.

可以看出圖2中A和B的非0級(jí)衍射斑點(diǎn)強(qiáng)度完全相同.

A.8 對(duì)比式(19)和(21)，立即可得：

B.1 總可以在圖3中畫一系列過(guò)格點(diǎn)的平行線使所有格點(diǎn)落在這些平行線上. 這樣，在垂直于這些平行線的方向上，1個(gè)2D晶格的衍射可以看成光柵常量為平行線間距的光柵的衍射.q1和q2標(biāo)示的是距0級(jí)斑點(diǎn)最近的衍射斑點(diǎn)，對(duì)應(yīng)平行線間距最大時(shí)的衍射. 平行線間距最大意味著平行線上相鄰2點(diǎn)的距離最短. 也就是說(shuō)這樣的平行線方向只能與a1或a2一致. 不難導(dǎo)出，對(duì)應(yīng)的線間距分別為a2sinα和a1sinα.

從上面討論可以看出，q1和q2分別與a1或a2之一垂直，不妨取q1⊥a2，有：

(22)

q1和q2的夾角β=α.

B.2 標(biāo)準(zhǔn)答案只給了晶體A的結(jié)構(gòu)因子. 由式(19)和式(21)可以看出，如果透射率0與1互換，非0級(jí)衍射斑點(diǎn)結(jié)構(gòu)因子的模相同. 因此，可以用透光與不透光區(qū)域正好相反的結(jié)構(gòu)來(lái)代替晶體A：

(23)

或

h≠0,k≠0.

容易推出，晶體D的結(jié)構(gòu)因子為晶體A的結(jié)構(gòu)因子乘以因子[1+eiπ(h+k)].

B.3 采用和A.4相同的光路，在衍射屏上會(huì)看到類似圖6的衍射圖. 測(cè)量斑點(diǎn)間距即求出衍射矢量，再由衍射矢量求出晶體周期. 標(biāo)準(zhǔn)答案為：aUC1=(29.5±2.0) μm,aUC2=(19.7±1.3) μm,aUC3=(19.7±1.3) μm或者aUC3=(13.9±1.0) μm,aUC4=(29.5±2.0) μm,其中UC3有2種答案：一種對(duì)應(yīng)晶胞D，另一種改變晶胞取法使其內(nèi)只包括1個(gè)黑方塊.

B.4 觀察各樣品的衍射花樣：

1)由h+k為奇數(shù)的斑點(diǎn)缺失，可以斷定UC3對(duì)應(yīng)晶體D.

2)由aB>aA，結(jié)合B.3的結(jié)果知UC2對(duì)應(yīng)晶體A.

3)由UC1的0級(jí)斑點(diǎn)強(qiáng)度明顯比UC4的強(qiáng)，知UC1對(duì)應(yīng)晶體B，UC4對(duì)應(yīng)晶體C.

B.5 標(biāo)準(zhǔn)答案說(shuō)，比照A.5中的方法，用UC1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到b=(10±2) μm. 其實(shí)也可以通過(guò)比較A和B 2種晶體的0級(jí)斑點(diǎn)強(qiáng)度來(lái)測(cè)量，這樣測(cè)得的結(jié)果為b=9.6 μm.

B.6 觀察各樣品的衍射花樣：

1)UC5的衍射斑點(diǎn)為矩形排布，仿照B.3求得：a1=(19.7±1.8) μm,a2=(39.4±3.5) μm.

2)UC6和UC7的衍射斑點(diǎn)均呈平行四邊形排布. 測(cè)量平行四邊形的2條邊長(zhǎng)，依式(22)計(jì)算出q1和q2模的大小. 測(cè)量平行四邊形內(nèi)銳角，即得q1和q2間夾角β.

標(biāo)準(zhǔn)答案：UC6的a1=(35.5±3.2) μm，a2=(22.1±2.0) μm,α=(63±6)°；UC7的a1=(39.4±3.5) μm,a2=(35.4±3.2) μm，α=(56±6)°.

C.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心為h=0,k=0，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱階m=1,2,4. 圖16中用1～4標(biāo)出的4條直線是鏡像對(duì)稱軸.

圖16 標(biāo)注了鏡像對(duì)稱軸的衍射圖

C.2 圖16中各鏡像對(duì)稱軸滿足的方程：1為qy=0,2為qy=qx,3為qx=0,4為qy=-qx.

C.3 某種對(duì)稱元素存在時(shí)，強(qiáng)度I(qx,qy)滿足的方程如下：

C1:I(qx,qy)=I(qx,qy),

C2:I(qx,qy)=I(-qx,-qy),

C4:I(qx,qy)=I(-qy,qx),

qy=0:I(qx,qy)=I(qx,-qy),

qx=0:I(qx,qy)=I(-qx,qy),

qx=qy:I(qx,qy)=I(qy,qx),

qx=-qy:I(qx,qy)=I(-qy,-qx).

C.4 由于本題中ρ(x)可視為實(shí)數(shù)，結(jié)構(gòu)因子存在如下關(guān)系：

(24)

由此可以推出：

I(-h,-k)=I(h,k),

(25)

與此相應(yīng)的對(duì)稱性為C2.

C.5 設(shè)晶體1的結(jié)構(gòu)因子為

晶體2可以由晶體1對(duì)x=0軸做鏡像變換得到，其結(jié)構(gòu)因子滿足：

F(-qx,qy).

晶體3 可以由晶體1對(duì)y=x軸做鏡像變換得到，其結(jié)構(gòu)因子滿足：

F(qy,qx).

晶體4可以通過(guò)晶體1做平移得到，設(shè)平移矢量為(x1,y1)，其結(jié)構(gòu)因子滿足：

exp [i(qxx1+qyy1)]=

F(qx,qy)exp [i(qxx1+qyy1)].

C.6 如圖17所示，A和B是晶體中的2個(gè)格點(diǎn)(完全等價(jià)). 如繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，則B點(diǎn)變化到C點(diǎn). 若此為晶體的對(duì)稱操作，則晶體還和原來(lái)一樣. 這時(shí)再將晶體繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，晶體會(huì)回到未做任何操作前的狀態(tài). 即，如逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角是對(duì)稱操作，則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角也必定是. 又因所有格點(diǎn)等價(jià)，對(duì)A點(diǎn)成立的對(duì)B點(diǎn)也必定成立. 故，如圖17所示，C和D必為晶體格點(diǎn).CD顯然平行于AB. 由晶體的平移對(duì)稱性可以斷定CD的長(zhǎng)度一定是周期a的整數(shù)倍. 也即：

(26)

圖17 能使晶體復(fù)原的轉(zhuǎn)角

C.7 各晶胞的鏡像對(duì)稱軸和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱符號(hào)分別直接標(biāo)在圖18對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖內(nèi)和圖下.

圖18 晶胞的對(duì)稱性

C.8 標(biāo)準(zhǔn)答案給出PG1，2，5和8的衍射花樣的對(duì)稱性見(jiàn)表1，“+”表示存在相應(yīng)的對(duì)稱性. PG1的qx=0鏡像軸理論上也應(yīng)該存在，但不一定能夠觀察到.

表1 PG1，2，5和8衍射花樣的對(duì)稱性

由存在明顯的qy=0鏡像軸，推出PG1對(duì)應(yīng)L. 由4種鏡像軸和C4均不存在，可推出PG2對(duì)應(yīng)M. 由存在qx=qy和qx=-qy對(duì)稱軸，推出PG5對(duì)應(yīng)N. 由存在C4對(duì)稱推出PG8對(duì)應(yīng)K.

C.9 標(biāo)準(zhǔn)答案給出的PG3，4，6，7和9衍射花樣的對(duì)稱性見(jiàn)表2.

表2 PG3，4，6，7和9衍射花樣的對(duì)稱性

f1+5(h,k)=F(h,k)+F(k,h)e-i(h+k)π,

f4+6(h,k)=F(-k,h)+F(h,-k)e-i(h-k)π,

f3+7(h,k)=F(-h,-k)+F(-k,-h)ei(h+k)π,

f2+8(h,k)=F(k,-h)+F(-h,k)ei(h-k)π.

晶胞T的結(jié)構(gòu)因子為上面4項(xiàng)之和. 對(duì)h=0的衍射斑點(diǎn)有：

fT(0,k)=[F(0,k)+F(k,0)+F(0,-k)+

F(-k,0)](1+eikπ),

也即當(dāng)h=0時(shí)，k為奇數(shù)的斑點(diǎn)會(huì)缺失. 顯然，當(dāng)k=0時(shí)，h為奇數(shù)的斑點(diǎn)也會(huì)缺失. 由PG6衍射花樣具有這樣的特性，可以確定其與T對(duì)應(yīng). 而PG4不具有這樣特性就只能與R對(duì)應(yīng).

S晶胞的不透光“L”型單元2，3和4可以由1經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或鏡像加平移得到. 比照C.5的解答可以得到如下關(guān)系：

f1(h,k)=F(h,k),

f2(h,k)=F(-h,-k)ei5πh/7,

f3(h,k)=F(-h,k)e-iπ(2h/7+k),

f4(h,k)=F(h,-k)e-iπ(h+k).

對(duì)于h=0的衍射斑點(diǎn)，S晶胞的結(jié)構(gòu)因子為

FS(0,k)=[(F(0,k)+F(0,-k)](1+e-ikπ)，

即，h=0的衍射斑點(diǎn)在k為奇數(shù)時(shí)會(huì)缺失. 類似地也可以推出：k=0的衍射斑點(diǎn)在h為奇數(shù)時(shí)會(huì)缺失. 衍射花樣具有這樣特性的，除PG6外，就只有PG9，所以它對(duì)應(yīng)S. 這里需要指出：在對(duì)qx=0軸做鏡像變換后，再向上平移半個(gè)周期，S晶胞依然能復(fù)原，所以PG9的衍射花樣也存在qx=0和qy=0的鏡像對(duì)稱.

PG3有鏡像對(duì)稱軸，而PG7沒(méi)有，故前者對(duì)應(yīng)P，后者對(duì)應(yīng)Q.

C.10 實(shí)驗(yàn)觀察到UC8的衍射花樣具有C10旋轉(zhuǎn)對(duì)稱. 根據(jù)C.6的證明，它不可能是晶體. 實(shí)際上UC8是準(zhǔn)晶，具有C5對(duì)稱.

D.1 0級(jí)斑點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)正比于透光面積，而光強(qiáng)則為場(chǎng)強(qiáng)的平方. MR0和MR2的總面積均為16個(gè)方塊，透光面積分別為5和7個(gè)方塊. 16個(gè)方塊都透光時(shí)光源與屏間無(wú)任何遮擋，0級(jí)光強(qiáng)就是入射光強(qiáng)，故：

D.2 標(biāo)準(zhǔn)答案所給MR1各衍射斑點(diǎn)強(qiáng)度見(jiàn)圖19.

圖19 MR1各衍射斑點(diǎn)的強(qiáng)度

考慮到透射率為實(shí)數(shù)，逆傅氏變換可寫成：

(27)

其中，(χ,γ)是構(gòu)成晶胞方格的坐標(biāo). 將圖19中斑點(diǎn)光強(qiáng)和圖10中MR0晶胞對(duì)應(yīng)斑點(diǎn)相位φ用于式(27)，可得到圖20. 據(jù)此，可以判斷MR1的晶胞應(yīng)為圖9中X.

圖20 MR1晶胞的振幅透射率

標(biāo)準(zhǔn)答案采用的逆傅氏變換方法工作量極大，也不絕對(duì)可靠. 其實(shí)可以有更快捷的方法. MR0,MR1和MR2是并排印在同一膠片上的，肉眼即可分辨出MR1的透光率介于MR0和MR2之間. 由MR0和MR2的透光方格數(shù)分別為5和7，可推出MR1的透光方格數(shù)為6，只可能是圖9中X或Z.

D.3 標(biāo)準(zhǔn)答案所給MR2各衍射斑點(diǎn)的強(qiáng)度見(jiàn)圖21. 按照D.2方法可得MR2各方格的試探透射率如圖22所示.

圖22 MR2晶胞的透射率

比較圖22與MR0晶胞結(jié)構(gòu)，只有(0,3)和(2,0)方格變成透光. 因此，推測(cè)MR2具有形如圖23的晶胞結(jié)構(gòu).

圖23 MR2晶胞結(jié)構(gòu)

也可以利用在D.2建議過(guò)的方法來(lái)確定MR2的結(jié)構(gòu). 對(duì)(0,2)衍射斑點(diǎn)，同行方格結(jié)構(gòu)因子的相位相同，相鄰行方格結(jié)構(gòu)因子的相位相反. MR0只要第1行(從上往下)或第3行再增加1個(gè)透明方格，則6個(gè)透明方格的結(jié)構(gòu)因子為0，第7個(gè)透明方格無(wú)論在什么位置都得不到強(qiáng)衍射斑. 所以，可以排除新增的2個(gè)透明格子出現(xiàn)在第1和第3行的可能. 在圖24中，直接將這些格子涂黑,并用白底表示已知透明的方格.

MR0的5個(gè)透明方格的(1,1)衍射斑點(diǎn)結(jié)構(gòu)因子兩兩抵消，只余下1個(gè)坐標(biāo)為(1,2)[或(2,1)]的. 新增的2個(gè)透明方格中任何一個(gè)的相位都不能與其相反，否則得不到強(qiáng)斑(1,1). 由此可排除圖24中X.

如新增的透明方格之一為Y，則(-1,1)衍射斑點(diǎn)必不弱，故圖24中Y也不可能透明. 新增加的透明方格只有OP，OQ和PQ 3種可能. 由于各方格間只有同相、正交和反相3種關(guān)系，估計(jì)1個(gè)衍射斑點(diǎn)強(qiáng)度只需數(shù)秒時(shí)間. MR2衍射花樣的1個(gè)明顯特征是(1,-2)斑點(diǎn)強(qiáng)度明顯強(qiáng)于(0,-2)的，只有OQ組合才與此相符.

圖24 MR2結(jié)構(gòu)分析示意圖

3 結(jié)束語(yǔ)

本次競(jìng)賽試題借助不同類型的光柵衍射，相當(dāng)完整地展示了晶體學(xué)的主要物理內(nèi)容，非常難得. 試題中安排的任務(wù)也能比較全面地考察選手的學(xué)習(xí)能力、洞察能力和動(dòng)手能力. 但試題的任務(wù)量確實(shí)太大，要全部完成幾乎不可能. 中國(guó)隊(duì)的張意飛得14.94分已經(jīng)非常了不起.