2021年八省市聯(lián)考第17題的探究與推廣

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

求數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容.高考對(duì)數(shù)列的考查主要有兩種形式,一種是直接利用公式或者構(gòu)造法求等差、等比的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,重點(diǎn)考查公式法、構(gòu)造法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等知識(shí).事實(shí)上,很多時(shí)候除了常用的數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和方法外,還可以通過(guò)構(gòu)造常數(shù)列去解決數(shù)列求通項(xiàng)求和問(wèn)題.非零常數(shù)列身兼等差數(shù)列和等比數(shù)列兩大特性,在一些數(shù)列求通項(xiàng)求和問(wèn)題中,若能適時(shí)地構(gòu)造常數(shù)列,則可避免復(fù)雜的累加、累乘或迭代等過(guò)程,從而使數(shù)列求通項(xiàng)求和一步到位,達(dá)到事半功倍的效果.

下面以2021年八省市聯(lián)考第17 題為例,通過(guò)構(gòu)造常數(shù)法的解答與分析,并進(jìn)行探究與推廣,總結(jié)出構(gòu)造常數(shù)法巧解數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和的幾種題型.

一、試題展示與解法探究

題目(2021年八省市聯(lián)考第17 題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明: 數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

(2)若a1=求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析該題主要考查了等比數(shù)列的判定,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式等知識(shí),考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).第(1)問(wèn)通過(guò)對(duì)遞推關(guān)系式的變形不難證明;第(2)問(wèn)在第(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上展開(kāi),通常解法為構(gòu)造法.下面構(gòu)造常數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析(1)注意所證數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征暗示了證明方法.將an+2= 2an+1+3an兩邊都加上an+1得an+2+an+1=3(an+1+an), 因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù), 所以數(shù)列{an+an+1}是首項(xiàng)為a1+a2, 公比為3 的等比數(shù)列.以下第二問(wèn)的兩種解法.

解法1以第1 問(wèn)所得結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)行解答.

解法2由an+2= 2an+1+3an, 設(shè)an+2-μan+1=ν(an+1-μan),即an+2= (μ+ν)an+1-μνan,與已知等式比較得

當(dāng)μ=-1 且ν= 3 時(shí),an+2+an+1= 3(an+1+an),下同解法1,此處從略.

當(dāng)μ= 3 且ν=-1 時(shí),an+2-3an+1=-(an+1-3an).若a1=當(dāng)n= 1 時(shí),an+2-3an+1=a2-3a1== 0, 所以數(shù)列{an+1-3an}是恒為零的常數(shù)數(shù)列,所以an+1= 3an,故數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=公比為3 的等比數(shù)列,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

二、教材尋根

教材題目(新課標(biāo)人教版A 版《數(shù)學(xué)(必修5)》第二章復(fù)習(xí)參考題B 組第6 題) 已知數(shù)列{an}中,a1= 5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作研究,能否寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式?

解(構(gòu)造法)由an=2an-1+3an-2,得an-3an-1=-(an-1-3an-2),而a2-3a1=-13,故數(shù)列{an+1-3an}是公比為-1,首項(xiàng)為-13 的等比數(shù)列,所以

又由an=2an-1+3an-2,得an+an-1=3(an-1+an-2),而a2+a1=7,故數(shù)列{an+1+an}是公比為3,首項(xiàng)為7 的等比數(shù)列,所以

由①、②兩式消去an+1, 得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=

三、提煉推廣

(一)構(gòu)造常數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式

在數(shù)列{an}中,若an+1=an,n ∈N*,則稱數(shù)列{an}為常數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=a1.

1 構(gòu)造常數(shù)列推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式

在等差數(shù)列{an}中,an -an-1=d,(n≥2,n ∈N?),則an-nd=an-1-(n-1)d,所以數(shù)列{an-nd}是一個(gè)常數(shù)列,即an-nd=a1-d,故an=a1+(n-1)d.用此方法還容易得到an-nd=am-md,即an=am+(n-m)d.

2 構(gòu)造常數(shù)列推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式

在等比數(shù)列{an}中,=q, (n≥2,n ∈N?).則所以數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列,即故an=a1qn-1.用此方法還容易得到可得an=amqn-m.

評(píng)析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是數(shù)列教學(xué)的難點(diǎn),教材分別采用累加法、累乘法推導(dǎo)其通項(xiàng)公式,對(duì)新學(xué)數(shù)列知識(shí)的同學(xué)要求較高.如果巧借常數(shù)列推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,似乎更好理解,而且給人耳目一新的感覺(jué).

3 構(gòu)造常數(shù)列巧求遞推數(shù)列的通項(xiàng)

題型一an+1=pan+q,(p、q都是非零常數(shù),p/=1)

定理1若an+1=pan+q(其中p、q都是非零常數(shù),p /= 1), 則an+1- xpn - y=p(an-xpn-1-y), 數(shù)列{an-x·pn-1-y}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列, 且an=x·pn-1+y,其中x=

證明an+1=pan+q ?an+1-xpn=pan-xpn+q ?an+1-xpn -y=p(an-xpn-1-y)+q+y(p-1)(x,y是待定的常數(shù)).

設(shè)q+y(p -1) = 0, 且a1- x - y= 0, 則{an-x·pn-1-y}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=x·pn-1+y.由于q+y(p-1) = 0,所以y=因?yàn)閍1-x-y=0,所以x=a1-所以定理1 得證.

例1(2014年高考全國(guó)ⅠⅠ卷) 數(shù)列{an}中,a1= 1,an+1=3an+1,求{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1= 3an+1, 所以an+1-即an+1-因?yàn)閍1= 1, 所以= 0, 所以數(shù)列是各項(xiàng)均為零的常數(shù)列, 所以=0,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

注釋由定理1, 知a1= 1,p= 3,q= 1,x=數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=x·pn-1+y=

例2(2006年高考江西卷理科節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足:a1=(n ∈N*).求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1=所以an ＞0,因?yàn)樗詳?shù)列是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

注釋把看成an, 則就看成a1,就看成an+1.比較,an+1=pan+q可見(jiàn)由定理1 知

題型二an+1=an+rn-1,(r ＞0 且r /=1).

定理2若an+1=an+rn-1(r ＞0 且r /= 1), 則an+1-x·rn-y=an-x·rn-1-y,{an-x·rn-1-y}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,an=x·rn-1+y,其中x=

證明an+1=an+rn-1?an+1-x·rn-y=anx·rn-1-y,其中x,y是待定的常數(shù),且滿足a1-x-y=0,則數(shù)列{an-x·rn-1-y}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列, 所以an=x·rn-1+y.因?yàn)閍n+1-x·rn-y=an-x·rn-1-y ?an+1=an+x(r -1)·rn-1?an+1=an+rn-1, 所以x(r -1) = 1,x=因?yàn)閍1- x - y= 0, 所以y=a1-定理2 得證.

例3(2008年高考天津理科節(jié)選) 在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(q /=0).

(Ⅰ)設(shè)bn=an+1-an(n ∈N*),證明:{bn}是等比數(shù)列;(ⅠⅠ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解(Ⅰ){bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,過(guò)程從略.

(ⅠⅠ)an+1-an=qn-1,(1)當(dāng)q= 1 時(shí)an+1-an= 1.因 為a1= 1, 所 以an= 1 + (n -1)·1 =n.(2) 當(dāng)q /= 1 時(shí), 因an+1-an=qn-1, 所以an+1=an+qn-1,an+1-因?yàn)閍1= 1,所以數(shù)列是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,an=綜上所述,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

注釋對(duì)比an+1=an+qn-1與an+1=an+rn-1可得r=q.因?yàn)閍1= 1, 所以由定理2 知:x=這種方法回避了疊加法,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

題型三an+1=pan+rn+1,其中p,r都是非零常數(shù).

定理3若an+1=pan+rn+1(p,r都是非零常數(shù),p /= 1,p /=r,r ＞0,r /= 1), 則an+1-x·pn -y ·rn+1=p(an-x·pn-1-y·rn),數(shù)列{an-x·pn-1-y·rn}是各 項(xiàng) 都 為 零 的 常 數(shù) 列,an=x · pn-1+y · rn, 其 中

證明an+1=pan+rn+1,所以an+1-x·pn-y·rn+1=p(an-x·pn-1-y·rn), 其中, 令a1- x - yr= 0, 則{an-x·pn-1-y·rn}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列.所以an=x · pn-1+y · rn, 因?yàn)閍n+1- x · pn - y · rn+1=p(an-x·pn-1-y·rn),?an+1=pan+y(r-p)·rn ?an+1=pan+rn+1,所以y(r-p) =r,即取y=由a1-x-yr=0,所以x=a1-定理3 得證.

例4(2006年高考全國(guó)Ⅰ理科節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=(n ∈N*).求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)镾n=所以a1=a1=2,因?yàn)镾n=所以所以Sn+1-Sn=

所 以an+1= 4an+ 2n+1,an+1-4·4n -(-1)·2n+1=4[an-4·4n-1-(-1)·2n], 所以an+1-4n+1+2n+1=4(an-4n+2n), 因?yàn)閍1= 2, 所以a1-4+2 = 0, 數(shù)列{an-4n+2n}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-2n.

注釋對(duì)比an+1= 4an-2n+1與an+1=pan+rn+1可見(jiàn):p= 4,r= 2.因?yàn)閍1= 2, 所以由定理3 知:

題型四f(n)an+1=g(n)an,其中f(n)、g(n)都是關(guān)于n的表達(dá)式,f(n)·g(n)/=0.

思路先根據(jù)a1,a2,a3的值猜想出an, 再對(duì)f(n)an+1=g(n)an直接進(jìn)行恒等變形.

例5(2018年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第17 題節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足a1= 1,nan+1= 2(n+1)an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閚an+1= 2(n+ 1)an, 所以nan+1-n(n-1)2n= 2(n+ 1)an - n(n-1)2n, 所以n[an+1-(n-1)2n]=2(n+1)[an-n2n-1],因?yàn)閍1=1,所以a1-1×21-1= 0,所以數(shù)列{an-n2n-1}是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2n-1.

例6(2012年高考全國(guó)卷文科節(jié)選)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,(n ∈N*),a1= 1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)镾n=, 所以Sn+1=所以an+1=,nan+1= (n+2)an, 所以因?yàn)閍1= 1, 所以a1-是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

這種方法回避了迭乘法,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

題型五an+1=λan+f(n),其中λ/=0.

對(duì)于遞推關(guān)系式為an+1=λan+f(n)(λ /= 0)的數(shù)列,求其通項(xiàng)公式時(shí),我們可以構(gòu)造常數(shù)列{bn},通過(guò)通項(xiàng)bn求得通項(xiàng)an.

(1)當(dāng)λ=1,f(n)為常數(shù)時(shí),數(shù)列{an}為等差數(shù)列,利用公式求通項(xiàng).

(2) 當(dāng)λ= 1,f(n) =pn+q(p,q為常數(shù),p /= 0) 或f(n) =pqn+r(p,q,r為常數(shù),p /= 0,q /= 1),可利用累加法求通項(xiàng).

(3) 當(dāng)λ /= 1,f(n) =pn+q(p,q為 常 數(shù)) 時(shí), 構(gòu)造常數(shù)列{bn}, 設(shè)bn=由bn+1=bn及an+1=λan+f(n), 得解得,即再由首項(xiàng)a1得通項(xiàng)bn,整理得通項(xiàng)an.

(4)當(dāng)λ/=1,f(n)=pqn+r(為常數(shù),p/=0,q /=1)時(shí):

①若λ=q,遞推關(guān)系式整理為

則

轉(zhuǎn)化為公差為p的等差數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題;

②若λ/=q,構(gòu)造常數(shù)列{bn},設(shè)bn=由bn+1=bn及an+1=λan+f(n),得

再由首項(xiàng)a1得通項(xiàng)bn,整理得通項(xiàng)an.

例7(2021年八省市聯(lián)考第17 題) 用構(gòu)造常數(shù)列法.由(1) 知數(shù)列{an+an+1}是首項(xiàng)為a1+a2, 公比為3 的等比數(shù)列.則有an+an+1= 2·3n-1.構(gòu)造常數(shù)列{bn},滿足bn=即an+1+an=-4x3n-2y,又an+an+1=23n-1, 所以所以bn=

例8(2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理科第17 題節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解構(gòu)造常數(shù)列{bn},滿足bn=于是即an+1= 3an+2xn-x+2y,又an+1=3an-4n,則解得所以bn=所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.

例9(2013年高考廣東卷理科節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,

(Ⅰ)求a2的值;(ⅠⅠ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解(Ⅰ)a2=4,過(guò)程從略.(ⅠⅠ)因?yàn)樗?Sn=nan+1-當(dāng)n≥2 時(shí),2Sn-1=(n-1)an-所以2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an -所以2an=nan+1-(n-1)an -n(n+1),所以nan+1=(n+ 1)an+n(n+ 1), 所以n[an+1-(n+1)2]= (n+1)(an-n2), 所以an=n2(n≥2), 因?yàn)閍2= 4, 所以a2-22= 0,數(shù)列{an-n2}(n≥2)是各項(xiàng)都為零的常數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

因?yàn)閍1=1 也適合(1)式,所以an=n2(n ∈N*).

例10(2014年高考廣東卷理科節(jié)選) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 滿足:Sn= 2nan+1-3n2-4n(n ∈N*),S3=15.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解容易得a1=3,a2=5,a3=7.因?yàn)镾n=2nan+1-3n2-4n,所以Sn+1=2(n+1)an+2-3(n+1)2-4(n+1),Sn+1-Sn= 2(n+1)an+2-2nan+1-3(n+1)2+3n2-4(n+1)+4n,an+1=2(n+1)an+2-2nan+1-6n-7,(2n+2)an+2=(2n+1)an+1+6n+7,(2n+2)[an+2-(2n+5)]=(2n+ 1)[an+1-(2n+3)].因?yàn)閍2= 5, 所以n≥2 時(shí),a2-5=0,數(shù)列{an-(2n+ 1)}(n≥2)是各項(xiàng)都為0 的常數(shù)列,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

因?yàn)閍1=3 也適合(2)式,所以an=2n+1(n ∈N*).

(二)構(gòu)造常數(shù)列巧求數(shù)列的前n 項(xiàng)和

1 等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,其中公比q /=1.

由an=a1qn-1=(qn-qn-1), 可得Sn=(qn-qn-1), 即Sn -=Sn-1-故數(shù)列為常數(shù)列, 因?yàn)镾n -所以Sn=

評(píng)注等比數(shù)列的求和公式我們一般用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo),運(yùn)用構(gòu)造常數(shù)列來(lái)求和則極大的減小了這類求和的運(yùn)算復(fù)雜性.

2 利用構(gòu)造常數(shù)列巧求形如an = (kn + b)qn(k /=0,q /=0,1)的數(shù)列的前n 項(xiàng)和.

一般地, 除了用常規(guī)的“錯(cuò)位相減法”求其前n項(xiàng)和以外,還可以用如下方法轉(zhuǎn)化為常數(shù)列: 由an=Sn-Sn-1,得Sn=Sn-1+(kn+b)qn,令Sn+(xn+y)qn=Sn-1+[x(n-1)+y]qn-1,則Sn=Sn-1+-y]qn,比較系數(shù),得-y=b,聯(lián)立解得:x=故{Sn+(xn+y)qn}為常數(shù)列, 進(jìn)而求出Sn.

例11(2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理科第17 題節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1= 3,an+1= 3an -4n.求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

解由題知n≥2 時(shí),Sn - Sn-1= (2n+ 1)2n, 設(shè)Sn -(xn+y)2n=Sn-1-(x(n -1) +y)2n-1, 整理得Sn-Sn-1=(xn+x+y)2n-1,則xn+x+y=2(2n+1),得所以Sn-(4n-2)2n=Sn-1-[4(n-1)-2]2n-1,因此數(shù)列{Sn-(4n-2)2n}常數(shù)列,又S1-(4-2)×2=2,所以Sn-(4n-2)2n=2,故Sn=(2n-1)2n+1+2.

例12(2018年高考浙江卷節(jié)選)已知等比數(shù)列{an}的公比q ＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1= 1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

(1)求q的值;(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

解(1)q=2.過(guò)程略.

(2) 設(shè)cn= (bn+1-bn)an, 數(shù) 列{cn}前n項(xiàng)和Sn,由cn=解得cn= 4n-1,由(1)知an= 2n-1, 所以bn+1- bn= (4n -1)·設(shè)bn+1-(kn+b)·則bn+1- bn=與式子bn+1- bn= (4n -比較, 得解得所以bn+1+(8n+14)=bn+[8(n-1)+14]即數(shù)列是常數(shù)列, 所以bn+ [8(n -1) + 14]=b1+ 14 = 15, 故bn=

例13(2018年高考天津卷理科)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和Sn,{bn}是首項(xiàng)為2 的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和Tn.

解析(1)bn=2n,an=3n-2.過(guò)程略.

(2) 由題知n≥2 時(shí),Tn - Tn-1= (3n-1)4n, 設(shè)Tn -(xn+y)4n=Tn-1-(x(n-1)+y)4n-1, 整理得Tn - Tn-1= (3xn+x+3y)4n-1, 則3xn+x+ 3y=4(3n-1),得3x=12,x+3y=-4,解得x=4,y=所以Tn-,因此數(shù)列為常數(shù)列,又所以Tn -故

(三)利用構(gòu)造常數(shù)列巧求“裂項(xiàng)相消法”的數(shù)列的前n項(xiàng)和.

一般地,除了用常規(guī)的“裂項(xiàng)相消法求和”求其前n項(xiàng)和以外,還可以用如下方法轉(zhuǎn)化為常數(shù)列: 若數(shù)列{an}為每一項(xiàng)都不為零的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列bn=則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

證明設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立.若d /= 0,因?yàn)閯tTn -Tn-1=bn=即Tn -Tn-1=所以Tn+所以數(shù)列為常數(shù)列,所以

所以

例14(2017年高考全國(guó)Ⅲ卷文科) 數(shù)列{an}滿足a1+3a2+···+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

解(1)an=過(guò)程略.(2) 設(shè)bn=則bn=設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n≥2,bn=Sn-Sn-1=即所以數(shù)列是常數(shù)列, 又S1=所以

例15(2016年高考全國(guó)卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bn=求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解(1)an=2n-1,過(guò)程略.

(2)則Tn=Tn-1+所以Tn -=Tn-1-故數(shù)列為常數(shù)列,所以

例16(2014年高考山東卷理科)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)令bn=求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解(1)an=2n-1,過(guò)程略.

(2)

四、教學(xué)建議

通過(guò)構(gòu)造常數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)與求和,給我們提供了解決數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和問(wèn)題的另外一種途徑,值得指出的是,在實(shí)際解題中,我們應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況或自己對(duì)方法的掌握程度,去選擇最佳的求和方法,不能一味地追求變常數(shù)列,這樣可能反而降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率,減弱了數(shù)學(xué)解題的多樣性和對(duì)解題方法的掌握.

對(duì)照近幾年的全國(guó)卷高考試題,可以發(fā)現(xiàn)幾乎每一道都可以從教材中找尋到“源頭”, 它們或是課本習(xí)題的簡(jiǎn)單變式,或是重組,又或是拓展等,清楚地呈現(xiàn)出“題在書(shū)外,根在書(shū)中”.課本上的例習(xí)題是對(duì)基本知識(shí)的考查,是教材中每一個(gè)概念、每一個(gè)公式、每一個(gè)定理的檢驗(yàn)依據(jù).通過(guò)對(duì)課本例題、習(xí)題的變形、改編和拓展,揭示例題、習(xí)題與高考題的聯(lián)系,探尋高考題的解題方法和規(guī)律.