考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平評(píng)價(jià)
——以2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷為例

王洪亮 沈 婕 劉 勇 于 川 傅 劍

2020 年是天津市高考綜合改革的第一年，普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)學(xué)科（以下簡(jiǎn)稱“高考數(shù)學(xué)天津卷”）命題組遵循《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的要求，以新、舊高考過渡時(shí)期的《普通高中2017 級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》（以下簡(jiǎn)稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）為依據(jù)，命制了2020 年的高考數(shù)學(xué)天津卷。

試卷第Ⅰ卷為選擇題，9 小題， 每小題5 分，共45 分；第Ⅱ卷為填空題和解答題，其中填空題6 小題，共30 分；解答題5 小題，共75 分；全卷滿分150分。 試卷堅(jiān)持基礎(chǔ)性和綜合性的考查， 試題突出基礎(chǔ)、回歸課本、注重能力、聚焦素養(yǎng)，較全面地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展水平， 這必將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生較好的正面導(dǎo)向作用。

考后數(shù)據(jù)表明，2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷全卷難度為0.74， 區(qū)分度為0.35，ALF 信度系數(shù)為0.88，標(biāo)準(zhǔn)差為24.90， 顯示試卷具有較高的信度和區(qū)分度，能夠作為考生水平評(píng)價(jià)和教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的依據(jù)。

一、基于核心素養(yǎng)的考生水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷對(duì)考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查主要聚焦于“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“邏輯推理”和“直觀想象”三種素養(yǎng)。天津市教育質(zhì)量評(píng)估監(jiān)測(cè)中心高考評(píng)價(jià)項(xiàng)目數(shù)學(xué)學(xué)科組結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1 的《數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分》，細(xì)化并制定了評(píng)價(jià)考生這三種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)（如表1）。

表1 “直觀想象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“邏輯推理”三種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中主要以問題情境水平為指標(biāo)對(duì)問題難度進(jìn)行劃分， 以考生在問題解決中所表現(xiàn)出來的對(duì)知識(shí)的掌握程度、基本技能的熟練程度、思維的深度及表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)程度為依據(jù)， 進(jìn)而評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。其中，問題情境主要包含“熟悉情境”“關(guān)聯(lián)情境”“綜合情境”三個(gè)等級(jí)。

熟悉情境主要是指在知識(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到的問題，該問題解決過程較為單一，通常運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)即可完成， 一般此類問題的解決與考生對(duì)知識(shí)的熟練程度相關(guān)。

關(guān)聯(lián)情境主要是指將兩個(gè)或兩個(gè)以上熟悉的問題情境關(guān)聯(lián)在一起形成新的相互關(guān)聯(lián)的問題情境，多為數(shù)學(xué)單元內(nèi)的關(guān)聯(lián)， 也有個(gè)別單元間關(guān)聯(lián)的問題。該情境中所涉及的問題的條件與結(jié)論相互影響，相互交織，相互作用，通常需要考生能夠辨析出問題與問題間的關(guān)系，形成有序的解題思路，并清晰地表達(dá)出條件與結(jié)論間的關(guān)系。 一般此類問題的解決與考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用程度相關(guān)。

綜合情境主要是指較為復(fù)雜或困難的問題交織在一起形成的情境， 其問題情境具有參數(shù)多、 情境新、思路分散、運(yùn)算復(fù)雜等特點(diǎn)。 需要考生從整體上規(guī)劃解題思路， 并能發(fā)現(xiàn)和提出一些具有輔助作用的問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決。一般此類問題的解決與考生的創(chuàng)新能力和思辨能力相關(guān)。

二、基于評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平分析

依據(jù)上述評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)， 運(yùn)用安格夫方法， 將作答2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷的考生的核心素養(yǎng)水平劃分為精通水平（G4 組）、熟練水平（G3 組）、基本水平（G2 組）以及基本水平以下（G1 組）四組，其分?jǐn)?shù)段分別為132-150 分、114-131.5 分、90-113.5 分以及90 分以下。

（一）直觀想象素養(yǎng)水平發(fā)展較好，但不同水平組考生差異明顯

直觀想象是考生在高中階段得到充分發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考生借助幾何直觀和空間想象來解決問題，發(fā)現(xiàn)、 分析和解決問題的第一步往往需要借助直觀想象，是進(jìn)一步進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化、推理論證的基礎(chǔ)。

試卷借助函數(shù)概念與性質(zhì)及應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，立體幾何、 解析幾何和導(dǎo)數(shù)來重點(diǎn)考查考生的直觀想象素養(yǎng)。第3、5、12、18_1 題是考生熟悉的情境，要求考生利用函數(shù)解析式研究函數(shù)圖象， 利用基本幾何要素之間的位置關(guān)系求球的表面積， 利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的半徑， 利用橢圓性質(zhì)求橢圓方程。 第7、8、17_2、20_11 題是比較簡(jiǎn)單的關(guān)聯(lián)情境，要求考生借助雙曲線與拋物線的基本性質(zhì)、 直線與直線的位置關(guān)系來求雙曲線的方程， 借助三角函數(shù)的解析式來研究函數(shù)的周期性、最大值及圖象的平移變換。第9、18_2 題是綜合情境，要求考生利用函數(shù)解析式研究函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)的關(guān)系， 綜合利用直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置及向量來求直線方程。全市考生在直觀想象素養(yǎng)上的作答表現(xiàn)較好， 得分率為0.75， 但各水平組考生在直觀想象素養(yǎng)上的表現(xiàn)存在比較明顯的差距（見表2）。

表2 2020 年直觀想象素養(yǎng)不同水平組考生得分率

例1：2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷第9 題

【情境】給出分段函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，研究參數(shù)的取值范圍。

【分析】本題是函數(shù)綜合題，考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 借助函數(shù)圖象對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行研究，函數(shù)零點(diǎn)、方程的解及函數(shù)圖象公共點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。 本題的得分率為0.29，屬于難題，各水平組得分率如表3 所示。

表3 2020 年不同水平組考生第9 題作答情況

本題情境綜合， 是區(qū)分度較高的題目。 可以看到，G4 組考生完成較好，其他水平組與G4 組差距明顯。 該題的整體作答情況符合命題預(yù)期， 但G2、G3組考生得分率沒有差距，甚至與G1 組相比出現(xiàn)“倒掛”現(xiàn)象，這說明G2、G3 考生的直觀想象素養(yǎng)水平尚有提高的空間，需要引起教師的關(guān)注。

根據(jù)教師問卷反饋， 教師認(rèn)為考生答錯(cuò)的主要原因是“不知道如何對(duì)k 進(jìn)行討論”“不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想”，占比44.11%。 教師認(rèn)為，考生能夠正確入手將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)問題，但是不能進(jìn)一步完成解答。根據(jù)考生問卷反饋， 考生回答錯(cuò)誤的原因包括：“數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用較為混亂，導(dǎo)致錯(cuò)誤”占比15.63%，“沒有任何思路，隨機(jī)選擇一個(gè)答案”占比29.17%，“數(shù)學(xué)運(yùn)算上錯(cuò)誤，或所用運(yùn)算方法不正確”占比12.47%，“在畫函數(shù)圖象時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤”占比9.26%。 可以看到，教師非常了解學(xué)生，為了穩(wěn)妥，師生大多希望“小題大做”認(rèn)真完成此題，但由于題目情境相對(duì)綜合，真正按照解答題的思路完成此題，難度不低。此外，“隨機(jī)選一個(gè)答案”作為答題策略導(dǎo)致錯(cuò)答的考生占比也很高，說明了在日常學(xué)習(xí)過程中考生對(duì)這類題的態(tài)度，沒有梳理這類題的解決方案， 沒有利用此類題目提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【啟示】 此類題目是有著比較明晰的解決途徑的，如果按部就班地完成，時(shí)間成本會(huì)比較高。 本題以選擇題形式出現(xiàn)， 或許有幫助考生面對(duì)復(fù)雜的情境盡快合理地找到解題路徑的考量。 在進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化后，在需要對(duì)參數(shù)k 進(jìn)行討論之前，如果能充分利用選項(xiàng)，積極地進(jìn)行“代入驗(yàn)證”，可以節(jié)約時(shí)間成本，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，相對(duì)快速地完成作答。 從問題解決路徑上看，此題可以視為不良試題，除直接考查了考生的直觀想象素養(yǎng)之外， 還對(duì)考生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有較高要求， 較好地體現(xiàn)了高考的選拔功能。教師要鼓勵(lì)考生在以往經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地解決問題， 全面提升自己的直觀想象素養(yǎng)水平， 同時(shí)帶動(dòng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平的提升。

例2：2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷第18 題

（Ⅰ）求橢圓的方程；

【情境】 根據(jù)圖形的數(shù)量關(guān)系求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用向量等式求點(diǎn)的坐標(biāo)，通過直線與圓的位置關(guān)系求直線方程。

【分析】本題主要考查橢圓的方程，直線與直線、直線與圓及直線與橢圓的位置關(guān)系。 利用圖形間的數(shù)量關(guān)系得到橢圓方程中的基本量，求得橢圓方程。利用向量等式確定圓心的坐標(biāo)、 利用直線與橢圓的位置關(guān)系確定切點(diǎn)的坐標(biāo)、 利用直線與圓的位置關(guān)系確定直線的斜率，是解決問題的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。 本題的得分率為0.62，屬于中等難度題，題目?jī)尚柗种捣謩e為5 分、10 分， 各水平組作答情況如表4、 表5所示。

表4 2020 年不同水平組考生第18 題作答情況

表5 2020 年不同水平組考生第18_2 題得分段

考生對(duì)本題第一問的情境比較熟悉， 能夠準(zhǔn)確找到圖形與數(shù)量的關(guān)系，熟練地得到橢圓方程。 從作答情況上看，考生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展水平符合預(yù)期。第二問的情境比較綜合，考生需要依據(jù)題目的表述，畫出示意圖形， 需要將向量等式坐標(biāo)化得到圓心的坐標(biāo)，并將直線與圓相切這一位置關(guān)系代數(shù)化，以上任何一個(gè)環(huán)節(jié)的缺失都會(huì)影響問題的解決。 G4 組考生表現(xiàn)出色，直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展較為全面，水平較高。 G1、G2 組與G3、G4 組差距明顯，說明考生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平存在較大差異， 具有較大的提升空間。

根據(jù)考生問卷反饋，“不能利用題目條件畫出圖形，無法進(jìn)一步作答”占比10.35%，“不能把直線與圓相切代數(shù)化”占比12.85%，說明考生利用圖形研究問題的能力欠缺， 不能在相對(duì)復(fù)雜的圖形關(guān)系中找到數(shù)量關(guān)系。 另外也有11.67%的考生是“直接放棄”，說明部分考生最基本的將幾何問題代數(shù)化的能力較弱， 沒有形成自己的處理解析幾何問題的思維模式，以至于不敢進(jìn)行嘗試，反映出這部分考生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展是片面的。

【啟示】 解析幾何是學(xué)生比較重視的一部分內(nèi)容，在日常學(xué)習(xí)中投入精力較多。 由上面的分析可以看到，解決解析幾何問題的障礙不全是“算不對(duì)”，也包括“怎么算”，要研究圖形與圖形的關(guān)系，要梳理將圖形與圖形的關(guān)系代數(shù)化的方法， 從局部到整體全面提升直觀想象素養(yǎng)。 教師在教學(xué)中要強(qiáng)化學(xué)生利用代數(shù)研究幾何問題的意識(shí)， 引導(dǎo)學(xué)生建立自己熟悉的解決問題的思維模式。 教師要有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生做變式訓(xùn)練， 在不同的問題情境中挖掘圖形的性質(zhì)，并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)表達(dá)；同時(shí)也要訓(xùn)練學(xué)生從幾何角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)表達(dá)式、方程的意義。要注意讓學(xué)生適當(dāng)體驗(yàn)成功，鼓勵(lì)學(xué)生樹立自信，敢于表達(dá)，主動(dòng)全面提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

通過以上分析可以看到， 考生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平差距較大，隨著問題情境的復(fù)雜化，這種差距逐漸突顯。 部分考生可以在復(fù)雜情境中準(zhǔn)確地進(jìn)行代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化，有效地提取信息，順暢地找到解決問題的方法。 同時(shí)也有部分考生雖然有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)， 但在幾何與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化時(shí)出現(xiàn)障礙，不能正確認(rèn)知圖形中的數(shù)量關(guān)系，不能將圖形中的位置關(guān)系代數(shù)化， 需要加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)的全面培養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平發(fā)展較好，但不同水平組考生差異明顯

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)反映著學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的水平，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，考生能否合理運(yùn)用掌握的運(yùn)算法則設(shè)計(jì)選擇運(yùn)算路徑，通過合理運(yùn)算解決問題，直接反映出考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展水平。

2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷利用集合運(yùn)算、不等式、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、解三角形、三角恒等變換、數(shù)列、運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，完成了對(duì)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的全面考查。 第1、6、10、11、16_1、16_2、16_3、19_1 是考生熟悉的情境， 要求考生熟練地進(jìn)行集合的交集和補(bǔ)集的計(jì)算， 利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的計(jì)算，利用二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)的系數(shù)，利用正弦定理、余弦定理、和角公式、倍角公式進(jìn)行計(jì)算，求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。 第14、17_3、20_1_2 是關(guān)聯(lián)情境，要求考生利用不等式求代數(shù)式的最小值， 求線面角的正弦值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。 第15、19_3是綜合情境， 要求考生利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積求值， 利用裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和。 全市考生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的總體作答表現(xiàn)較好，得分率為0.78，但各水平組考生之間的得分率差距明顯，考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平的差異較大。

表6 2020 年數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不同水平組考生作得分率

例3：2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷第15 題

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6， 且，則實(shí)數(shù)λ的值為_________，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．

【情境】利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積求參數(shù)的值，求與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量積的最小值。

【分析】本題主要考查平面向量基本定理、平面向量線性運(yùn)算及數(shù)量積。 利用平面向量線性運(yùn)算的意義和數(shù)量積定義可以直接完成第一個(gè)問題；第二問的解決需要考生選擇恰當(dāng)?shù)幕谆蜃鴺?biāo)系，利用函數(shù)求解數(shù)量積的最小值。 本題的得分率為0.56，屬于中等難度題，各水平組得分段和得分率如表7 所示。

表7 2020 年不同水平組考生第15 題作答情況

這是一個(gè)逐步遞進(jìn)的情境設(shè)置， 第一問的情境學(xué)生比較熟悉，第二問兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的設(shè)定，情境相對(duì)綜合，對(duì)考生處理問題的手段提出較高要求，使得該問的區(qū)分度明顯高于第一問。 G4 組考生作答情況符合預(yù)期， 能夠準(zhǔn)確完成第一問的解答， 恰當(dāng)?shù)卦O(shè)定參數(shù)，選擇基底或建立平面直角坐標(biāo)系解決第二問，展現(xiàn)出較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。 同時(shí)，G1、G2 組考生得0分的比例較高， 即使試題用平面向量的線性運(yùn)算及平面圖形共同展示向量與向量的位置關(guān)系， 考生還是不能正確解決第一問。 在考生問卷反饋中，有9.91%的考生反映“運(yùn)用基底求解時(shí)，向量的夾角找錯(cuò)或者共線的條件理解錯(cuò)誤”， 有15.34%的考生反饋“數(shù)學(xué)運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤”，可見其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)需要提升。 G1、G2 組考生得5 分的比例明顯偏低，G3 組有相當(dāng)一部分考生只得到3 分， 這些考生應(yīng)當(dāng)是掌握了平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，也能認(rèn)識(shí)到平面向量運(yùn)算的幾何意義， 但在處理第二個(gè)問題時(shí)遇到困難。 在考生問卷中，有12.29% 的考生反饋“建系求解時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)求錯(cuò)或M 與N 的坐標(biāo)的關(guān)系理解錯(cuò)誤”，由于考生不適應(yīng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)， 不能選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繉⑺髷?shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而失分。 在考生問卷中，還有21.39% 的考生反饋“直接放棄”，說明此題得分偏低應(yīng)當(dāng)還有試題位置、呈現(xiàn)方式等方面的原因，影響了考生的心理狀態(tài)，未進(jìn)行深入的思考就匆忙作答。

【啟示】 平面向量具有幾何與代數(shù)的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何， 也完成了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的緊密結(jié)合，特別是代數(shù)方面，是考生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的基本知識(shí)。 高考數(shù)學(xué)天津卷比較穩(wěn)定地利用中等難度題或難題完成對(duì)平面向量的考查， 雖然解決問題的一般思路比較固定，但綜合性較強(qiáng)，對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有較高要求。在日常學(xué)習(xí)時(shí)，考生要注意清晰地認(rèn)知平面向量基本定理， 挖掘題目中的幾何條件與向量表示間的聯(lián)系，注意通性通法；在解決問題的過程中，要注意梳理運(yùn)算方法，并養(yǎng)成對(duì)不同解題程序進(jìn)行比較的習(xí)慣。

例4：2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷第19 題

已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1，a5=5（a4-a3），b5=4（b4-b3）．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：

（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和．

【情境】求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明與等差數(shù)列前n 項(xiàng)和有關(guān)的不等式， 求數(shù)列的前2n 項(xiàng)和。

【分析】本題主要考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差、等比前n項(xiàng)和公式，以及利用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法求和。 第二問只需考生正確求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后作差比較即可；第三問需要考生觀察數(shù)列{cn}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)，對(duì)求和方法進(jìn)行篩選。 本題的得分率為0.64，屬于中等難度題，題目三小問分值分別為6 分、3 分、6 分，各水平組得分率如表8 所示。

表8 2020 年不同水平組考生第19 題作答情況

第一問情境考生比較熟悉，普遍完成得較好。第二問有較好的區(qū)分度，根據(jù)考生反饋，將重心放到不等式證明上、一味地尋找變換的技巧，是沒有正確作答的原因。

第三問的情境比較綜合，將等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}通過運(yùn)算生成新數(shù)列{cn}，用分段函數(shù)給出新數(shù)列{cn}的通項(xiàng)，讓考生求其前2n項(xiàng)和，有一定的難度。 根據(jù){cn}通項(xiàng)的特點(diǎn)，考生能夠想到從奇偶分析入手，將數(shù)列{cn}前2n項(xiàng)和進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 但是考生對(duì)抽象的符號(hào)運(yùn)算不理解， 據(jù)考生問卷反饋，“不能對(duì)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)， 無法進(jìn)一步作答”是他們的第一道障礙。

對(duì)于{cn}的偶數(shù)項(xiàng)和，考生大多首選錯(cuò)位相減法，但是在利用錯(cuò)位相減求和時(shí)，項(xiàng)數(shù)的認(rèn)知錯(cuò)誤是導(dǎo)致失分的主要原因。 也有考生利用裂項(xiàng)相消來求{cn} 的偶數(shù)項(xiàng)和， 但由于待定系數(shù)法不熟練導(dǎo)致錯(cuò)解，可見考生數(shù)學(xué)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性還需加強(qiáng)。而{cn}的奇數(shù)項(xiàng)，雖不能直接求和，但可以利用待定系數(shù)或者觀察數(shù)列“遞推規(guī)律”進(jìn)行正確裂項(xiàng)，完成求和，當(dāng)然這樣的情境還是有一定難度的。 根據(jù)得分段可以看到，G1、G2、G3 組表現(xiàn)一般，G4 組考生表現(xiàn)突出，在綜合的情境中表現(xiàn)出了較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展水平。

表9 2020 年不同水平組考生第19_3 題得分段

【啟示】 高中階段對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)要求比較高，除了要認(rèn)真研究等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，還要提高對(duì)抽象復(fù)雜的運(yùn)算符號(hào)的理解、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，特別是要認(rèn)識(shí)到數(shù)列是特殊的函數(shù)， 遞推規(guī)律是需要重點(diǎn)研究的性質(zhì)， 要發(fā)現(xiàn)數(shù)列的每一條性質(zhì)和每一種數(shù)學(xué)方法與數(shù)列的遞推規(guī)律間的聯(lián)系。

高考對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求很高。 經(jīng)過高中階段的學(xué)習(xí)，部分考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)顯著提高，例如G4 組考生， 能夠準(zhǔn)確地利用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題，面對(duì)不同問題情境能夠恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)運(yùn)算程序，優(yōu)化運(yùn)算方法。但G1 組考生表現(xiàn)出較低的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展水平，有極大的發(fā)展空間，如何提高這類考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力值得深入研究。

（三）邏輯推理素養(yǎng)水平發(fā)展一般，部分考生差異明顯

邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿高中階段學(xué)習(xí)的始終。邏輯推理素養(yǎng)是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。 考生的邏輯推理素養(yǎng)水平主要表現(xiàn)在能否利用推理形式的規(guī)則， 有邏輯地表達(dá)和交流，從而完成對(duì)數(shù)學(xué)問題的論證。

高考數(shù)學(xué)天津卷注重借助基礎(chǔ)知識(shí)考查考生用清晰、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的能力，在幾何證明和數(shù)列、 函數(shù)綜合題的考查中對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)提出了較高要求。 第2、17_1 題是學(xué)生熟悉的情境，利用不等式性質(zhì)判定兩個(gè)條件的邏輯關(guān)系，證明幾何體中的兩條直線垂直。 第19_2 題是關(guān)聯(lián)情境，證明與等差數(shù)列前n 項(xiàng)和有關(guān)的不等式。第20_2 題的情境比較綜合， 要求考生利用導(dǎo)數(shù)完成不等式的證明。全市考生在邏輯推理素養(yǎng)上的作答表現(xiàn)一般，得分率為0.56。 整體來看，G3、G4 組差距較小，G1、G2 組和G3 組差距明顯， 說明考生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平存在明顯差異。

表10 2020 年邏輯推理素養(yǎng)不同水平組考生作得分率

在邏輯推理素養(yǎng)的考查方面， 高考數(shù)學(xué)天津卷的情境設(shè)置關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)。 例如，第19_2 題全體考生得分率為0.65， 屬于容易題； 其中，G4 組得分率為0.95，G1 組得分率僅為0.11。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

由考生的實(shí)際作答情況可以看到， 圖1 僅僅是將表達(dá)式表示出來； 圖2 得到表達(dá)式后有比較大小的意向；圖3 只是分析的過程，不能將證明清晰地表達(dá)出來，表明考生的邏輯推理素養(yǎng)比較欠缺；圖4、圖5、圖6 不但非常準(zhǔn)確地得到兩組代數(shù)式，更能選擇恰當(dāng)?shù)淖魃?、作差和分析法完成證明，表現(xiàn)出較高的邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展水平。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》沒有在必修和選擇性必修部分安排集中的推理與證明的學(xué)習(xí)內(nèi)容， 對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)是滲透在各主題的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中的。 在日常教學(xué)中， 教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)新知識(shí)時(shí)找出條件與結(jié)論的聯(lián)系，設(shè)計(jì)論證的思路，選擇合適的論證方法，并準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。

例5：2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷第20_2 題

已知函數(shù)f（x）=x3+klnx（k∈R），f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)k=6 時(shí)，

（i）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)k≥-3 時(shí)，求證：對(duì)任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有

【情境】在第一問研究函數(shù)單調(diào)性和極值的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。

【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值及函數(shù)不等式證明。 第一問要求考生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值。 第二問需要將所證不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 通過構(gòu)造函數(shù)并利用第一問所討論函數(shù)的性質(zhì)完成作答。本題得分率為0.34，屬于難題； 其中第一問的兩小問分值分別為4 分、5分，第二問分值為7 分。

表11 2020 年不同水平組考生第20 題作答情況

第一問中求曲線的切線，考生非常熟悉，各水平組完成都較好， 反映出考生良好的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)， 但在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值時(shí)，G1、G2、G3 的表現(xiàn)與G4 組差距過大，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展水平的差距。在考生問卷中，有18.64% 考生對(duì)此題“直接放棄”，可見考生沒有分析題目，沒有做好解決問題第一步的準(zhǔn)備，這來自于考生對(duì)自己數(shù)學(xué)素養(yǎng)不客觀的評(píng)價(jià)。 也有一些考生出現(xiàn)了忽略了函數(shù)定義域、 導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷錯(cuò)誤等問題， 表現(xiàn)出考生在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)方面的欠缺。

第二問是較復(fù)雜的綜合情境，考生知道需要利用第一問所研究函數(shù)的性質(zhì)，但卻不能對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找不到二者之間的聯(lián)系，也就無法作答。

【啟示】高考數(shù)學(xué)天津卷常借助導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng)，比較注重題目情境的創(chuàng)新。在教師問卷中，有42.76%的教師認(rèn)為此題最“有新意”，這也說明此題情境新穎，考生需要分析不等式的結(jié)構(gòu)，利用換元構(gòu)造新函數(shù)，再聯(lián)系第一問完成解答，思路是明晰的，但由于情境較為陌生，考生不知如何入手，作答表現(xiàn)一般， 僅有G4 組考生表現(xiàn)出較高的邏輯推理能力。 在日常教學(xué)中，教師要敢于在綜合的情境中“設(shè)計(jì)”數(shù)學(xué)命題，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用常用的邏輯推理方法進(jìn)行探索論證的訓(xùn)練， 并運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)論證過程， 以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展水平。

在邏輯推理素養(yǎng)方面， 考生在綜合情境下能力未得到全面發(fā)揮，面對(duì)新問題，不能將所學(xué)的知識(shí)和方法與新問題合理關(guān)聯(lián)， 說明考生的邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展是片面的。 同時(shí)， 推理論證過程的表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，說明考生邏輯推理方法的訓(xùn)練不夠系統(tǒng)，這也需要引起教學(xué)中的關(guān)注。

三、教學(xué)建議

（一）重視基礎(chǔ)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)

2020 年高考數(shù)學(xué)天津卷注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注學(xué)科主干知識(shí)，整體得分率為0.74，得分率在0.7以上的題目共104 分， 占試卷的69.3%， 對(duì)核心概念、基本方法做了全面考查?？忌鎸?duì)自己熟悉的情境做出錯(cuò)誤解答， 往往源于對(duì)基本概念的不理解或錯(cuò)誤認(rèn)知。

基礎(chǔ)知識(shí)是提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、 培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的前提。 在高三復(fù)習(xí)階段，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究《教學(xué)指導(dǎo)意見》和《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，梳理主干知識(shí)，通過回顧、梳理，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、結(jié)構(gòu)化，完成對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)、再理解，在問題解決的過程中提高分析和解決問題的基本技能， 這是高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)首要達(dá)成的目標(biāo)。

（二）重視思想方法的再提煉

高考數(shù)學(xué)天津卷在函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等主干知識(shí)的考查中體現(xiàn)出較高的綜合性，注重知識(shí)點(diǎn)的交匯，要求考生能夠深入地分析題目條件、合理地進(jìn)行轉(zhuǎn)化、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，要求考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)， 是研究數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)提煉的基本觀點(diǎn)。 強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的理解， 可以幫助學(xué)生完成對(duì)關(guān)聯(lián)情境和綜合情境問題的解決，形成良好的程序化方法。復(fù)習(xí)備考階段不應(yīng)只強(qiáng)調(diào)思想方法的組合運(yùn)用， 更要關(guān)注解題方向的探究、解題方法的比較與優(yōu)化，時(shí)刻注意思想方法的再提煉。

（三）重視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的再積累

高考數(shù)學(xué)天津卷注重與日常教學(xué)銜接， 許多題目的情境是學(xué)生相當(dāng)熟悉的， 考查的知識(shí)點(diǎn)比較穩(wěn)定。 日常教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，利用教材、歷年真題等參考資料，經(jīng)歷“操作——探究——確認(rèn)——應(yīng)用——反思”等過程完成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的再積累。 這一過程應(yīng)由學(xué)生完成，不能被他人替代。

（四）重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)的再提升

高考數(shù)學(xué)天津卷通過設(shè)置關(guān)聯(lián)情境考查多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是可以通過數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)來提升的。高考數(shù)學(xué)天津卷通過不同情境的試題聚焦不同的核心素養(yǎng)。 這提示教師要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教與學(xué)的全過程，要重點(diǎn)借助不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，設(shè)置關(guān)聯(lián)、綜合情境的問題，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在高三復(fù)習(xí)過程中感受到自己數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平的提高， 提升解決數(shù)學(xué)問題的自信。