基于多元化視角研究高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路

福建省三明市將樂縣第一中學(xué) 朱小娟

當(dāng)學(xué)生遇到具有難度的函數(shù)問題時(shí)，多元化視角是其尋找函數(shù)解題思路的重要方法，因而培養(yǎng)學(xué)生的多元解題視角是筆者研究的重點(diǎn)和方向。為此，筆者從解題多元化的意義、原則以及應(yīng)用展開分析與探究，以期給予學(xué)生正確、高效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路。

一、基于多元化視角的數(shù)學(xué)函數(shù)解題意義

（一）利于開發(fā)學(xué)生大腦思維

多元視角要求學(xué)生從多個角度去分析函數(shù)問題，從分析中開發(fā)學(xué)生的大腦思維，使其懂得哪些思路是可取的、哪些思路是不可取的，這些都有利于鍛煉學(xué)生的大腦思維，使其產(chǎn)生創(chuàng)新的函數(shù)解題思維能力。因此，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中，引導(dǎo)學(xué)生從多元化視角來解答函數(shù)題目，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力開發(fā)的有效途徑。

（二）利于學(xué)生全面看待問題

解決數(shù)學(xué)函數(shù)題目的方法不止一種，但往往很多學(xué)生習(xí)慣于一種解題思路，不會主動去創(chuàng)新解題的想法。而通過加大對學(xué)生多元化解題思路的培養(yǎng)，能夠不斷創(chuàng)新和發(fā)散學(xué)生的解題思路，促使學(xué)生更為全面地看待問題、解決問題，從而幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)函數(shù)的解題效率。

（三）利于學(xué)生整體素質(zhì)提升

探索不同的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路，能夠讓學(xué)生不斷去探尋解題路徑，且積極學(xué)習(xí)其他有效的解題方法。而在此過程中，學(xué)生也容易養(yǎng)成積極向上、勇于攻克學(xué)習(xí)難題的信心與動力，這對提升學(xué)生的整體學(xué)習(xí)素質(zhì)有著非常重要的意義與作用。

二、基于多元化視角的數(shù)學(xué)函數(shù)解題原則

（一）針對性

即采用的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法能夠針對性地解答函數(shù)問題，且有利于學(xué)生總結(jié)和歸納函數(shù)問題，從而以具有針對性的函數(shù)解題方法來提升解題的效率和質(zhì)量。在此過程中，學(xué)生既要分析好數(shù)學(xué)函數(shù)題目，又要將其中的數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)清晰地羅列在大腦之中，從而為函數(shù)解題方法的找尋提供針對性的依據(jù)。

（二）便捷性

即以便利和快捷的解題思維方式來解答數(shù)學(xué)函數(shù)題目，才是數(shù)學(xué)函數(shù)解題所要達(dá)到的最終目的。如若學(xué)生只會追求解題的復(fù)雜性，而不論解題的時(shí)間，則會造成解題煩瑣，浪費(fèi)過多的解題精力。因此，在尋找多元化函數(shù)解題路徑中，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會遵循便捷性的思考原則。

（三）高效性

即能夠幫助學(xué)生短時(shí)間內(nèi)解答函數(shù)題目，且能夠有效提升解題準(zhǔn)確率的解題方法。這就需要學(xué)生擁有極大的數(shù)學(xué)知識儲備，學(xué)會從多元角度去探究數(shù)學(xué)函數(shù)與其他高中函數(shù)知識之間的聯(lián)系，從而搭建知識的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而在解答函數(shù)問題中找到高效的解題路徑。

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維解答函數(shù)問題

相較于初中函數(shù)，高中函數(shù)問題更難、更深，且具有很強(qiáng)的抽象性。那么在高中函數(shù)問題解答之中，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會從數(shù)形結(jié)合思維角度，去分析函數(shù)圖象與數(shù)量存在哪些關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)而從中探尋出高效、便捷的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法。

比如，在下面這道高中函數(shù)問題中，就可以利用數(shù)形結(jié)合思維來解答問題：已知方程｜x2-4x+3|=m 有4 個根，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。

解題分析：對于這道函數(shù)問題，涉及方程根的知識，也涉及根的個數(shù)問題，而此時(shí)學(xué)生直接解答方程問題，不僅會浪費(fèi)解題的時(shí)間，也會造成解題錯誤率的增加。此時(shí)，學(xué)生可以將此函數(shù)方程問題轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形圖象，以直觀圖形圖象來找出數(shù)學(xué)問題的解題思路，這樣更能提升本次解題的效率。那么學(xué)生可以基于數(shù)形結(jié)合思維角度，去挖掘數(shù)與形之間的關(guān)系，從而構(gòu)建函數(shù)解題的知識橋梁。

解題過程：根據(jù)方程｜x2-4x+3|=m，可以作出如圖1 所示拋物線。

圖1

從函數(shù)圖象中，我們可以清晰地看到，當(dāng)0 ＜m ＜1 時(shí)，兩個函數(shù)圖象有4 個交點(diǎn)，即可以求解出m 的取值范圍為（0，1）。

解題總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合思維，可以很快地畫出函數(shù)圖象，且從直觀形象的圖象分析之中，獲得m 的取值范圍，這不僅提高了函數(shù)解題的效率，也為學(xué)生打開了數(shù)形結(jié)合思路，使得學(xué)生由傳統(tǒng)單一的思維轉(zhuǎn)為高效、多元的解題思維。

（二）運(yùn)用構(gòu)造解題思維解答函數(shù)問題

對于高中生而言，構(gòu)造解題思維也是其有效解答數(shù)學(xué)函數(shù)題目的重要路徑與思路，而構(gòu)造法與數(shù)形結(jié)合不同，它更考驗(yàn)學(xué)生對題目知識條件的重新構(gòu)造，因而學(xué)生需要在原有數(shù)學(xué)題目基礎(chǔ)之上，對題目中的條件或者結(jié)論展開假設(shè)，以利用數(shù)學(xué)題目中的相關(guān)信息，構(gòu)造滿足數(shù)學(xué)題目所需的條件和結(jié)論，促使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。

比如，在下面這道高中函數(shù)題目中：已知三條不同的直線xsin3α+ysinα，xsin3β+ysinβ=a，xsin3γ+ysinγ共點(diǎn)，求sinα+sinβ+sinγ 的數(shù)值。

解題分析：從這道函數(shù)題目中，學(xué)生應(yīng)懂得從問題中的已知條件著手，以問題中的xsin3α+ysinα，xsin3β+ysinβ=a，xsin3γ+ysinγ 為某一個函數(shù)方程的根為條件，構(gòu)造一個一元三次函數(shù)方程，繼而利用韋達(dá)定理解出函數(shù)問題的答案。

解題過程：設(shè)點(diǎn)A（m，n）是三條直線的交點(diǎn)，則可以構(gòu) 造 方 程msin3θ+nsinθ=a，可 得 到4msin3θ-(n+3m)sinθ+a=0，并且由題目條件可以獲知，sinα，sinβ，sinγ均為sinθ 的一元三次方程的根，從而利用韋達(dá)定理得到sinα+sinβ+sinγ=0。

解題總結(jié)：在整個解題過程中，解題方法都比較簡便和快捷，但也考查了學(xué)生的函數(shù)方程知識的理解與運(yùn)用能力，尤其是對三角函數(shù)的分析中，可以利用構(gòu)造法將這些三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)建方程，以利用簡單方程的解答思路來順利解答問題，這就是學(xué)生需要學(xué)習(xí)以及加以利用的構(gòu)造解題思維。

（三）運(yùn)用轉(zhuǎn)化解題思維解答函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化思維也是學(xué)生解答相關(guān)高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的重要思路，且十分考驗(yàn)學(xué)生的解題能力。比如，當(dāng)學(xué)生拿到一道復(fù)雜的函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可以先嘗試應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維方法將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題，以盡可能降低函數(shù)問題的復(fù)雜性；然后利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)基礎(chǔ)概念知識去研究新函數(shù)問題的規(guī)律及特點(diǎn)，這有利于幫助學(xué)生降低函數(shù)問題的難度，從而快速地解出函數(shù)問題的答案。

以下面這道函數(shù)問題為例：已知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象如圖2，請求出函數(shù)y=f（x）·g（x）的圖象。

解題分析：這道函數(shù)題目求的是圖象，而此時(shí)學(xué)生可以從轉(zhuǎn)化思維角度，根據(jù)題目中給定的量，去求解出函數(shù)圖象。比如，將定量問題轉(zhuǎn)化為定性問題，以借助定性來解決實(shí)際的函數(shù)問題。

圖2

解題過程：根據(jù)題目中的圖象，可以看出y=f（x）與函數(shù)y=g（x）分別是一奇一偶函數(shù)，那么則可以利用這個定性條件，獲知y=f（x）·g（x）不可能是奇函數(shù)，但是在x=0 處，g（x）沒有實(shí)際的意義。因此，題目所求的圖象應(yīng)為圖3。

圖3

解題總結(jié)：在這道函數(shù)問題中，適當(dāng)對題目展開轉(zhuǎn)變，能夠?qū)⒖此茮]有頭緒的函數(shù)題目轉(zhuǎn)化為可以理解且容易解答的數(shù)學(xué)函數(shù)問題。比如，從定量向定性的轉(zhuǎn)化，以解出函數(shù)圖象。因此，在解答一些沒有解題頭緒、難以理解的函數(shù)題目時(shí)，學(xué)生可以從轉(zhuǎn)化思維角度，將問題轉(zhuǎn)化為可理解的函數(shù)問題，從而順利解出函數(shù)問題的答案。

綜上所述，對于解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題，學(xué)生可以基于多元化的思維角度，不斷去分析和探索創(chuàng)新的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思維，從而促使復(fù)雜、難以理解的數(shù)學(xué)函數(shù)題目轉(zhuǎn)化為能夠理解和探究的問題，進(jìn)而快速、高效地解答數(shù)學(xué)問題。其中，學(xué)生可以從數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化等思維角度，去分析函數(shù)問題，以盡可能提升函數(shù)解題的效率和質(zhì)量。