最小二乘法在劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

花曉彬,花世群

(江蘇大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

劈尖干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有代表性的基礎(chǔ)性光學(xué)實(shí)驗(yàn)之一。目前對劈尖干涉的研究主要有兩個(gè)方面：1.應(yīng)用研究，如直接將劈尖干涉儀用于測量激光波長[1]、材料的楊氏彈性模量[2，3]和基于劈尖干涉原理的液體折射率的測量[4，5]等；2.測量方法研究，如曲鐵平等人通過研究空氣劈尖等厚干涉條紋的反襯度，提出實(shí)驗(yàn)中應(yīng)合理選擇較低級次干涉條紋[6]，朱俊等人分析了移測顯微鏡十字叉絲豎線與測量運(yùn)動(dòng)方向的不垂直度對測量結(jié)果的影響，設(shè)計(jì)了提高移測顯微鏡測量精度的十字叉絲定向器[7]，并申請發(fā)明專利[8]。上述對劈尖干涉的研究，均未涉及到數(shù)據(jù)處理方法。本文基于劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中，移動(dòng)顯微鏡所測得的干涉條紋在水平方向的位置讀數(shù)和級次，提出應(yīng)用最小二乘法擬合空氣薄膜上表面與垂直于棱邊平面的交線方程,進(jìn)而獲取劈尖干涉儀所夾細(xì)絲直徑值的新方法。

1 測量原理

圖1所示的劈尖干涉儀，由兩塊光學(xué)平板玻璃一端疊合在一起，另一端夾一根細(xì)絲組成,位于上方的平板玻璃下表面與下方平板玻璃上表面之間形成的劈尖形狀空氣薄層，在單色平行光自上而下垂直入射時(shí)，利用空氣薄層上、下表面對入射光的依次反射，產(chǎn)生如圖2所示，與兩玻璃板棱邊平行的一系列明暗交替排列的直條紋，這些平行且等間距的直干涉條紋可近似認(rèn)為分布在劈尖形狀空氣薄層上表面上。

圖1 空氣劈尖干涉裝置

圖2 空氣劈尖干涉圖樣

利用如圖1所示的劈尖干涉儀裝置，測量用于產(chǎn)生空氣劈尖的細(xì)絲直徑D時(shí)，理論上可通過讀數(shù)顯微鏡，先用圖2中的顯微鏡叉絲豎線對準(zhǔn)劈尖干涉儀棱邊處的零級暗紋，轉(zhuǎn)動(dòng)讀數(shù)顯微鏡鼓輪，最后將顯微鏡叉絲豎線對準(zhǔn)細(xì)絲在距離棱邊L處產(chǎn)生的暗紋，數(shù)出顯微鏡移動(dòng)過程叉絲掃過的暗紋數(shù)K(等于劈尖干涉儀在細(xì)絲所在處產(chǎn)生的干涉暗紋級次)，再由下面公式計(jì)算得到[9]。

(1)

式中，λ=589.3 nm，為實(shí)驗(yàn)中使用的鈉光源波長。

實(shí)際測量中，考慮到在距離棱邊L處的干涉暗紋級次K值較大，不易準(zhǔn)確讀出，為避免條紋數(shù)的誤讀，通常都采用測量N條干涉條紋的分布長度LN，由計(jì)算得到的單位長度上的干涉條紋數(shù)N/LN，進(jìn)而用公式(2)計(jì)算出細(xì)絲的直徑[10]。

(2)

如圖3所示，在劈尖干涉儀的棱邊上選擇一點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過o點(diǎn)做一個(gè)垂直于劈尖棱邊的截面，在該截面內(nèi)建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，其中，x軸建立在與直干涉條紋相垂直的方向(即測量干涉條紋位置時(shí)讀數(shù)顯微鏡的水平移動(dòng)方向)，y軸建立在豎直向上方向。

圖3 垂直劈尖棱邊平面直角坐標(biāo)系

設(shè)圖3中劈尖形狀的空氣層上表面與平面直角坐標(biāo)系xoy的交線為op，則交線op在xoy平面內(nèi)的直線可表示為如下方程

y=kx

(3)

其中，k為直線op的斜率。

若在圖2中移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡觀測干涉條紋時(shí)，顯微鏡中的十字叉絲豎線起始對準(zhǔn)的條紋位置讀數(shù)為s0，沿與干涉條紋垂直的方向(即x軸正方向)移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡，連續(xù)測得圖2中每隔N個(gè)條紋的位置讀數(shù)，并將結(jié)果分用s1、s2、…、sM(M表示測點(diǎn)的數(shù)目)表示。現(xiàn)將平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)o平移到條紋的起始測量位置o′處，則在平移后的平面直角坐標(biāo)系x′o′y′中，上述M組條紋位置測點(diǎn)的橫坐標(biāo)可用公式(3)表示為

(4)

考慮到空氣劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中入射光的垂直入射條件，相鄰兩個(gè)級次的暗紋在豎直方向空氣層厚度差為二分之一波長，則在平面直角坐標(biāo)系x′o′y′中，上述M組條紋位置測點(diǎn)的縱坐標(biāo)值可用公式(5)表示為

(5)

y′=kx′

(6)

將方程(6)中擬合得到的直線斜率k和圖1中細(xì)絲相距棱邊的距離L作為橫坐標(biāo)值一同代入方程(3)的右端，算得的乘積即為細(xì)絲直徑值D。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證文中提出的新的數(shù)據(jù)處理方法，按通常的實(shí)驗(yàn)操作步驟對長度L=55 mm空氣劈尖進(jìn)行了實(shí)際測量，N=30，M=4，其他數(shù)據(jù)見表1。

表1 條紋位置坐標(biāo)數(shù)據(jù) (10-3mm)

采用最小二乘法，將表1測量數(shù)據(jù)代入公式(6)進(jìn)行直線擬合(如圖4所示)，擬合結(jié)果如下：

圖4 交線op直線方程擬合

y′=0.001 922 54x′,R2=0.999 999 54

將擬合所得交線op斜率k=0.001 922 54和L=55mm一同代入方程(3)的右端，求得細(xì)絲直徑D=0.105 74mm。

由表1測量數(shù)據(jù)，可得30條干涉條紋的分布長度平均值LN=(34.798-16.401)/4=4.599 2mm，按公式(1)求得的細(xì)絲直徑值D=0.105 71mm。比較新舊兩種數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果，兩者相對誤差為0.031%。

3 結(jié) 語

通過將空氣劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中觀測到的等厚干涉條紋位置讀數(shù)和級次差數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為劈尖干涉儀中空氣薄層上表面與棱邊相垂直的直線上的測點(diǎn)坐標(biāo)，并采用最小二乘法擬合直線方程,求得細(xì)絲直徑的新方法不僅可行，而且結(jié)果可靠的。另外，新的數(shù)據(jù)處理方法不僅通過實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn)的物理原理和思想，強(qiáng)化了學(xué)生對劈尖等厚干涉特點(diǎn)的理解，還訓(xùn)練了學(xué)生學(xué)會(huì)用物理語言和基本的數(shù)學(xué)方法處理科學(xué)問題。