一種新型復(fù)合局域共振型聲子晶體帶隙特性

陳琪琪，張 波，白玉田，王立恒

(寧夏大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，寧夏銀川750021)

0 引 言

低噪聲與良好抗振性是現(xiàn)代裝備發(fā)展的一個(gè)重要目標(biāo)和特征，過強(qiáng)的噪聲振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響裝備的工作性能、效率以及運(yùn)行的安全性、可靠性和服役壽命等指標(biāo)。在航空航天領(lǐng)域中，各種武器裝備所面臨的振動(dòng)噪聲問題更為突出，武器裝備系統(tǒng)元件眾多、振動(dòng)耦合形式復(fù)雜，同時(shí)，傳統(tǒng)的減振降噪技術(shù)受空間、質(zhì)量等條件的限制，有一定的局限性，因此發(fā)展新的噪聲控制理論與降噪技術(shù)成為迫切需要。

20世紀(jì)90年代，對聲子晶體的研究在學(xué)術(shù)界引起了廣泛的關(guān)注。聲子晶體是由兩種或者兩種以上介質(zhì)構(gòu)成、彈性常數(shù)或密度周期性變化的結(jié)構(gòu)。經(jīng)過特殊設(shè)計(jì)的聲子晶體結(jié)構(gòu)存在能夠抑制彈性波傳播的頻率范圍，即帶隙。通過改變聲子晶體的結(jié)構(gòu)以及材料參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)人為調(diào)控帶隙的位置、寬度以及對彈性波的抑制能力[1]，這也為拓展傳統(tǒng)減振降噪理論和技術(shù)提供了新思路和新途徑。最初對于聲子晶體的研究主要集中在Bragg散射型聲子晶體。2000年，武漢大學(xué)劉正猷教授首次提出了聲子晶體產(chǎn)生帶隙的另一種機(jī)理——局域共振機(jī)理[2]，其學(xué)術(shù)成果為聲學(xué)材料設(shè)計(jì)開拓了新的研究領(lǐng)域，也為后續(xù)聲學(xué)超材料的提出提供了思路。局域共振機(jī)理是由局域共振單元的諧振特性決定的，對聲子晶體結(jié)構(gòu)的周期性不敏感，散射體隨機(jī)排列也會(huì)產(chǎn)生帶隙[3]。局域共振型聲子晶體的出現(xiàn)改變了人們對只有大尺寸結(jié)構(gòu)才有低頻帶隙效果的認(rèn)識(shí)。因此，研究局域共振型聲子晶體具有重要的研究價(jià)值與意義。2006年，國防科技大學(xué) Zhao等[4]將阻尼引入局域共振結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了低頻水聲反常吸聲效應(yīng)。此后，Wen[5]和Jiang等[6]學(xué)者對聲子晶體低頻吸聲機(jī)理進(jìn)行深入研究，提出了基于Mie散射的波形轉(zhuǎn)化效應(yīng)和多重散射效應(yīng)的共同作用是低頻吸聲顯著增強(qiáng)的內(nèi)在機(jī)制，在此基礎(chǔ)上，又從吸聲模態(tài)、阻抗匹配的角度對吸聲影響因素以及規(guī)律進(jìn)行了系統(tǒng)分析。張思文等[7]以及梁孝東等[8]分別都對局域共振復(fù)合單元的聲子晶體進(jìn)行研究，表明在低頻范圍內(nèi)能打開多條帶隙，這進(jìn)一步說明復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)對于打開低頻帶隙提供了一種有效的方法。在實(shí)際應(yīng)用中，人們需要對聲子晶體的帶隙機(jī)理進(jìn)行研究，以及深入認(rèn)識(shí)影響帶隙的各種因素和規(guī)律，以此針對所需的帶隙設(shè)計(jì)聲子晶體。

本文在傳統(tǒng)局域共振型聲子晶體設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，借鑒復(fù)合結(jié)構(gòu)[9-10]提出了一種設(shè)計(jì)思路。即對該結(jié)構(gòu)在原有的局域共振型聲子晶體的基礎(chǔ)上新增加了一層散射體和一層包覆層，從而使聲子晶體具有多重諧振的特點(diǎn)，因此使得結(jié)構(gòu)模態(tài)振型更加豐富，具有更好的帶隙特性。本文通過建立聲子晶體等效模型計(jì)算結(jié)構(gòu)帶隙的上下邊界頻率，再對比有限元方法計(jì)算得到的帶隙，分析其共振帶隙的產(chǎn)生機(jī)理，最后再分析不同因素對于帶隙起止頻率的影響。

1 復(fù)合局域共振型聲子晶體設(shè)計(jì)

1.1 復(fù)合局域共振型聲子晶體單元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1為本文建立的復(fù)合諧振聲子晶體元胞結(jié)構(gòu)與周期結(jié)構(gòu)平面圖。該聲子晶體為局域共振型聲子晶體，其中的局域共振單元是由 A(四方柱狀散射體)、B(包覆層)、C(層狀散射體)、D(基體)組成，即柱狀散射體外包裹一層硅橡膠包覆層，再將其嵌入層狀散射體中，然后在層狀散射體外再包裹一層硅橡膠包覆層，之后將其嵌入環(huán)氧樹脂基體中，同時(shí)內(nèi)外散射體的面積是相同的，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 聲子晶體單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of phononic crystal cell

圖1 復(fù)合諧振聲子晶體元胞結(jié)構(gòu)及周期結(jié)構(gòu)平面圖Fig.1 The cell structure of multi-harmonic phononic crystal and its plane diagram

單元結(jié)構(gòu)確定后，可采用有限元方法計(jì)算該聲子晶體模型的帶隙。根據(jù)Bloch定理與能帶理論[11]，利用 COMSOL Multiphysics軟件設(shè)置聲子晶體材料，材料相關(guān)參數(shù)見表2，同時(shí)分別在基體框的x、y方向上設(shè)置一個(gè)Floquet周期邊界條件，然后求解元胞在周期邊界條件下的特征頻率從而得到帶隙。根據(jù)Bloch定理，對于任意給定的Bloch波數(shù)矢量(簡稱波矢)k，其取值范圍限定在不可約 Brillouin區(qū)，使k沿著不可約Brillouin的邊界M-Γ-X-M上取值，得到本征頻率隨波矢變化的色散關(guān)系曲線，即表示聲子晶體帶隙的能帶結(jié)構(gòu)圖。

表2 聲子晶體單元的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of phononic crystal cell

1.2 復(fù)合局域共振型聲子晶體等效模型及帶隙特性計(jì)算

將局域共振系統(tǒng)簡化成彈簧-質(zhì)量塊系統(tǒng)，如圖 2所示的周期局域共振彈簧-質(zhì)量塊系統(tǒng)被視為一種聲子晶體的基礎(chǔ)物理模型，圖2(a)中的虛線框內(nèi)系統(tǒng)代表該周期系統(tǒng)的單個(gè)元胞，通過模型進(jìn)行研究。m1和m2是單個(gè)局域振子中的內(nèi)、外層散射體的等效質(zhì)量，m3是單元結(jié)構(gòu)基體的等效質(zhì)量。在帶隙的起始頻率處，質(zhì)量塊m1和m2與彈簧k1組成一個(gè)二自由度系統(tǒng)以不同的頻率進(jìn)行共振；在帶隙的截止頻率處，考慮在質(zhì)量塊m1和m2的基礎(chǔ)上加入基體質(zhì)量塊m3以及彈簧k2，可形成一個(gè)三自由度系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)共振。

圖2 起始帶隙處和帶隙截止處彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)等效模型Fig.2 Equivalent model of spring-mass system at initial gap and cut-off gap

圖3為聲子晶體結(jié)構(gòu)質(zhì)量劃分，具體而言，在單個(gè)周期的局域共振系統(tǒng)中，設(shè)內(nèi)層散射體的質(zhì)量是mA1，外層散射體的質(zhì)量是mA2，基體質(zhì)量是mt。內(nèi)層散射體(鋁)、包覆層(硅橡膠)、外層散射體(鋁)、基體(環(huán)氧樹脂)的密度分別是ρ1、ρ2、ρ3、ρ4。

圖3 聲子晶體結(jié)構(gòu)質(zhì)量劃分圖Fig.3 Mass division diagram of phononic crystal structure

根據(jù)圖3可進(jìn)一步計(jì)算包覆層的等效質(zhì)量。圖3中包覆層B1隨著外層散射體一起振動(dòng)，因此部分質(zhì)量mB1要計(jì)算在外層散射體質(zhì)量m2中，包覆層B2隨著基體一起振動(dòng)，mB2要計(jì)算在基體質(zhì)量m3中。作為彈簧作用的包覆層C1和C2，需要按照相應(yīng)的比例分配質(zhì)量給基體框和散射體。

得到等效質(zhì)量塊的質(zhì)量為

考慮到彈簧的等效剛度僅與包覆層 C1和 C2有關(guān)，因此有：

式中：λ和μ分別是硅橡膠包覆層的兩個(gè)拉梅常數(shù)。

在帶隙的起始頻率處，計(jì)算出的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別是：

將式(3)、(4)的解代入式(5)得：

其對應(yīng)的特征值方程為

求解特征方程(6)，可得特征值解ω11= 8 13.6 Hz，ω12=1974.95 Hz，其中，ω11，ω12分別為聲子晶體帶隙的起始頻率。

同理，帶隙的截止頻率處，計(jì)算出的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別是：

將式(3)、(4)的解代入式(7)得：

其對應(yīng)的特征值方程為

最后，求解方程(8)，可得特征值解ω21= 1 396.03 Hz ，ω22= 2 105.52 Hz ，其中，ω21，ω22分別為聲子晶體帶隙的截止頻率。

1.3 基于有限元法(COMSOL)帶隙結(jié)構(gòu)計(jì)算

在周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中，根據(jù)Bloch周期條件，可將整體的計(jì)算縮減到一系列的單元中進(jìn)行。因此只選取一個(gè)元胞進(jìn)行分析，在軟件中取元胞x和y方向的兩條邊作為顯式，在目的端表達(dá)式設(shè)置kx和ky，這樣就完成了周期邊界的設(shè)置。在求解器參數(shù)中設(shè)置所求頻率階數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)規(guī)則、應(yīng)力分布均勻且單元尺寸較小，因此采用常規(guī)單元進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分完成求解，如圖4所示。在COMSOL軟件中，給定一個(gè)k值，即可求得一組結(jié)構(gòu)本征頻率，最后進(jìn)行波矢參數(shù)掃描，因?yàn)檠芯康穆曌泳w是正方晶格，所以掃描的邊界應(yīng)該沿著整個(gè)Brillouin區(qū)邊界，Brillouin邊界圖如圖 5所示，當(dāng)波矢沿著M-Γ-X-M的邊界完成參數(shù)掃描后，生成的數(shù)據(jù)即可用以繪制能帶結(jié)構(gòu)圖。

圖4 COMSOL帶隙結(jié)構(gòu)計(jì)算中的網(wǎng)格劃分Fig.4 Mesh division in COMSOL bandgap structure calculation

圖5 第一Brillouin區(qū)圖形和正晶格、倒晶格基矢高對稱點(diǎn)坐標(biāo)Fig.5 Diagram of the first Brillouin region and the coordinates of the height symmetric points of the orthotropic and reciprocal lattice basis vectors

2 共振帶隙機(jī)理及特性分析

2.1 帶隙特性

利用等效模型計(jì)算出的帶隙頻率為 813.6～1 396.03 Hz、1 974.95～2 105.52 Hz。采用COMSOL Multiphysics進(jìn)行有限元分析時(shí)，散射體材料采用金屬鋁，包覆層采用硅橡膠，基體采用環(huán)氧樹脂，圖 6 為計(jì)算出的能帶結(jié)構(gòu)圖(圖6中橫坐標(biāo) k 0～1為Γ-X邊界的水平掃描，1～2為X-M邊界的垂直掃描，2～3為M-Γ邊界的對角線掃描)，從圖中可以看出在2 200 Hz左右的頻率下有三條明顯的帶隙，第一條帶隙的頻率范圍是876.23～1 282.4 Hz，對應(yīng)帶寬是 406.17 Hz；第二條帶隙的頻率范圍是 1 284.5～1 396.6 Hz，對應(yīng)帶寬是112.1 Hz，其中第一、二條帶隙中間僅有一條水平的通帶，通帶帶寬是2.1 Hz；第三條帶隙的頻率范圍是 1 999.8～2 141.9 Hz，相應(yīng)帶寬是142.1 Hz，第二、第三條帶隙之間的通帶帶寬為 603.2 Hz，因此通帶占全部帶隙范圍的45.71%。由圖6可知，兩種計(jì)算結(jié)果基本吻合。

圖6 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structure diagram of phononic crystal bands

由于聲子晶體元胞結(jié)構(gòu)具有對稱性，因此元胞

在橫向與縱向這兩種振動(dòng)模式下具有相同的動(dòng)力學(xué)特性，質(zhì)量塊和彈簧(包覆層)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，基體外框基本是靜止?fàn)顟B(tài)。這時(shí)的基體外框?qū)τ趶椈?質(zhì)量塊這一振動(dòng)模式來說可以看作是剛性基礎(chǔ)，使它被單元結(jié)構(gòu)所局域化，形成了一個(gè)局域振子。當(dāng)這個(gè)局域振子受到基體外框所帶來的振動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振且與基體外框產(chǎn)生力的作用，同時(shí)局域振子會(huì)與基體外框中產(chǎn)生的行波長波相互耦合產(chǎn)生帶隙。帶隙產(chǎn)生的原因是由局域共振系統(tǒng)里面的諧振效應(yīng)所致，帶隙范圍內(nèi)的頻率對應(yīng)局域共振系統(tǒng)的固有頻率，當(dāng)激發(fā)的頻率與共振單元固有頻率相近時(shí)，單元結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生共振模式，局域共振單元與基體中傳播的低頻行波強(qiáng)烈耦合，能量傳播到共振單元后被局域化，不能繼續(xù)傳播。在圖6中，表現(xiàn)從 0點(diǎn)(Γ點(diǎn))開始的行波能帶被共振平直帶截?cái)?，因此形成了共振帶隙，由此可見，禁帶邊沿的平直帶對?yīng)的振動(dòng)模式是局域化共振模式。

為了分析具體帶隙產(chǎn)生的原因，本文選取了能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙開始頻率以及截至頻率處的各點(diǎn)振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行分析(如圖7所示)，圖中箭頭代表位移場，箭頭方向和長度是代表起點(diǎn)處介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的方向和位移大小。

從圖7(a)中的A點(diǎn)處的振動(dòng)模態(tài)可以看出，內(nèi)層散射體帶動(dòng)著內(nèi)層包覆層一同朝著相同的方向旋轉(zhuǎn)，影響著外層散射體跟隨著一起做扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從受力大小和位移來看，內(nèi)層散射體先開始的振動(dòng)，它們一起對外層散射體的影響僅僅使其受到扭轉(zhuǎn)剪切變形，因此導(dǎo)致外層散射體只能對基體產(chǎn)生扭矩作用，從而使作用在基體上的x或y方向上的合力趨于0，基體中的低頻行波和散射體的局域共振模式之間的耦合作用較弱，因此對局域共振帶隙的產(chǎn)生沒有影響。

圖7 帶隙起始、截止頻率處各點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)Fig.7 Vibration modes at different points of band-gap starting and cut-off frequencies

圖6中B點(diǎn)和E點(diǎn)都處于帶隙的起始位置，對于B點(diǎn)，內(nèi)層散射體起主導(dǎo)作用進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，對內(nèi)層包覆層產(chǎn)生拉伸或壓縮運(yùn)動(dòng)，而在E點(diǎn)處，外層包覆層起主導(dǎo)作用進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，對外層散射體產(chǎn)生拉伸或壓縮運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而使得內(nèi)層包覆層要發(fā)生平移運(yùn)動(dòng)，在這兩點(diǎn)處的局域振子諧振下，會(huì)在 x或y方向上產(chǎn)生合力，基體外框的行波長波與局域振子產(chǎn)生耦合作用，每個(gè)相鄰的元胞之間的局域振子也是做相反的平移運(yùn)動(dòng)，由此產(chǎn)生了帶隙。

此外，從圖6可知，C點(diǎn)位于一條平直帶上，由于內(nèi)、外散射體和包覆層組成的共振單元呈扭轉(zhuǎn)共振狀態(tài)，加之這條平直帶位于帶隙中，因此形成一條窄通帶。

D點(diǎn)與B點(diǎn)為同一帶隙的截止頻率點(diǎn)與起始頻率點(diǎn)的振動(dòng)模式，它們是相互對應(yīng)的，因此放在一起分析。在D點(diǎn)處內(nèi)層散射體與外層散射體和基體朝著相反的方向移動(dòng)，使得作用在基體上的x或y方向上產(chǎn)生的合力慢慢減小，該局域振子與基體外框的行波長波產(chǎn)生的耦合作用逐漸減弱，導(dǎo)致帶隙截止。同理，F(xiàn)點(diǎn)與E點(diǎn)也是相對應(yīng)的同一條帶隙的截止、起始頻率點(diǎn)處的振動(dòng)模式，此時(shí)F點(diǎn)處內(nèi)層散射體基本保持不動(dòng)，外層散射體與基體朝著相反的方向移動(dòng)，在x或y方向上產(chǎn)生的合力慢慢減小，與基體外框的行波長波產(chǎn)生的耦合作用減弱，導(dǎo)致帶隙截止。

根據(jù)上述對單元結(jié)構(gòu)共振模態(tài)的分析可以發(fā)現(xiàn)，聲子晶體的帶隙是局域振子諧振與基體中的行波長波發(fā)生耦合作用的結(jié)果，這個(gè)耦合作用是否存在，是決定帶隙產(chǎn)生的關(guān)鍵因素。

2.2 傳輸特性

通過能帶結(jié)構(gòu)來分析和計(jì)算聲子晶體禁帶時(shí)，通?？紤]的是無限周期理想聲子晶體。但實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu)往往為有限周期，這就使能帶結(jié)構(gòu)中帶隙頻率范圍內(nèi)某些彈性波的能量衰減不徹底而仍然能透過有限聲學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，對于有限結(jié)構(gòu)聲子晶體，需要能夠反映有限結(jié)構(gòu)彈性波傳輸特性的指標(biāo)和參數(shù)。本文采用傳輸特性定義激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系，即幅頻響應(yīng)關(guān)系。頻率響應(yīng)函數(shù)反映了結(jié)構(gòu)對激勵(lì)的傳遞能力，它以頻率為自變量，將激勵(lì)和響應(yīng)的時(shí)間歷程通過 Fourier變換轉(zhuǎn)換為各個(gè)頻率下的幅值比，就得到了傳輸譜LdB，定義如下：

式中：X是輸出端或響應(yīng)端的物理量；X0是入射端或激勵(lì)端的物理量。根據(jù)帶隙特性，有限周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的幅頻響應(yīng)函數(shù)會(huì)在帶隙頻率范圍內(nèi)的對應(yīng)區(qū)域有明顯的降低，這個(gè)降低幅度反映了彈性波的衰減程度。

為便于和實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果對比，本文進(jìn)一步采用COMSOL Multiphysics軟件計(jì)算聲子晶體傳輸特性曲線。計(jì)算時(shí)采用 3×3個(gè)有限周期結(jié)構(gòu)(如圖 8所示)，計(jì)算模型采用固體力學(xué)模塊，為了得到較為準(zhǔn)確的傳輸譜計(jì)算結(jié)果，防止激勵(lì)端反射波和輸出端散射波的影響，使用完美匹配邊界(Pefect Matching Layer, PML)來吸收多余的干擾波，這個(gè)外加區(qū)域不會(huì)產(chǎn)生任何反射。在傳輸譜的計(jì)算中，上、下周期邊界條件的設(shè)計(jì)以及材料結(jié)構(gòu)的設(shè)置與帶隙特性計(jì)算設(shè)置相同。計(jì)算時(shí)，在輸入端加入激勵(lì)，然后對輸出端進(jìn)行響應(yīng)積分，最后通過求響應(yīng)與激勵(lì)的比值得到傳輸譜。

圖8 采用COMSOL計(jì)算傳輸特性的聲子晶體有限周期結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 Limited periodic structure diagram of phononic crystal for transmission characteristics calculation by COMSOL

圖9為計(jì)算出的傳輸特性曲線，圖中灰色區(qū)域表示有明顯的衰減，這部分即為帶隙范圍：830.21～1 473.5 Hz和1 677.81～2 058.6 Hz。與圖6的能帶結(jié)構(gòu)圖相比，對應(yīng)位置區(qū)域基本一致。

圖9 聲子晶體傳輸譜Fig.9 Transmission spectrum of phononic crystal

3 實(shí)驗(yàn)測試

為了確定分析設(shè)計(jì)的聲子晶體的帶隙范圍以及特性的準(zhǔn)確性，需要進(jìn)一步通過實(shí)驗(yàn)測試進(jìn)行驗(yàn)證。因此，本文進(jìn)一步對聲子晶體進(jìn)行了傳遞損失測試，采用基于四傳感器的隔聲量測量系統(tǒng)[12]進(jìn)行測試，來對比理論及仿真計(jì)算出的帶隙頻率范圍是否與測試結(jié)果對應(yīng)。

3.1 聲子晶體試件制備

在實(shí)驗(yàn)中，復(fù)合局域共振聲子晶體板的制備方案采用的是先將切割好的鋁柱塊以及鋁柱層分別用硅橡膠包覆層包裹，最后將其按四方周期排列方式排入模具中，在其中填充環(huán)氧樹脂，固化后制備出聲子晶體試件。原材料包括邊長為6 mm的正方形鋁柱、邊長為10 mm厚度為1 mm的正方空心鋁柱、厚度分別為1 mm和1.4 mm的硅膠墊以及環(huán)氧樹脂AB膠。其工藝流程如圖10所示。

圖10 復(fù)合諧振局域共振聲子晶體的制備流程Fig.10 Fabrication process of compound resonant local resonant phonon crystal

聲子晶體試件厚度為10 mm，如圖11所示。采用阻抗管測量結(jié)構(gòu)的隔聲效果，根據(jù)測試要求，試件直徑為 100 mm，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)與仿真預(yù)設(shè)值相同(見表1)。

圖11 聲子晶體試件圖Fig.11 Phononic crystal specimen

3.2 測試過程與結(jié)果分析

本文采用北京聲望 SW422阻抗管隔聲測試系統(tǒng)對聲子晶體試件進(jìn)行傳遞損失測試，該測試管有效測量范圍是63～1 600 Hz，因?yàn)闇y試件直徑略小于阻抗管直徑，因此試樣測試前需要在試件外圈包裹幾層聚氯乙烯生料帶進(jìn)行密封處理。由于聚氯乙烯生料帶具有一定的彈性可以壓緊細(xì)小縫隙，同時(shí)由于它是薄膜材料，當(dāng)密封點(diǎn)內(nèi)外有壓差時(shí)會(huì)像氣球一樣鼓起填補(bǔ)縫隙以增加密封性。實(shí)驗(yàn)測試現(xiàn)場如圖12所示。

圖12 隔聲測試現(xiàn)場圖Fig.12 Field diagram of sound insulation test

圖13為傳遞損失測試曲線，從圖中可以看出復(fù)合局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)隔聲量在 846～1 518 Hz頻段處有三個(gè)明顯高于其他頻段的波峰，最高峰值達(dá)到 48 dB。該聲子晶體薄板在該頻段范圍內(nèi)對噪聲的隔聲量明顯增加，最大隔聲量達(dá)到48 dB，說明聲波在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播受到了阻礙，聲子晶體禁帶對聲波傳播起到了抑制作用，即該頻段范圍內(nèi)具有帶隙。

圖13 傳遞損失曲線Fig.13 Transmission loss curve

3.3 實(shí)驗(yàn)測試誤差分析

(1) 由于試件采用人工方式制備，樣品試件中存在著少量氣泡，造成了聲散射與熱黏效應(yīng)，從而引起理論計(jì)算與測試結(jié)果之間存在差異。

(2) 受測量儀器限制，制備試件必須為圓形結(jié)構(gòu)，而計(jì)算采用的聲子晶體模型為四方晶格排列，從而導(dǎo)致局域振子的填充率減小，基體面增大，因而對聲子晶體帶隙特性產(chǎn)生了影響。導(dǎo)致測試結(jié)果與理論結(jié)果之間存在差異。

(3) 相比阻抗管內(nèi)徑尺寸，試件尺寸偏小，在阻抗管中試件采取了邊界固定的方式，這一邊界條件可能會(huì)導(dǎo)致聲波傳播特性改變，對于試件的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

雖然理論計(jì)算與測試結(jié)果之間存在一定偏差，但是隔聲效果好的測試頻段范圍與理論計(jì)算帶隙頻段范圍基本對應(yīng)。證明了本文理論分析工作的正確性。

4 帶隙影響因素分析

根據(jù)前面的等效模型可以看出，帶隙主要受兩方面因素的影響: 等效質(zhì)量因素和結(jié)構(gòu)形狀因素，具體分析如下。

4.1 散射體密度對帶隙的影響

首先是改變材料參數(shù)。當(dāng)采用不同密度材料作為散射體時(shí)，散射體密度對帶隙的影響如圖 14所示，不改變其他材料幾何參數(shù)，只改變散射體密度時(shí)，其影響分以下兩種情況討論：

圖14 散射體密度對帶隙的影響Fig.14 Influence of scatterer density on band gap

(1) 保持內(nèi)層散射體材料不變，只改變外層散射體材料，散射體密度對帶隙的影響如圖14(a)所示。由圖14(a)可知，第二條帶隙截止頻率不會(huì)隨著散射體的密度增加而改變，第一、三條帶隙的截止頻率以及第一、二、三條帶隙的起始頻率則會(huì)隨著散射體密度的增加逐漸減小，且第三條和第一條帶隙起始頻率的減小幅度最大，而第二、三條帶隙間的通帶也逐漸減小，第一條帶隙逐漸加寬，同時(shí)帶隙頻段逐漸向低頻移動(dòng)。

(2) 保持外層散射體材料不變，只改變內(nèi)層散射體材料，散射體密度對帶隙的影響如圖 14(b)所示。由圖14(b)可知，當(dāng)內(nèi)層散射體密度逐漸增加時(shí)，聲子晶體第一、第二條帶隙間的平直帶與第二、第三條帶隙間的通帶合并，以致第一與第二帶隙合并成一條寬帶隙。隨著內(nèi)層散射體密度的增加，各帶隙的起始、截止頻率都逐漸減小，其中第一條帶隙的起始頻率減小幅度最大，因此第一條帶隙的寬度逐漸變寬。當(dāng)內(nèi)外散射體密度差越大時(shí)，所產(chǎn)生的帶隙越寬，同時(shí)帶隙頻段也逐漸向低頻移動(dòng)。

4.2 散射體幾何尺寸對帶隙的影響

從結(jié)構(gòu)改變上來分析，在“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)中，等效質(zhì)量的影響非常重要，在這里不考慮材料參數(shù)的影響，只考慮局域振子的幾何尺寸的變化對帶隙的影響，在計(jì)算過程中保持晶格常數(shù)a不變，基體框架不變，只改變包覆層和散射體的幾何尺寸。

(1) 當(dāng)外層散射體尺寸不變，柱狀散射體的尺寸逐漸增大同時(shí)內(nèi)層包覆層的尺寸減小所帶來的帶隙變化如圖 15(a)所示。第一條帶隙的起始頻率基本不會(huì)發(fā)生改變。而隨著柱狀散射體邊長的增大，第二、三條帶隙的起始頻率以及第一、二、三條帶隙的截止頻率逐漸增大。因此，可以看出第一條帶隙的帶寬逐漸增大。說明隨著尺寸的變大帶隙在向低頻移動(dòng)，頻率相對高的頻段的帶隙開始逐漸變窄。

(2) 當(dāng)柱狀散射體尺寸不變時(shí)，外層散射體尺寸逐漸增大同時(shí)外層包覆層的尺寸減小時(shí)，其帶隙變化如圖15(b)所示，隨著外層散射體邊長尺寸的變大，各帶隙起始點(diǎn)和截止點(diǎn)頻率整體是逐漸增大的趨勢，即帶隙頻段在逐漸往高頻移動(dòng)。當(dāng)外層散射體與外層包覆層的厚度相當(dāng)時(shí)，即外層散射體尺寸分別為10 mm和11 mm時(shí)，產(chǎn)生的帶隙更寬。

圖15 散射體幾何尺寸對帶隙的影響Fig.15 Influence of the geometric size of scatterer on band-gap

4.3 散射體排列方式對帶隙影響

以前的聲子晶體中的局域振子是按照二維四方晶格排列方式排列的。為了能夠?qū)崿F(xiàn)寬頻帶隙特性，改變聲子晶體的排列方式，參考互穿網(wǎng)絡(luò)[13]結(jié)構(gòu)提出一種交錯(cuò)排列結(jié)構(gòu)的聲子晶體，其結(jié)構(gòu)如圖16(b)所示。圖16(a)中聲子晶體的厚度設(shè)置與晶格常數(shù)值相同，使其之間沒有縫隙。在聲子晶體中，每層局域振子橫縱交錯(cuò)排列，大大增加了共振模態(tài)，拓寬了共振頻帶吸收范圍，吸聲特性也相應(yīng)增強(qiáng)，這種排列下聲子晶體結(jié)構(gòu)之間具有共振吸聲、分子間摩擦吸聲以及界面耗能多種機(jī)制。

本文利用COMSOL Multiphysics軟件的固體力學(xué)模塊計(jì)算聲子晶體的傳輸特性曲線，方法與前面相同，通過傳輸特性曲線衰減的頻率范圍得到帶隙范圍，如圖17所示。四方晶格排列方式如圖16(a)所示，且對相同周期數(shù)的聲子晶體在 0～5 000 Hz范圍內(nèi)的傳輸特性曲線進(jìn)行對比，定義一個(gè)衰減閾值為0 dB。由圖17可知，在2 000 Hz頻率范圍內(nèi)，交錯(cuò)排列方式下的聲子晶體有四處明顯低于閾值的衰減，這些衰減區(qū)域?yàn)樵撀曌泳w的帶隙，而按四方晶格方式排列的聲子晶體只有一個(gè)明顯低于閾值的衰減，且該衰減區(qū)域的頻率值要高于交錯(cuò)排列下聲子晶體的第一個(gè)衰減區(qū)域頻率值。這說明交錯(cuò)排列方式下的聲子晶體容易產(chǎn)生更低頻段的帶隙。交錯(cuò)排列方式下的聲子晶體的衰減區(qū)域頻率段與四方晶格排列方式下的聲子晶體衰減區(qū)域頻率段相比，頻段更加寬，這說明交錯(cuò)排列方式聲子晶體會(huì)產(chǎn)生更加寬頻的帶隙，有利于實(shí)際應(yīng)用。而在2 000～3 000 Hz頻率范圍內(nèi)，四方晶格排列方式的聲子晶體衰減區(qū)域的頻段明顯大于交錯(cuò)排列方式下的聲子晶體，說明在這個(gè)頻率范圍內(nèi)，四方晶格排列下的聲子晶體能夠更好地打開帶隙。

圖16 聲子晶體結(jié)構(gòu)Fig.16 Phononic crystal structure

圖17 不同排列方式下聲子晶體的傳輸特性曲線Fig.17 Transmission characteristic curves of phononic cystal with different arrangements

綜合以上三種影響因素，可以發(fā)現(xiàn)：等效質(zhì)量越大，聲子晶體所產(chǎn)生的帶隙特性越明顯，其帶隙寬度也會(huì)增加。尤其是改變內(nèi)層散射體材料密度時(shí)，帶隙特性會(huì)更好。此外，當(dāng)內(nèi)、外局域振子的等效質(zhì)量比達(dá)到一定值時(shí)，帶隙之間的兩個(gè)通帶可以消失，進(jìn)而形成一條寬帶隙。而改變內(nèi)外散射體材料的尺寸時(shí)，若只改變內(nèi)層尺寸，則尺寸越大，等效剛度越大，帶隙則越寬；只改變外尺寸，則當(dāng)散射體與包覆層厚度相同時(shí)，帶隙越寬，降噪效果就越好。當(dāng)聲子晶體散射體排列方式由四方晶格排列方式改為交錯(cuò)排列方式時(shí)，聲子晶體更易于在低頻范圍打開帶隙。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種新型的復(fù)合局域共振型聲子晶體，該結(jié)構(gòu)具有雙層散射體與包覆層組成的局域振子，并使聲子晶體的帶隙頻率在中低頻段有明顯的三條帶隙。

首先，通過將聲子晶體等效為彈簧-質(zhì)量塊的等效模型進(jìn)行計(jì)算，估算出帶隙頻率，與有限元法結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，兩者結(jié)果相近，并且該聲子晶體結(jié)構(gòu)在 2 200 Hz的頻率附近產(chǎn)生三條完整的帶隙，其中一條是帶寬達(dá)到406.17 Hz的寬帶隙，而通帶在此頻率范圍中的占比為45.71%。

其次，基于有限元法計(jì)算了該局域共振型聲子晶體的振動(dòng)模態(tài)，并分析了帶隙產(chǎn)生的原因。計(jì)算與測試結(jié)果表明：共振帶隙頻率位置取決于其共振模態(tài)的固有頻率，而帶隙寬度則與局域共振模態(tài)和基體之間的相互耦合有關(guān)。

最后本文分析了影響帶隙的因素。研究表明，改變各影響因素，可以調(diào)節(jié)局域共振模態(tài)的固有頻率，達(dá)到調(diào)控帶隙邊界上下頻率的目的。此外，等效質(zhì)量越大得到的帶隙頻率越向低頻移動(dòng)。調(diào)節(jié)內(nèi)層局域振子的等效質(zhì)量，第一帶隙頻率的變化幅度較大；調(diào)節(jié)外層局域振子等效質(zhì)量，第三帶隙頻率的變化幅度較大。后續(xù)可以通過改變內(nèi)、外層局域振子的等效質(zhì)量比，使帶隙合并成一條更寬的帶隙；研究還發(fā)現(xiàn)，改變晶體排列方式后，交錯(cuò)排列方式下的聲子晶體更容易在低頻段打開帶隙，這為獲得寬低頻帶隙提供了一種新的思路和方法。