含參DC復(fù)合優(yōu)化問題值函數(shù)的Mordukhovich次微分*

肖程鳳,方東輝

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

約束優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析在力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和自動控制等領(lǐng)域有重要作用.許多學(xué)者研究了經(jīng)典凸或DC(2個凸函數(shù)的差)優(yōu)化問題的穩(wěn)定性,得到了可行集算子、最優(yōu)解算子和最優(yōu)值函數(shù)等的閉性、上/下半連續(xù)性、Lipschitz連續(xù)性等性質(zhì)[1-6].

inf {(f°φ)(x,y)-g(x,y)}s.t.y∈F(x)∩G(x),

(1)

其中幾何約束為

F(x)∶={y∈Y:(x,y)∈C},

(2)

不等式約束為

G(x)∶={y∈Y:ft(x,y)≤0,t∈T}.

(3)

注意到,盡管函數(shù)f,φ與函數(shù)g,ft都具有凸性,但無法保證問題(1)的最優(yōu)值函數(shù)

(4)

是凸函數(shù),且參數(shù)的存在使得值函數(shù)μ(x)的計算非常復(fù)雜,因此導(dǎo)致關(guān)于μ(x)的研究比較困難.當(dāng)φ為單位算子時,方東輝等[5]在函數(shù)不一定下半連續(xù)、集合不一定是閉集的情況下,引入新的約束規(guī)范條件,得到了值函數(shù)的Mordukhovich次微分的上估計式.當(dāng)φ為真K-凸映射時,肖程鳳等[7]引入次微分類約束規(guī)范條件,得到了問題(1)的值函數(shù)的Fréchet次微分上估計式.筆者擬利用函數(shù)廣義次微分的性質(zhì),引入約束規(guī)范條件,建立值函數(shù)μ(x)的Mordukhovich次微分的上估計式.

2 記號與定義

凸子集D在點z0∈D的法錐定義為

N(z0;D)∶={x*∈X*:x*,z-z0≤0,?z∈D}.

一般地,f∶=f(x,y)在點(x,y)相應(yīng)的偏次微分分別表示為?x(x,y)和?y(x,y).設(shè)(x,y)∈Ω?X×Y,則法錐N((x,y);Ω)相應(yīng)的投影分別為

NX((x,y);Ω)∶={x*∈X*:?y*∈Y*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)},

NY((x,y);Ω)∶={y*∈Y*:?x*∈X*s.t.(x*,y*)∈N((x,y);Ω)}.

domF∶={x∈X:F(x)≠?},

gphF∶={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}.

φ(tx1+(1-t)x2)≤Ktφ(x1)+(1-t)φ(x2)，

則稱函數(shù)φ是K-凸函數(shù).設(shè)φ:X→R∪{±∞}是實值延拓函數(shù),x0∈domφ且滿足|φ(x0)|<+∞.由文獻(xiàn)[9],定義φ在點x0的ε次微分為

3 值函數(shù)的Mordukhovich次微分估計

設(shè)

M(x)∶={y∈F(x)∩G(x):μ(x)=(f°φ)(x,y)-g(x,y)}.

若無特殊說明,均假設(shè)dom (f°φ-g)∩A與domM非空.用T(x,y)表示點(x,y)∈X×Y的活動指標(biāo)集,即T(x,y)∶={t∈T:ft(x,y)=0}.定義

任取(x0,y0)∈gphM,y*∈Y*,定義KKT乘子集為

為了研究值函數(shù)的Mordukhovich次微分的上估計式,引入以下約束規(guī)范條件：

定義1(ⅰ)設(shè)點(x0,y0)∈A,若

則稱系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(BCQ)條件[10].

(ⅱ)設(shè)點(x0,y0)∈A∩φ-1(domf),若

則稱系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(CBCQ)條件[8].

引理1[8]假設(shè)存在點(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù),或存在點(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù)且φ在(x0,y0)處連續(xù).若系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在該點滿足(CBCQ)條件.

(5)

(6)

2εk(‖x-xk‖+‖y-yk‖),

從而對于任意的點(x,y)∈A∩((xk,yk)+ηkB),有

f(φ(xk,yk))+2εk(‖x-xk‖+‖y-yk‖),

因此

又因為f°φ+δA是X×Y上的凸函數(shù),且系統(tǒng){f,φ,δC;ft:t∈T}在(x0,y0)滿足(CBCQ)條件,所以

于是由KKT乘子集Λ(x0,y0,y*)的定義可知(5)式成立.證畢.

由定理1可得如下推論：

推論1設(shè)算子M(·)在點(x0,y0)∈gphM是μ-內(nèi)半連續(xù)的,函數(shù)g在點(x0,y0)是內(nèi)次微分穩(wěn)定的,且系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則當(dāng)

推論2假設(shè)存在點(x0,y0)∈φ-1(domf)∩intA,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù).若算子M(·)在點(x0,y0)∈gphM是μ-內(nèi)半連續(xù)的,函數(shù)g在點(x0,y0)是內(nèi)次微分穩(wěn)定的,且系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則對于任意的點

(5)式成立.

推論3假設(shè)存在點(x0,y0)∈φ-1(domf)∩A,使得f在φ(x0,y0)處連續(xù)且φ在(x0,y0)處連續(xù).若算子M(·)在點(x0,y0)∈gphM是μ-內(nèi)半連續(xù)的,函數(shù)g在點(x0,y0)是內(nèi)次微分穩(wěn)定的,且系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0,y0)滿足(BCQ)條件,則對于任意的點

(5)式成立.

注1令φ為單位算子,則(4)式可以轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[5]中的值函數(shù),即

此時,本研究中的(CBCQ)條件轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[5]中的(BCQ)f條件,即

由此可知,本研究中的定理1推廣了文獻(xiàn)[5]中的相關(guān)結(jié)論.

4 DC復(fù)合錐規(guī)劃值函數(shù)的Mordukhovich次微分估計

inf {(f°φ)(x,y)-g(x,y)}

s.t.y∈F(x)∩G(x),

(7)

其中幾何約束為

F(x)∶={y∈Y:(x,y)∈C},

錐約束為

G(x)∶={y∈Y:h(x,y)∈-S}.

此時仍用A表示解集,

A∶={(x,y)∈C:h(x,y)∈-S}={(x,y)∈C:(λh)(x,y)≤0,?λ∈S⊕}.

用Λ表示關(guān)于點(x0,y0)∈gphM和y*∈Y*的KKT乘子集,即

于是由定理1可直接得到以下結(jié)論：

定理2若算子M(·)在點(x0,y0)∈gphM是μ-內(nèi)半連續(xù)的,函數(shù)g在點(x0,y0)是內(nèi)次微分穩(wěn)定的,且系統(tǒng){f,φ,δC;h}在點(x0,y0)滿足(CBCQ)條件,即

由此獲得了DC復(fù)合錐規(guī)劃問題(7)的值函數(shù)的Mordukhovich次微分上估計式.