基于MATLAB的地磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)模擬分析

鐘海堅(jiān)，陳宗華，趙炳炎

(玉林師范學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院，廣西 玉林 537000)

宇宙中的高能粒子對(duì)航天器的具有強(qiáng)大的破壞作用，如果宇宙高速粒子直接射向地球空間環(huán)境將對(duì)航天航空[1,2]，廣播通信以及電力等領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響。自1958年探索者1號(hào)上的蓋格計(jì)數(shù)器發(fā)現(xiàn)范艾倫輻射帶以來(lái)研究人員就對(duì)它進(jìn)行持續(xù)不斷的研究，目前關(guān)于范艾倫輻射帶中粒子的來(lái)源、分布、傳輸以及損耗等方面的已經(jīng)取得了一定的成果。

研究帶電粒子在地磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)有助于了解范艾倫輻射帶對(duì)地球電磁環(huán)境的保護(hù)作用，預(yù)測(cè)太陽(yáng)異?；顒?dòng)或太空天氣變化引發(fā)地磁場(chǎng)粒子異?；顒?dòng)對(duì)相關(guān)領(lǐng)域可能產(chǎn)生的影響[3]。本文主要基于磁偶極場(chǎng)模型，從帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，利用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)帶電粒子在地球磁場(chǎng)中的部分運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析并討論粒子的彈跳運(yùn)動(dòng)、漂移運(yùn)動(dòng)和拋射角范圍。

2 物理模型及基本方程

2.1 無(wú)太陽(yáng)風(fēng)影響模型

在某種情況下地球可認(rèn)為是一個(gè)巨大的磁偶極子。所以，這里地磁場(chǎng)用偶極場(chǎng)近似，其模型[4]為

(1)

(2)

2.2 有太陽(yáng)風(fēng)影響模型

因?yàn)樽匀唤绲拇努F(xiàn)象均可以等效為若干個(gè)偶極場(chǎng)的疊加[5,6]，所以用兩個(gè)偶極場(chǎng)疊加對(duì)受太陽(yáng)風(fēng)影響的地磁場(chǎng)做近似，取

(3)

根據(jù)式以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求出x,y,z∈[-75Re,75Re]區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，利用MATLAB的streamline函數(shù)畫(huà)出磁感線，得到如圖1所示地球磁場(chǎng)磁感線分布圖。

由圖1可知，在近地空間中向陽(yáng)側(cè)磁頂層受太陽(yáng)風(fēng)影響其形狀近似半球，同時(shí)背陽(yáng)面的磁力線向后延伸形成磁尾這與真實(shí)地磁分布類(lèi)似。

圖1 地球磁場(chǎng)磁感線分布

3 地球磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程

在近地空間中，帶電量為q，質(zhì)量為m，速度為v，能量為10 MeV的粒子，在電場(chǎng)強(qiáng)度為E磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其所受的電磁場(chǎng)作用力由洛倫茲力公式[7]給出

(4)

其中，γ為相對(duì)論因子γ=(1-v2/c2)-(1/2)，考慮到E(r)=0，故式可以寫(xiě)成如下分量形式

隨著湖南省“一帶一部”新戰(zhàn)略的推進(jìn)，湖南希望逐步發(fā)展成為中國(guó)中西部地區(qū)新興增長(zhǎng)極，成為溝通東西、連接南北的中國(guó)重要交通樞紐，成為生態(tài)文明體制機(jī)制創(chuàng)新示范區(qū)，這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)無(wú)疑都離不開(kāi)城市化與生態(tài)環(huán)境的協(xié)調(diào)持續(xù)發(fā)展。

(5)

式為二階微分方程組，由于難以找到解析解，故需進(jìn)行數(shù)值求解。

4 帶電粒子在地磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

以太陽(yáng)風(fēng)中的一束粒子為研究對(duì)象，研究在地球磁場(chǎng)中質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子的帶電量為e=1.602 176 565×10-19C，質(zhì)子的質(zhì)量為m=1.672 621 777×10-27kg，粒子的起始位置為(4Re,0,0)，入射速度與磁場(chǎng)的夾角(拋射角)為30°，粒子的動(dòng)能為10 MeV。根據(jù)式計(jì)算得出該粒子在地磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示。

圖2 質(zhì)子在地磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡

4.1 粒子在地磁場(chǎng)中的彈跳運(yùn)動(dòng)

在能量大于105eV的中高能粒子研究中，可以不考慮電場(chǎng)(旋轉(zhuǎn)電場(chǎng)和Volland對(duì)流電場(chǎng))的影響[8]，所以作用在粒子上的力只有洛倫茲力，粒子的動(dòng)能Ek=Ek⊥+Ek‖=恒量。由于地磁場(chǎng)縱向是非均勻的，所以穿過(guò)粒子回旋半徑圓的磁感線不垂直于該圓所在的平面，洛倫茲力可分解為垂直于磁場(chǎng)的分量F⊥和平行于磁場(chǎng)的分量F‖。其中，洛倫茲力平行于磁場(chǎng)的分量F‖指向弱磁場(chǎng)的區(qū)域，它使從弱磁區(qū)向強(qiáng)磁區(qū)運(yùn)動(dòng)粒子速度的縱向分量v‖不斷減小直至為零，然后將其反向加速，粒子完成一次彈跳運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。

圖3 帶電粒子在地磁場(chǎng)中的彈跳運(yùn)動(dòng)

由此可知，地磁場(chǎng)的磁鏡結(jié)構(gòu)使得以一定角度射入地磁場(chǎng)的帶電粒子一直做往返于兩磁極的彈跳運(yùn)動(dòng)被束縛在地磁場(chǎng)中。地磁場(chǎng)的磁鏡結(jié)構(gòu)可以將太陽(yáng)風(fēng)中的中高能帶電粒子束縛在其中對(duì)地球空間環(huán)境起到了保護(hù)作用。

4.2 帶電粒子在地磁場(chǎng)中的漂移運(yùn)動(dòng)

在研究粒子的漂移運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)可視為繞引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)和引導(dǎo)中心沿磁力線運(yùn)動(dòng)的疊加[9]。此時(shí)，引導(dǎo)中心具有平行于磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向的速度分量v‖，粒子受到慣性離心力作用發(fā)生漂移運(yùn)動(dòng)，即曲率漂移。粒子所受的慣性離心力為：

(6)

其中，rc的大小為磁力線的曲率半徑,方向指向磁力線彎曲外側(cè)的法向。對(duì)應(yīng)的曲率漂移速度[10]為：

(7)

由地磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布形狀知，地磁場(chǎng)在橫向上為非均勻分布，磁場(chǎng)的橫向梯度將對(duì)粒子產(chǎn)生力的作用，該作用力為：

F=?(pm·B)=-pm?B

(8)

其中，pm為粒子繞引導(dǎo)中心運(yùn)動(dòng)的磁矩。

在此作用力下，帶電粒子將做垂直于磁場(chǎng)方向的漂移運(yùn)動(dòng)，即梯度漂移。其速度為：

(9)

由此可知，粒子在地磁場(chǎng)中的曲率漂移和梯度漂移的速度取決于粒子的性質(zhì)：正、負(fù)粒子的漂移方向相反，能量越大的粒子漂移速度越大。

4.3 帶電粒子在地磁場(chǎng)中的拋射角

由于地磁場(chǎng)是一個(gè)天然的磁鏡，在研究帶電粒子的拋射角大小與對(duì)應(yīng)的磁鏡點(diǎn)位置關(guān)系時(shí)，使用磁鏡的理論來(lái)研究。

(10)

從圖4得知，從(4Re,0,0)點(diǎn)拋射出粒子的磁鏡點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小由粒子的拋射角決定，當(dāng)粒子的拋射角小于1.11°，粒子的磁鏡點(diǎn)到地面的距離將小于100 km，此時(shí)粒子將會(huì)與地球大氣碰撞在反射前損失在地球大氣層中[8,12]；當(dāng)粒子的拋射角在1.11°～89.61°時(shí)，隨著拋射角增大磁鏡點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度先快速減小然后趨于不變。這主要是受到粒子曲率漂移影響的結(jié)果。

圖4 拋射角與磁鏡點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系

5 結(jié) 論

本文針對(duì)帶電粒子在地磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程利用MATLAB的ode45算法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解，同時(shí)，對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行仿真，進(jìn)一步分析了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，粒子的拋射角對(duì)粒子在地磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的影響，得到如下結(jié)論：

(1)地磁場(chǎng)的磁鏡結(jié)構(gòu)使得帶電粒子在兩磁極間做彈跳運(yùn)動(dòng)，為地球磁層阻擋宇宙高速粒子保護(hù)地球電磁環(huán)境奠定基礎(chǔ)

(2)對(duì)于帶電粒子在地磁場(chǎng)的漂移運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在地磁場(chǎng)中的漂移運(yùn)動(dòng)由粒子的性質(zhì)決定，正、負(fù)粒子的運(yùn)動(dòng)方向相反，運(yùn)動(dòng)速度大小與粒子的能量相關(guān)，能量越大的粒子運(yùn)動(dòng)速度越大。

(3)帶電粒子的拋射角越大，磁鏡點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，隨著拋射角增大磁鏡點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度先快速減小然后趨于不變，當(dāng)拋射角小于1.11°時(shí)，帶電粒子在反射前將損失在大氣層中。