例談數(shù)學(xué)課堂問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的幾個(gè)方面

范秀艷

摘要：課堂教學(xué)中要有一個(gè)好的問(wèn)題。要想設(shè)計(jì)的問(wèn)題有質(zhì)量，至少要考慮到：?jiǎn)栴}的難易要適當(dāng);反映教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì);問(wèn)題要明確，容易被學(xué)生理解;發(fā)揮先行組織者的作用;選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境;考慮到學(xué)生會(huì)怎么回答。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}設(shè)計(jì);問(wèn)題情境;教學(xué)內(nèi)容

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）01-105

講授法是課堂教學(xué)中主要的教學(xué)方式，但也容易造成“滿(mǎn)堂灌”[1]。因此，最好是把教師要講的某些內(nèi)容，以問(wèn)題的方式提出，讓學(xué)生思考、說(shuō)出答案，用來(lái)代替教師的講授。因?yàn)閷W(xué)習(xí)的內(nèi)容是學(xué)生自己親身經(jīng)歷、思考得出的，學(xué)生能更好地理解、記憶、印象深刻，進(jìn)而提高課堂的教學(xué)效率。

因此，我們教師的主要工作是提一個(gè)（些）好的問(wèn)題。要想設(shè)計(jì)的問(wèn)題有質(zhì)量，就必須經(jīng)過(guò)深思熟慮，至少要考慮到以下幾個(gè)方面。

一、問(wèn)題的難易要適當(dāng)，問(wèn)題太難，學(xué)生思考不出來(lái);太簡(jiǎn)單，學(xué)生不用怎么思考就隨口說(shuō)出來(lái)了

問(wèn)的問(wèn)題要有一定的思維含量，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)思考之后能得到答案。例如，學(xué)習(xí)“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”時(shí)，有位教師設(shè)置了這樣的問(wèn)題：設(shè)角α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P，P′點(diǎn)，當(dāng)角α，β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，思考：（1）P，P′兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（2）角α，β的三角函數(shù)有什么關(guān)系？

這樣的問(wèn)題，思維含量很低，學(xué)生不用怎么思考就可以說(shuō)出答案了，特別是給了圖之后，答案幾乎一眼看穿。一個(gè)原因是問(wèn)題設(shè)置的臺(tái)階過(guò)于密集，二是把關(guān)鍵的P，P′點(diǎn)寫(xiě)了出來(lái)。P，P′點(diǎn)是解決問(wèn)題的“題眼”，是“一層窗戶(hù)紙”，不能輕易點(diǎn)破，應(yīng)該讓學(xué)生自己畫(huà)圖找到這兩個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而得到兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系。

可以改為：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，思考當(dāng)角α，β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，α，β的三角函數(shù)的關(guān)系。這樣問(wèn)，對(duì)學(xué)生的思維才有適度的挑戰(zhàn)性。

二、問(wèn)題要“有意義”，也就是要反映教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

沒(méi)有“意義”的問(wèn)題，一定會(huì)太難或者太簡(jiǎn)單。例如，在學(xué)習(xí)橢圓的時(shí)候，很多教師會(huì)給出許多橢圓的實(shí)例，像觀看“神舟”飛船太空飛行的錄像，然后問(wèn)學(xué)生“飛船的飛行軌跡是什么？”這個(gè)問(wèn)題就很簡(jiǎn)單也沒(méi)有意義，因?yàn)閺膯?wèn)題情境中看不出橢圓的任何特征。讓學(xué)生觀看由兩個(gè)圖釘和一條細(xì)線(xiàn)畫(huà)出橢圓的過(guò)程，然后問(wèn)學(xué)生“你能從橢圓的作圖過(guò)程中得到橢圓上的點(diǎn)的特征嗎？”這樣的問(wèn)題才能起到引起學(xué)生思考、引導(dǎo)學(xué)生思維的作用。

又如，在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，很多老師都是先給出幾組特殊的數(shù)：（1）log33，log39，log327;（2）log24，log28，log232;（3）……然后讓學(xué)生觀察、猜測(cè)，得到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaM+logaN=loga（M·N）。接著教師會(huì)問(wèn)，這個(gè)性質(zhì)如何證明？這個(gè)問(wèn)題就特別的難，按照這種方式得到的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，基本上沒(méi)有學(xué)生能證明，除非特別聰明或者預(yù)習(xí)、看過(guò)書(shū)上證明過(guò)程的。因?yàn)閱?wèn)題的情境與問(wèn)的問(wèn)題之間沒(méi)有任何關(guān)系，從問(wèn)題的情境中找不到證明的方向。因此，對(duì)于設(shè)計(jì)的問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生回答不上來(lái)時(shí)，我們就應(yīng)該考慮一下這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得是不是沒(méi)有反映到教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

三、問(wèn)題要盡可能提得具體、明確，易于被學(xué)生理解

在證明正弦定理時(shí)，通常的方法都是通過(guò)作高把任意三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行證明。很多時(shí)候，學(xué)生只畫(huà)出銳角三角形進(jìn)行證明，這樣的證明是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑧?yīng)該證明在鈍角三角形中正弦定理也成立。那么當(dāng)學(xué)生只證明正弦定理在銳角三角形中成立后。應(yīng)該怎么啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生知道鈍角三角形也需要說(shuō)明呢？有位老師的問(wèn)法是：“上述證法能行嗎？[2]”這個(gè)問(wèn)題就不明確（“能行嗎”是指證法錯(cuò)誤還是不全面），也不具體（哪個(gè)地方不行）。課堂上，學(xué)生面面相覷，不知道老師問(wèn)的什么意思。還以為證明正弦定理在銳角三角形中成立的證法是錯(cuò)誤的。我們可以這樣問(wèn)：“上述證明過(guò)程是否嚴(yán)謹(jǐn)、全面？”若學(xué)生沒(méi)明白，再追問(wèn)“即過(guò)A點(diǎn)作BC邊上的高，垂足應(yīng)該在什么位置？”這也是證明過(guò)程中要分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的原因。學(xué)生自然能發(fā)現(xiàn)當(dāng)角B或角C為直角時(shí)，垂足D與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合，當(dāng)角B或角C為鈍角時(shí)，垂足在線(xiàn)段BC外。這樣的問(wèn)法能讓學(xué)生知道為什么要分銳角，鈍角和直角。不光知道是什么，還知道為什么。

四、要利用好“先行組織者”

“先行組織者”的利用能給學(xué)生指明問(wèn)題的思考方向（怎么學(xué)）、讓學(xué)生知道要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容以及為什么要學(xué)習(xí)這些內(nèi)容。

例如，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，“先行組織者”應(yīng)該包括這樣的兩點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)logaN=b是由指數(shù)ab=N定義的，對(duì)數(shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的問(wèn)題，如求log927，即求滿(mǎn)足9x=27的x的值（讓學(xué)生知道即將學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)該如何證明）;2.學(xué)習(xí)一個(gè)對(duì)象就需要研究它的運(yùn)算，數(shù)的運(yùn)算包括+、-、×、÷、乘方等（為什么要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容）。比如學(xué)習(xí)指數(shù)之后就研究了同底指數(shù)的乘法am·an=am+n、除法am÷an=am-n和乘方（am）n=amn（指數(shù)的加法和減法沒(méi)有規(guī)律）。然后就可以提出問(wèn)題：你覺(jué)得對(duì)數(shù)會(huì)有哪些運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)什么途徑進(jìn)行推導(dǎo)？學(xué)生首先想到的肯定是logaM+logaN、logaM-logaN、logaM·logaN、logaMlogaN等。由“先行組織者”，推導(dǎo)的思路也是轉(zhuǎn)化為指數(shù)。

“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”可以更進(jìn)一步的改為：三角函數(shù)與（單位）圓是緊密聯(lián)系的，它的基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示（為什么學(xué)）。圓有很好的對(duì)稱(chēng)性：以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，以任意直徑為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，特別地x軸、y軸、直線(xiàn)y=x、y=-x是特殊的直徑（學(xué)什么）。你能否根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義（怎么學(xué)），討論一下終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸以及直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的角與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系？

五、要利用好的問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)來(lái)源于自然和生活，很多數(shù)學(xué)概念就是從生活當(dāng)中的實(shí)例抽象出來(lái)的。像這些實(shí)例的應(yīng)用對(duì)理解數(shù)學(xué)是有幫助的。如學(xué)習(xí)“數(shù)軸”時(shí)就可以用這樣的問(wèn)題情境：在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車(chē)站牌，汽車(chē)站牌往東3m和7.5m處分別有一棵柳樹(shù)和一棵楊樹(shù)，汽車(chē)站牌往西3m和4.8m處分別有一棵槐樹(shù)和一根電線(xiàn)桿，試畫(huà)圖表示這一情境。這樣的實(shí)際問(wèn)題也是數(shù)軸產(chǎn)生的原因，只不過(guò)數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加抽象而已。

數(shù)學(xué)課堂還是要解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們可以從別的方面得到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈感，如果課堂上花大量的時(shí)間用于解決這些非數(shù)學(xué)的問(wèn)題情境來(lái)得到靈感，是得不償失、事倍功半的。

六、設(shè)計(jì)的問(wèn)題要考慮到課堂上學(xué)生會(huì)怎么回答，與我們希望學(xué)生說(shuō)出的答案，二者不一致時(shí)怎么處理？

在得到兩角和（差）的正切公式tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ以后，教材（蘇教版，必修4）上有個(gè)思考：兩角和與差的正切公式在結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們希望學(xué)生得到的答案是：有兩個(gè)角正切的和（差），還有兩個(gè)角正切的積。但是學(xué)生不一定一下就能說(shuō)出這個(gè)答案，學(xué)生的答案可能是：公式是個(gè)分式（因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)的兩角和與差的正弦、余弦公式都是整式）。兩角和的正切公式的分子也是和，分母是差;兩角差的正切公式，分子是差，分母是和。當(dāng)學(xué)生有這樣的回答時(shí)，我們可以采用追問(wèn)的方式，讓學(xué)生的觀察更本質(zhì)一些，如：公式是個(gè)分式，分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)呢？分子是和，是哪兩個(gè)和;分母是差，是哪兩個(gè)差？

教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候如果考慮到學(xué)生會(huì)怎么回答，能夠更好地修改教學(xué)設(shè)計(jì)。如學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，有位教師設(shè)計(jì)了這樣問(wèn)題（摘自網(wǎng)絡(luò)，章建躍博士的講座《數(shù)學(xué)教育的取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)》中舉的例子）：觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）0，5，10，15，……

（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……

（3）0，2.5，5.0，7.5，……

這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有指明思考的方向和角度，問(wèn)題提的不夠明確，另外也沒(méi)有考慮到學(xué)生會(huì)怎么回答。教師是想讓學(xué)生觀察這三組數(shù)列的共同特點(diǎn)的（問(wèn)題可以改為：這三個(gè)數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)），我們希望學(xué)生的答案是：每個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差是個(gè)定值。但是這三組數(shù)列并不是只有這一個(gè)共同點(diǎn)：每一個(gè)數(shù)都是非負(fù)數(shù);每個(gè)數(shù)都是5的倍數(shù);每個(gè)數(shù)列都是遞增數(shù)列……如果能轉(zhuǎn)換一下身份，考慮到學(xué)生會(huì)怎么回答，就不會(huì)設(shè)計(jì)這樣的數(shù)列了。

問(wèn)題的主要作用是要引起學(xué)生的思考，很多時(shí)候教師問(wèn)學(xué)生的都不是本文所說(shuō)的問(wèn)題，如：畫(huà)出一條直線(xiàn)與圓相交，問(wèn)學(xué)生直線(xiàn)與圓是什么位置關(guān)系。實(shí)際上是用學(xué)生的嘴把教師要說(shuō)出的話(huà)說(shuō)出來(lái)，和老師說(shuō)沒(méi)有什么兩樣。另外，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)還要考慮到問(wèn)題問(wèn)的難度了，沒(méi)有學(xué)生能回答上來(lái)怎么處理，給出怎樣的提示、改變問(wèn)題提問(wèn)的方式等等。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]章建躍.如何把握啟發(fā)學(xué)生思維的度[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（11）.

（作者單位：連云港市厲莊高級(jí)中學(xué)，江蘇 連云港222000）