Mathematica在鏡像法求解靜電場邊值問題中的應(yīng)用

曹 蓉，汪夢雅，夏杰楨，吳 琪

(西藏大學(xué) 理學(xué)院，西藏 拉薩 850000)

《電動力學(xué)》課程因其較深的數(shù)學(xué)理論和場的抽象性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往有恐懼心理，很難產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。靜電場的邊值問題是“電動力學(xué)”課程的重要內(nèi)容之一，當(dāng)求解的區(qū)域內(nèi)只有一個或幾個點電荷,區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面,對于這樣的區(qū)域電場的求解可以采用一種特殊的方法——鏡像法。雖然鏡像法求解靜電場邊值問題的步驟和思路較為簡單，但是利用鏡像法所求得的物理問題的數(shù)學(xué)表達式往往比較繁雜，學(xué)生也很難通過最后求解的數(shù)學(xué)表達式去理解復(fù)雜的場的空間分布，進而阻礙了學(xué)生對問題的物理認識。

因此為了更好地理解場的空間分布特點，繪制隨空間變化的可視化圖形是非常必要的。因此本文系統(tǒng)且全面的按照空間區(qū)域具有球面、柱面或無限大平面等幾何對稱性邊界的幾種情況，討論了空間中點電荷或線電荷不同分布情況下的幾種典型的鏡像法求解靜電場邊值問題，得出該區(qū)域的電勢分布和場強分布。并借助Mathematica 系統(tǒng)內(nèi)設(shè)的“繪制矢量場”的功能繪制出其等勢線和電場線圖，實現(xiàn)了場圖的可視化，進而幫助學(xué)生從復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)果中提煉直觀的物理認識，有助于學(xué)生深入認識靜電場中鏡像法的本質(zhì)和規(guī)律。

1 鏡像法理論

鏡像法[1]是求解靜電場邊值問題的一種特殊方法，這種求解方法的主要思想是將靜電場邊值問題中邊界對場的影響用求解區(qū)域外部假設(shè)的鏡像電荷來取代，鏡像電荷放在邊界的外部，它的存在不會改變所要研究區(qū)域內(nèi)電荷的分布，只要調(diào)整鏡像電荷的位置和大小，使得它產(chǎn)生的場和原電荷分布所產(chǎn)生的電場滿足給定的邊界條件要求，同時以靜電場唯一性原理為理論依據(jù)，可以找到滿足條件的解。

2 平面導(dǎo)體界面的鏡像

2.1 點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

點電荷與接地導(dǎo)體邊界問題是鏡像法應(yīng)用的一個典型例子，如圖1(a)(b)所示。

在求解區(qū)域中電位滿足：

?2φ=0，φ|導(dǎo)體板位置=φ|r→∞=0

(1)

采用鏡像法，用鏡像電荷來代替導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷后，新系統(tǒng)滿足：

(2)

根據(jù)靜電場唯一性原理：方程相同，邊界條件相同，那么解就是唯一的。因此這兩個系統(tǒng)的解就是一樣的，以r表示原電荷到場點P的距離，r′表示鏡像電荷q′到P點的距離，設(shè)原電荷到導(dǎo)體板的距離為a，則P點的電勢為：

(3)

圖1(a) 點電荷與無限接地導(dǎo)體

電勢分布圖清楚的顯示：導(dǎo)體板上方的電勢大于零，導(dǎo)體板上下電勢在導(dǎo)體板面處連續(xù)。

電場強度大小分布圖清楚的顯示：在靠近點電荷附近處電場變強，而在遠離點電荷最遠的導(dǎo)體板上下兩側(cè)，電場最弱。在導(dǎo)體板上方，表示電場強度方向的箭頭都是垂直指向?qū)w板下方的，這說明導(dǎo)體板是等勢面，而且感應(yīng)電荷是負的。

2.2 無限長線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖2(a)(b)所示的系統(tǒng)跟點電荷模型是類似的，找同樣的鏡像線電荷，只不過此時等效的是線電荷密度，該模型原來滿足的方程和邊界條件為：

(4)

依據(jù)靜電場唯一性原理，等效替換后可以求出上半空間的電位分布為：

(5)

同樣利用Mathematica軟件[3]求出電勢及電勢的梯度，得出場強x和z方向的分量表達式，然后根據(jù)這些表達式繪制出電場強度大小和電場強度方向的分布圖，最后用Show命令將場強方向和等勢線合并起來，結(jié)果如圖2(c)(d)所示。

圖2(a) 線電荷與無限接地導(dǎo)體

電勢分布圖清楚的顯示：導(dǎo)體板上方的電勢大于零，導(dǎo)體板上下電勢在導(dǎo)體板面處連續(xù)。

電場強度大小分布圖的特點和點電荷與無限大接地導(dǎo)體板鏡像的分布基本是一樣的。

2.3 點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像[4]

對于如圖3(a)(b)所示的系統(tǒng)，當(dāng)加入鏡像電荷時，需要滿足原來的邊界條件，即該無限大接地導(dǎo)體的電位為零，那么要想讓導(dǎo)體板(下)的電位為零，需要在其對稱的位置放一個等量負鏡像電荷，同時還得讓導(dǎo)體板(左)的電位為零，同樣根據(jù)對稱性，放一個等量負鏡像電荷，顯然此時導(dǎo)體板的電位不滿足為零，這時需要在導(dǎo)體板斜對角的對稱位置放一個等量正鏡像電荷，此時，這四個電荷在邊界產(chǎn)生的電位為零，根據(jù)分析可知，需要引入三個鏡像電荷才能滿足要求。則求解區(qū)域范圍內(nèi)場點的電勢為：

q=-q1=-q2=q3

(6)

(7)

運用mathematica軟件畫圖時，取點電荷的坐標(biāo)為(1,1)，三個鏡像電荷的坐標(biāo)也按單位長度取。此時可以畫出該系統(tǒng)的電勢空間分布圖和電場強度分布圖，如圖3(c)(d)。

(a)

從圖上可以看出在靠近點電荷附近處電場變強，在導(dǎo)體板左方，表示電場強度方向的箭頭都是垂直指向?qū)w板左方的，這說明導(dǎo)體板是等勢面，而且鏡像電荷是負的，同樣導(dǎo)體板下方也是一個負的鏡像電荷，位于導(dǎo)體板左下角處也有一個鏡像電荷，它的電場方向是指向右上方的，說明它是一個正的鏡像電荷。

3 導(dǎo)體球面的鏡像

3.1 點電荷位于接地導(dǎo)體球面外

解決這個問題同樣用鏡像法，以球心為坐標(biāo)原點，點電荷在X軸的延長線上，如圖4(a)所示，可以知道球面處的電位處處相等且為零，因此滿足邊界條件：

?2φ=0，φ|r→∞=φ|球面=0

(8)

由于無法確定感應(yīng)負電荷的分布，因此直接計算也是不容易的。本文假設(shè)鏡像電荷的位置如圖4所示，且滿足的邊界條件，即令球面電位等于零

(9)

同時r1,r2分別滿足

(10)

將r1,r2分別代入到(9)中可得

[q2(b2+R2)-q′2(d2+R2)]+2R(q′2d-q2b)cosθ=0

(11)

由于要對所有的角度都成立，所以cosθ前的系數(shù)必須等于零，且另一項也必須等于零，即

q′2d-q2b=0，q2(b2+R2)-q′2(d2+R2)=0

(12)

得到鏡像電荷的位置以及鏡像電荷的大小

(13)

因此，球面由鏡像電荷-q′等效替換后，球面可視為不存在，此時球外任一點p的電位和電場為

(14)

根據(jù)電勢和場強的表達式，編寫相關(guān)的程序[5]，得到電勢的空間分布圖和等勢線與電場強度方向的合并圖。如圖4(b)(c)所示。

(a)

3.2 點電荷位于不接地導(dǎo)體球面外

(15)

(16)

該系統(tǒng)的Mathematica的畫法跟接地系統(tǒng)[6]的畫法是相似的，同樣編寫出相關(guān)程序，就可以畫出系統(tǒng)的電勢分布圖和場強方向與等勢線的結(jié)合圖，如圖4(e)(f)。

圖4(b)清楚的顯示，球內(nèi)的電勢恒為零，球外的電勢大于零，并且球內(nèi)外電勢在球面是連續(xù)的。圖4(c)表明，球內(nèi)的電場恒為零，球外的電場發(fā)生突變，從圖上可以看出，越靠近點電荷附近，電場強度越強，同時遠離點電荷處，電場越弱。同時可以看出在球面的外側(cè)，電場強度的方向全部垂直指向球面里，這說明導(dǎo)體球面是等勢面，且設(shè)想的鏡像電荷是負的。

圖4(e)清楚的顯示，導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面，球外的電勢大于零，并且球內(nèi)外電勢在球面是連續(xù)的。圖4(f)表明，球內(nèi)的電場恒為零，球外的電場發(fā)生突變，從圖上可以看出，越靠近點電荷附近，電場強度越強，同時遠離點電荷處，電場越弱。同時可以看出在球面的外側(cè)，電場強度的方向全部垂直指向球面里，這說明導(dǎo)體球面是等勢面，且鏡像電荷是負的。

4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像

4.1 線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像[7]

(17)

由于導(dǎo)體圓柱接地，即導(dǎo)體邊界電位為零，因此有

(18)

上式對θ求導(dǎo)，可以得到

(19)

化簡得

(20)

利用Mathematica軟件可以實現(xiàn)該結(jié)果的可視化[8]，編寫電勢和場強的相關(guān)程序，畫出的圖形如圖5(b)(c)所示。

(a)

4.2 兩平行導(dǎo)體圓柱面的鏡像

根據(jù)上述線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像方法，只需要將線電荷看成兩個半徑相同，帶有等量異號電荷的平行導(dǎo)體圓柱面。由于正負電荷互相吸引，因此在這兩個導(dǎo)體靠近的地方電荷分布密集，而兩側(cè)電荷分布稀疏，但具體電荷是怎樣分布是不確定的。此時滿足的方程和邊界條件分別是：

?2φ=0

(21)

(22)

利用鏡像法，用一根無窮長的細導(dǎo)線來等效替代?？梢杂嬎愠鋈我稽cP的電位。

那么電位就可以通過場強積分得到，即

(23)

利用Mathematica繪制出兩平行導(dǎo)體圓柱面的電勢和電場分布圖，如圖5(e)(f)所示。

圖5(b)清楚的顯示，導(dǎo)體圓柱面上的電勢恒為零，線電荷的電勢大于零，鏡像線電荷的電勢小于零。圖5(c)表明，越靠近線電荷附近，電場強度越強，同時遠離線電荷處，電場越弱。同時可以看出在導(dǎo)體圓柱面的外側(cè)，電場強度的方向全部垂直指向里面，這說明導(dǎo)體圓柱面是等勢面，且鏡像電荷是負的。

電勢分布圖5(e)清楚的顯示：正的導(dǎo)體圓柱面的電勢大于零，負的導(dǎo)體圓柱面的電勢小于零，且在等勢面上它們是連續(xù)的。

電場強度大小分布圖5(f)清楚的顯示：在靠近點電荷附近處電場變強，而在遠離點電荷處電場最弱。正的點電荷處，表示電場強度方向的箭頭都是垂直向外的，負的點電荷處，電場強度的方向是向里的。

5 電荷無限大介質(zhì)分界平面的鏡像

這個系統(tǒng)有兩層介質(zhì)且都是半無窮大的，中間有一個分界面，顯然這個系統(tǒng)的電場分布與之前導(dǎo)體的分析有所不同，因為導(dǎo)體是等電位的，但介質(zhì)不同，如圖6(a)所示的點電荷必然會向周圍產(chǎn)生電力線，且電力線會穿過下方的介質(zhì)，這樣的話就會使得下方介質(zhì)出現(xiàn)極化，極化會形成電偶極子，而電偶極子產(chǎn)生的場又難以分析，所以根據(jù)前面的分析，可以知道，下方介質(zhì)產(chǎn)生的場相當(dāng)于極化體電荷和極化面電荷共同產(chǎn)生的，如果是均勻介質(zhì)，則極化體電荷的密度為零，因此只有極化面電荷，但不知道這些電荷是正電荷還是負電荷，所以直接分析還是比較難的，此時可以想到還是利用鏡像法[9]解決，那么關(guān)鍵就是如何確定鏡像電荷的位置，如果在下方介質(zhì)中的對稱位置放一個鏡像電荷，依然無法確定電荷的電量，也無法確定電荷的個數(shù)，同時放入鏡像電荷的話，下方介質(zhì)中的電場分布也難以分析。因此對于這樣的系統(tǒng)可以采用二次鏡像法來分析，如圖6(b)(c)所示：

將下方介質(zhì)換成上方介質(zhì)，再在對稱位置放一個鏡像電荷q′，如果要求下方介質(zhì)電場的分布，那么注意此時的鏡像電荷q″應(yīng)該放在上方。從物理角度分析，分界面上方的電場由q與q′共同產(chǎn)生，q′等效替代極化電荷的影響，分界面下方的電場由q″決定，且用來代替自由電荷和無窮多個極化電荷的作用。那么這種代換是否正確，就需要通過唯一性定理證明，這個系統(tǒng)的方程和邊界條件分別是：

?φ1=0,?φ2=0

(24)

(25)

(26)

還是用Mathematica軟件，畫圖時將場分成兩個不同介質(zhì)的區(qū)域，分別編寫相應(yīng)的程序進行計算即可。得到的場圖如圖6(d)(e)所示。

(a)

圖6(d)(e)表明，導(dǎo)體圓柱面上的電勢恒為零，線電荷的電勢大于零，鏡像線電荷的電勢小于零。圖6表明，越靠近線電荷附近，電場強度越強，同時遠離線電荷處，電場越弱。同時可以看出在分界面的上方，電場強度的方向全部垂直指向分界面下方，這說明分界面下方設(shè)想的鏡像電荷是負的。

6 結(jié) 語

鏡像法是求解靜電場邊值問題的一種特殊方法，然而教材上對鏡像法的講解比較簡單。因此本文在課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)且全面的按照空間區(qū)域不同的幾何對稱性邊界(球面、柱面或無限大平面)，討論了空間中點電荷或線電荷不同分布情況下的幾種典型的鏡像法求解靜電場邊值問題。利用Mathematica對復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)果進行了數(shù)值模擬[10],并繪制了相應(yīng)的直觀的等勢線和電場線圖,這將有助于學(xué)生深入理解“電動力學(xué)”教材中靜電場鏡像法的內(nèi)容，同時對于靜磁場鏡像法場圖的可視化也有一定的啟發(fā)和借鑒意義。