無(wú)窮積分余項(xiàng)與其被積函數(shù)比值的收斂階

王鳳瓊

(成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，成都610225)

1 引 言

以例子形式給出兩個(gè)簡(jiǎn)單情形的對(duì)應(yīng)比值結(jié)束本節(jié).

2 主要結(jié)果

對(duì)q>0，Gamma函數(shù)的余項(xiàng)

有如下結(jié)論[5]

Γ(q，x)～xq-1e-x(x→+∞).

(1)

命題1對(duì)于c>0，α>0和β>-1， 設(shè)

證令u=ctα，則由式(1)，得

因此當(dāng)x→ +∞時(shí)，有

但一般情形， 有

(2)

注2 由洛必達(dá)法則， 有

記Fα(x)=Fα，0(x)， 下面考慮它在區(qū)間[0，+∞)上的單調(diào)性， 依據(jù)文[3]定理1和2 的思路可以得到如下結(jié)果:

命題2當(dāng)0<α<1 時(shí)Fα(x)在[0，+∞)上嚴(yán)格單增， 當(dāng)α>1時(shí)Fα(x)在[0，+∞)上嚴(yán)格單減.

證記φα(x)=φα，0(x). 計(jì)算得到

F′α(x)=αcxα-1Fα(x)-1=αcxα-1e-cxαfα(x)，

(3)

進(jìn)而， 有

因此對(duì)x∈(0，+∞)， 當(dāng)0<α<1時(shí)有fα(x)>0， 當(dāng)α>1時(shí)有fα(x)<0. 故由式(3)得到Fα(x)在區(qū)間[0，+∞)上的單調(diào)性.

將命題1的結(jié)論應(yīng)用到Mittag-Leffler函數(shù)[6]， 這個(gè)函數(shù)與分?jǐn)?shù)階微積分以及分?jǐn)?shù)階微分方程有著緊密關(guān)系.

對(duì)于Mittag-Leffler函數(shù)

文[6]得到

于是當(dāng)x→ +∞時(shí)， 有

(4)

(5)

下面令

(6)

為繼續(xù)下去， 需要如下引理([4]， 第三章第10節(jié)，P63-64).

于是由式(4)-(6)和引理1， 當(dāng)x→ +∞時(shí)有

其中最后一個(gè)等價(jià)由式(1)得到. 可見， 仍然與β無(wú)關(guān).

3 級(jí)數(shù)情形

引理2[7](Stolz定理) 設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)列{xn}，{yn}滿足:

(ii) {yn}嚴(yán)格遞減；

證當(dāng)x→0時(shí)有(1+x)θ-1～θx， 其中θ為一個(gè)常數(shù). 由引理2， 有

(7)

從而

所以

所以

故

4 結(jié) 論

致謝本文得到高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心2019年項(xiàng)目和成都信息工程大學(xué)教改項(xiàng)目的支持， 文獻(xiàn)[3，4，6]給予本文很大的啟示， 審稿人的意見改進(jìn)了本文， 在此一并表示感謝!