對(duì)一道預(yù)賽試題的思考與探究

福建省周寧縣第一中學(xué)(355400) 葉 樺

題目(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽第12 題)已知F1,F2分別為橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓C上, 且ΔF1PF2的垂心為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)A為橢圓C左頂點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn),記直線AD,AE的斜率k1,k2,若k1+k2=求直線l的方程.

圖1

本題的答案是: (1)橢圓C的方程為直線l的方程為y= 2(x-1).本題(2)的內(nèi)涵豐富,意境深邃,值得引導(dǎo)學(xué)生深入思考與探究.

1 由特殊到一般的思考與探究

本題的(2) 的關(guān)鍵是在“k1+k2=的條件下求出直線l的斜率k= 2.我們不禁要問: 對(duì)于一般的橢圓=1(a ＞b ＞0),若k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),那么,直線l的斜率k是否為某個(gè)定值?

經(jīng)探究,可得

性質(zhì)1.1設(shè)A為橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn),過焦點(diǎn)F(c,0)的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn),若直線AD,AE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線l的斜率k=(其中e為橢圓C的離心率).

證明設(shè)直線l的方程為x=hy+c,由λ/=0 知h/=0,直線l的斜率將直線l的方程與橢圓C方程聯(lián)立,得

設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),據(jù)韋達(dá)定理,

且有x1=hy1+c,x2=hy2+c.又由A(-a,0),得

性質(zhì)2.1設(shè)A為雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)的左頂點(diǎn),過焦點(diǎn)F(c,0)的直線l交雙曲線C于D,E兩點(diǎn),若直線AD,AE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線l的斜率k=(其中e為雙曲線C的離心率).

性質(zhì)3.1設(shè)O為拋物線C:y2= 2px(p ＞0)的頂點(diǎn),過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于D,E兩點(diǎn),若直線OD,OE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線l的斜率k=

下面只證明性質(zhì)3.1,性質(zhì)2.1 可仿照性質(zhì)1.1 的證明證之.

證明設(shè)直線l的方程為x=hy+由λ/=0 知h/=0,直線l的斜率k=將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立,得y2= 2p(hy+整理得y2-2phy-p2= 0.設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2)據(jù)韋達(dá)定理,y1+y2=2ph,y1y2=-p2,且有x1=hy1+則

由此可得k=證畢.

2 由焦點(diǎn)到“類焦點(diǎn)”的思考與探究

以上性質(zhì)揭示了圓錐曲線焦點(diǎn)弦所在直線的斜率,該弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)連線的斜率的內(nèi)在聯(lián)系,若將焦點(diǎn)F換為定點(diǎn)(m,0),那么,會(huì)有什么相應(yīng)的結(jié)論? 經(jīng)探究,有

性質(zhì)1.2設(shè)A為橢圓=1(a ＞b ＞0)的左頂點(diǎn),過定點(diǎn)(m,0)(0＜m ＜a)的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn),若直線AD,AE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線l的斜率k=(其中e,c分別為橢圓C的離心率,半焦距).

證明設(shè)直線l的方程為x=hy+m,由λ/=0 知h/=0,直線l的斜率k=以“m”替換性質(zhì)1.1 證明中的“c”,可得

類似地,有

性質(zhì)2.2設(shè)A為雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)的左頂點(diǎn), 過定點(diǎn)(m,0)(m ＞a) 的直線l交雙曲線C于D,E兩點(diǎn),若直線AD,AE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)), 則直線l的斜率k=(其中e,c分別為雙曲線C的離心率,半焦距).

性質(zhì)3.2設(shè)O為拋物線C:y2= 2px(p ＞0)的頂點(diǎn),過定點(diǎn)(m,0)(m ＞0)的直線l交拋物線C于D,E兩點(diǎn),若直線OD,OE的斜率k1,k2滿足k1+k2=λ(λ為非零常數(shù)),則直線l的斜率k=

下面只證明性質(zhì)3.2,性質(zhì)2.2 可仿照性質(zhì)1.2 的證明證之.

特別地,當(dāng)m=c,即定點(diǎn)(m,0)為焦點(diǎn)F(c,0)時(shí),性質(zhì)1.2,2.2 分別為性質(zhì)1.1,2.1;當(dāng)m=即定點(diǎn)(m,0)為焦點(diǎn)時(shí),性質(zhì)3.2 即為性質(zhì)3.1.

3 去掉兩個(gè)條件后的思考與探究

若去掉性質(zhì)1.2, 2.2, 3.2 中的“過定點(diǎn)(m,0)”及“k1+k2=λ”這兩個(gè)條件, 那么直線l的斜率k與直線AD,AE(OD,OE)的斜率k1,k2是否有某種內(nèi)在聯(lián)系?

經(jīng)探究,有

性質(zhì)1.2 的推論設(shè)A為橢圓C:= 1(a ＞b ＞0) 的左頂點(diǎn), 不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn), 若直線AD,AE,l的斜率k1,k2,k均存在且非零, 則(其中e為橢圓C的離心率).

證明由性質(zhì)1.2 的證明過程可得

2.4.1 HPLC指紋圖譜的生成 取5批樣品各適量，按“2.2.3”項(xiàng)下方法制備供試品溶液，再按“2.1”項(xiàng)下色譜條件進(jìn)樣測(cè)定，采用《中藥色譜指紋圖譜相似度評(píng)價(jià)系統(tǒng)（2004 A版）》對(duì)5批樣品的HPLC圖譜進(jìn)行分析，得HPLC指紋圖譜，詳見圖1、圖2。

則

由此可解得m=代入性質(zhì)1.2 的結(jié)論:得

則

證畢.

類似地,有

性質(zhì)2.2 的推論設(shè)A為雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0)的左頂點(diǎn),不過點(diǎn)A的直線l交雙曲線C于D,E兩點(diǎn), 若直線AD,AE,l的斜率k1,k2,k均存在且非零, 則(其中e為雙曲線C的離心率).

性質(zhì)3.2 的推論設(shè)O為拋物線C:y2=2px(p ＞0)的頂點(diǎn),不過原點(diǎn)O的直線l交拋物線C于D,E兩點(diǎn),若直線OD,OE,l的斜率k1,k2,k均存在且非零,則

下面只證明性質(zhì)3.2 的推論,性質(zhì)2.2 的推論可仿照性質(zhì)1.2 的推論的證明證之.

證明由性質(zhì)3.2 的證明過程可得

則m=代入性質(zhì)3.2 的結(jié)論:k=可得證畢.

由上述三個(gè)推論,可得圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì):

統(tǒng)一性質(zhì)設(shè)A為標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線C的左頂點(diǎn)(拋物線的頂點(diǎn)), 不過點(diǎn)A的直線l交圓錐曲線C于D,E兩點(diǎn), 若直線l,AD,AE的斜率k,k1,k2均存在且非零, 則(其中e為圓錐曲線c的離心率).

至此,我們完成了對(duì)上述預(yù)賽試題的思考與探究.至于橢圓,雙曲線右頂點(diǎn)的情形,這里不再贅述.

4 性質(zhì)的應(yīng)用舉例

例1(2020年南昌市一模理科第20 題) 已知圓F1:(x+1)2+y2=r2(1 ≤r≤3).圓F2:(x-1)2+y2=(4-r)2.

(1)證明圓F1與圓F2有公共點(diǎn),并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程;

(2)已知點(diǎn)Q(m,0)(m ＜0), 過點(diǎn)F2斜率為k(k /= 0)的直線與軌跡E相交于M,N兩點(diǎn),記直線QM,QN的斜率分別為k1,k2,是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

簡析(1)軌跡E的方程為= 1(過程略); (2)由a2= 4,b2= 3, 得e=據(jù)性質(zhì)1.1, 得k(k1+k2) =kλ= 2(e-1) =-1) =-1,即存在橢圓E的左頂點(diǎn)Q(-2,0)(m=-2),使得k(k1+k2)為定值-1.

例2(2012年第3 屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽青年組個(gè)人賽第4 輪第13 題)經(jīng)過拋物線y2= 2px(p ＞0)的頂點(diǎn)O作兩條弦OA和OB,若OA、OB的斜率k1,k2恰好為方程x2+4x-2=0 的兩個(gè)根,求直線AB的斜率k.

簡析由條件得k1+k2=-4,k1k2=-2,據(jù)性質(zhì)3.2的推論,