基于大概念落實數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值

【摘 要】大概念是一種更高層次的上位概念，是一種更深層次的本質(zhì)概念，它蘊含著人與自我、人與自然、人與社會的價值對話，因而能在課堂中以其學(xué)科體系與哲學(xué)觀念承載學(xué)科育人的終極目標。度量是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中一個適切的大概念，具有四重育人價值——數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、理性思維。為了讓數(shù)學(xué)育人變成可見的生命成長過程，教師可輔以四個教學(xué)策略——求真驅(qū)動、整體感知、并置模型、自主冒險。

【關(guān)鍵詞】大概念;度量;育人價值;理性思維;數(shù)學(xué)創(chuàng)造

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）18-0022-04

【作者簡介】劉曉萍，江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院（江蘇蘇州，215000）數(shù)學(xué)教研員，高級教師。

大概念是一種更高層次的上位概念，是一種更深層次的本質(zhì)概念，是學(xué)生建構(gòu)學(xué)習(xí)圖式的認知框架，具有整合作用，并能廣泛遷移。大概念這一教育理念可以追溯到懷特海（惰性觀念）、布魯姆（基本概念）、布魯納（一般概念）和奧蘇伯爾（要領(lǐng)概念）等人的教育思想。在我國教育界，引入大概念是大家基于對核心素養(yǎng)教學(xué)實踐的反思，這能為落實學(xué)科育人提供一條新的路徑。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科，史寧中、鮑建生等教授的研究與國外學(xué)者一致，認為度量是數(shù)學(xué)學(xué)科中一個適切的大概念，因為度量是一種數(shù)學(xué)基本思想，具有知識的兼容性與整合性，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，而且度量本身蘊含著人與自我、人與自然、人與社會的價值對話。

一、小學(xué)度量教學(xué)的育人價值分析

從認識論的角度來看，度量是對事物某個特征、某種屬性進行刻畫的量，其基礎(chǔ)是兩點間的距離，由此可以將時間與空間、貨幣與溫度、運動與靜止等多個領(lǐng)域的量進行拓展，使其成為具有特定意義的量;從價值論的角度來看，度量是利用測量技術(shù)與工具對物理世界和智力世界進行數(shù)學(xué)表達的過程，它是一種理解世界、解釋世界的手段。因此，不少國家的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程都將度量和數(shù)與運算、代數(shù)、統(tǒng)計等內(nèi)容相提并論。在我國，度量內(nèi)容則主要集中在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，分散于單位的認識與換算、角度、平面圖形的周長、平面圖形的面積、立體圖形的體積、某些實物（如土豆）的體積測量方法等知識點的學(xué)習(xí)中，主要體現(xiàn)度量的意義、度量的必要性、常見圖形度量的基本方法，但這都無法體現(xiàn)“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。因此，就需要基于大概念重新定位度量教學(xué)的育人價值。

1.數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)抽象是一種核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是一種重大的數(shù)學(xué)思想，它決定著數(shù)學(xué)學(xué)科的走向，是哲學(xué)范疇的數(shù)量側(cè)面。任何事物都有質(zhì)與量兩個方面。作為質(zhì)與量統(tǒng)一體的“度”，就是保持事物本身質(zhì)的、量的限度與幅度。所以說，度量的學(xué)習(xí)就是幫助學(xué)生通過度與量的數(shù)學(xué)方式積淀抽象思想。度量有著豐富的人文和生活背景，引導(dǎo)學(xué)生從多個視角展開學(xué)習(xí)，能使他們體會到數(shù)學(xué)概念的真諦，從而形成一種心理學(xué)上的概型，也就是學(xué)生終身受用的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是與一般科學(xué)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，用于數(shù)學(xué)思考、刻畫世界時能夠明顯體現(xiàn)學(xué)科特點。例如，在“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域，以1的度量為起點，通過數(shù)軸等幾何圖形將運算律從自然數(shù)推廣到有理數(shù);在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域，以確定1個度量單位為起點，通過數(shù)數(shù)的方式對圖形的運動、空間進行定量分析。這樣教學(xué)，能使學(xué)生融通“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個內(nèi)容領(lǐng)域，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更上位的理解，同時有助于培養(yǎng)他們的直覺力與洞察力。

3.數(shù)學(xué)創(chuàng)造。人類一直在探索宇宙和大自然的奧秘，并在不斷揭秘的過程中提升智力水平。在探索與揭秘時，必然涉及度量工具，并不斷挑戰(zhàn)提高度量工具精確度的問題。一旦我們用度量來刻畫現(xiàn)實與未知，便擁有了一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造工具的能力。這種創(chuàng)造將數(shù)形體驗與現(xiàn)實世界相連，極其有趣又充滿想象。說到底，度量是為了更好地解釋有限與無限、近似與精確、離散與連續(xù)等數(shù)學(xué)基本矛盾，是為了描寫、表示、反映現(xiàn)實時空，為各種時空觀提供數(shù)學(xué)模型以及反映客觀事物的運動規(guī)律。用度量打量生活是數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)表達的具體體現(xiàn)，是未來公民應(yīng)具備的必要素養(yǎng)。

4.理性思維。度量的學(xué)習(xí)常常伴隨著學(xué)生生活經(jīng)驗的激活與再現(xiàn)，常常需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象等活動，這些活動也是學(xué)生發(fā)展空間觀念與推理能力的重要途徑。學(xué)生在統(tǒng)一度量單位、形成度量方法的過程中，在感性認識的基礎(chǔ)上進行合理的猜想、比較、分析、綜合、概括，這又能促進他們發(fā)展理性思維?？傊ㄟ^度量學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會的是基于證據(jù)和邏輯來解釋世界的方法，進而用理性思維來影響其實踐創(chuàng)新，指導(dǎo)其實踐探索。

二、學(xué)科育人視角下小學(xué)度量教學(xué)策略

史寧中教授指出：“沒有度量就沒有數(shù)學(xué)，度量是人們認識數(shù)學(xué)，進而認識現(xiàn)實世界的基本工具和表達語言。”筆者認為，教師在度量教學(xué)中應(yīng)當注意：其一，度量是思維的結(jié)晶，可以通過數(shù)學(xué)抽象得到;其二，度量是實踐的產(chǎn)物，可以借助工具得到。在具體的小學(xué)度量教學(xué)中，可以圍繞以下幾個教學(xué)策略來實現(xiàn)學(xué)科育人。

1.求真驅(qū)動。小學(xué)生學(xué)習(xí)事物主要靠概念形象，教學(xué)度量就是引導(dǎo)學(xué)生用單位去探究真實生活中存在的量，從而完成抽象。在小學(xué)階段，長度是最重要的度量。教學(xué)“長度單位”，教師可以先讓學(xué)生閱讀《馬屁股的距離》一文，并提問：人們?yōu)槭裁床辉儆民R屁股作為衡量標準？人們最初將“經(jīng)過巴黎的地球子午線的四千萬分之一”定義為1米，為什么要放棄它而重新選擇“光在真空中[1299792458]秒的時間內(nèi)所行進的距離”來定義？真實的背景資料能極大地驅(qū)動學(xué)生求真的意愿。如同古人用自身的一拃、一庹、一步來度量長短，借助馬屁股來度量長短總能發(fā)現(xiàn)誤差，甚至是矛盾，所以終究要尋求更具唯一性的標準。光在真空中某段時間的行程被選擇，正是人們逐步求真的結(jié)果。其他單位的創(chuàng)立過程與長度單位的創(chuàng)立過程相似，都是通過定性、定量相結(jié)合的方式去找尋一個合適的測量標準。這個找尋標準的過程，必然會激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言去精準表達量的大小的欲望，從而使他們深刻體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性，通過“量出量、數(shù)出量、數(shù)出數(shù)”學(xué)會數(shù)學(xué)抽象。與此同時，數(shù)學(xué)概念越抽象，人們越會追求度量工具的精確度。這樣，在理性的幫助下，物理素材將被最大限度地使用。

2.整體感知。盡管度量內(nèi)容幾乎貫穿整個小學(xué)階段，但基本沒有引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何上測量單位與算術(shù)上計數(shù)單位的一致性，如不斷產(chǎn)生更小的測量單位其實就是產(chǎn)生分數(shù)單位、小數(shù)單位，反之亦然;也沒有引導(dǎo)學(xué)生在整體上梳理度量是如何發(fā)展的。關(guān)注面積、體積的計算與應(yīng)用，卻沒有形成度量是單位的運算的思想，如長度、面積、體積是累加，速度是長度與時間的比，由此由一個量或幾個量的運算就可以度量萬物，如可以用身高÷體重來度量胖瘦。前文說長度是最重要的度量，就是因為有了1米，便有了1平方米、1立方米的度量概念，在一維上可以1米1米地數(shù)，在二維上就可以用邊長為1米的正方形去1平方米1平方米地數(shù)，在三維上就可以用棱長為1米的正方體去1立方米1立方米地數(shù)。如同在線上1米1米地數(shù)，在角里可以1度1度地數(shù)，在時間軸上可以1時1時地數(shù)。因此，度量教學(xué)就要啟發(fā)學(xué)生在整體上感知度量是基于數(shù)數(shù)而得，并因此與計數(shù)單位建立關(guān)聯(lián)。具體而言，學(xué)生通過學(xué)習(xí)能感知1米1米地量是1個1個地數(shù)，那1分米1分米地量就是0.1個0.1個地數(shù);反之，1千米1千米地量就是以千為單位1個1個地數(shù)。1平方米1平方米地量是1個1個地數(shù)，那1平方分米1平方分米地量就是0.01個0.01個地數(shù);反之，1公頃1公頃地量就是以萬為單位1個1個地數(shù)。學(xué)生一旦學(xué)會整體考量數(shù)、運算、度量，就能體悟數(shù)形結(jié)合的妙處，也能自由而符合邏輯地創(chuàng)造新的數(shù)與新的度量。

3.并置模型?！拔覀冃枰獙λM行度量，并不是使用諸如直尺、量角器之類的笨拙的現(xiàn)實工具，而是使用我們的頭腦。”筆者認為，美國數(shù)學(xué)家洛克哈特這句名言的意義在于：希望度量教學(xué)在幫助學(xué)生習(xí)得制作、使用度量工具的方法的同時，促進其拓展思維邊界。更進一步，可以理解為，基于度量視角的教學(xué)要不斷去除現(xiàn)實背景和量綱，將量抽象成數(shù)，這樣更便于運算，更便于從感性走向理性。要實現(xiàn)這一教學(xué)目標，并置模型的教學(xué)策略可以一試，如教學(xué)“小數(shù)的意義”，復(fù)習(xí)如何表征1后，教師提問：按照這樣的思路，0.1怎樣表示？0.01呢？待學(xué)生回答完畢，教師并置學(xué)生的表達，全部呈現(xiàn)于一張課件（如下頁圖1）。然后，教師再次追問：不同的表達都在說明哪一個數(shù)學(xué)故事？相較于群組、數(shù)軸、面積等模型，錢幣等模型更加直觀，能更好地闡釋數(shù)是量的抽象。將這些模型并置在一起，有助于學(xué)生理性地思考：以1為度量單位，自然數(shù)是以一而十、十而百的方式大起來的，小數(shù)是以不斷均分10份的方式小起來的。進而明晰：度量工具是以一而十、十而百的創(chuàng)造方式往大數(shù)量測量，如百元、千米、噸;度量工具是以不斷均分10份的創(chuàng)造方式往更精確的方向測量，而且都是基于1元、1米、1度等單位往大小兩個方向延展。在對模型并置后尋找其共同原理的過程中，學(xué)生能逐漸產(chǎn)生整體感知，從而在量與數(shù)之間自由切換，或者由量推理數(shù)，或者由數(shù)返回到現(xiàn)實意義。這樣教學(xué)，能使學(xué)生明晰度量工具是度量手段，理性思考是度量目的，但它們是一體兩面，通過理性思考會創(chuàng)造出更理想的度量工具，度量工具的發(fā)展會促進數(shù)學(xué)更理想地闡釋世界。

4.自主冒險。只有學(xué)生自己經(jīng)歷豐富的、深刻的思維冒險，才能建立真正的數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)，才能讓數(shù)學(xué)能力轉(zhuǎn)化為扎扎實實的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)表達。因此，教師還應(yīng)注意留足時間供學(xué)生自主觀察、猜測、想象、歸納、類比。如教學(xué)“角的度量”，教師提出問題：同學(xué)們通過比較，知道∠A大于∠B，但∠A到底比∠B大多少呢？學(xué)生有的嘗試著用線段去表達角張開的大小，有的去尋找所測量的角與直角的倍數(shù)關(guān)系，有的試圖仿照線段的測量定一個角度基本單位“1”……之后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)冒險的起點、過程、困難與問題解決的矛盾。有的學(xué)生基于理性思考周角、平角、直角、1°角的比例關(guān)系，從而循著“360°→180°→90°→1°→10°→100°”的路徑，在頭腦中創(chuàng)造度量角的方法，其實這就是再創(chuàng)造了量角器。甚至有的學(xué)生會思考角度的進率與長度單位的進率不一致，從而追求用十進制進行統(tǒng)一。

上述種種表述，都暗合洛克哈特的洞見：度量是一種很好的哲學(xué)訓(xùn)練，我們在頭腦中創(chuàng)造完美的虛擬對象，這些對象也有完美的度量尺寸。因此，當以度量為大概念時，無論是“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)，還是“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)，其背后無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、理性思維等育人價值。課堂再輔以求真驅(qū)動、整體感知、并置模型、自主冒險等教學(xué)策略，學(xué)生將會始終感受著數(shù)學(xué)的震撼——智力自由的震撼，理性解釋世界的震撼。

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