初中幾何證明教學(xué)要注重“三個(gè)關(guān)注”

李 強(qiáng)

(上海市民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校 201800)

幾何學(xué)擁有悠久的歷史，在數(shù)學(xué)課程中具有不可替代的作用.[1]在經(jīng)歷過小學(xué)階段的實(shí)驗(yàn)幾何學(xué)習(xí)后，學(xué)生在初中階段開始進(jìn)入推理幾何的學(xué)習(xí).不同于實(shí)驗(yàn)幾何以歸納實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)空間的本質(zhì)，推理幾何重在以邏輯推理探索未知.[2]推理幾何以幾何證明為主要學(xué)習(xí)方式，對(duì)于學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等能力的發(fā)展都十分重要.[3-4]但學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明卻并不輕松，尤其是初中階段的幾何證明，往往是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).[5]如何進(jìn)行有效的初中幾何證明教學(xué)，自然非常值得重視.為此，研究提出初中幾何證明教學(xué)要重視“三個(gè)關(guān)注”，為這一教學(xué)難題的突破提供參考.

1 利器：關(guān)注基本幾何圖形的教學(xué)

工欲善其事，必先利其器.要想從容應(yīng)對(duì)初中幾何證明，學(xué)生就必須深諳各種基本幾何圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)，這里的基本幾何圖形，就是幾何證明中的重“器”.

李海東在解讀立體幾何教學(xué)時(shí)講道：空間圖形有一些簡(jiǎn)單的“基本圖形”, 厘清這些基本圖形的組成元素的位置關(guān)系, 在解決其它問題時(shí)便容易排除干擾, 便于提煉出本質(zhì)特征.[6]初中的平面幾何問題是高中立體幾何問題的特殊化，以三維視域下的高觀點(diǎn)看待二維平面幾何的證明，同樣有效.因此，初中教師進(jìn)行幾何證明教學(xué)時(shí)，其首要關(guān)注點(diǎn)即為基本幾何圖形的教學(xué).重視基本幾何圖形，其本質(zhì)在于重視結(jié)構(gòu)性知識(shí)，證明幾何問題時(shí)，掌握它們能夠幫助學(xué)生快速地從大腦中提取經(jīng)驗(yàn)圖式，提高解題效率.[7]

按照基本幾何圖形的來(lái)源進(jìn)行劃分，基本幾何圖形可分為兩類：一類是教科書中定義、定理中呈現(xiàn)出的基本幾何圖形，它們是幾何學(xué)習(xí)的根基；另一類是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的其余真命題所對(duì)應(yīng)的基本幾何圖形，它們能夠幫助學(xué)習(xí)者快速發(fā)現(xiàn)證明題中的“老熟人”，減少思維負(fù)擔(dān)，縮短思考時(shí)間.

先看如何進(jìn)行第一類基本幾何圖形的教學(xué).例如在學(xué)習(xí)完角平分線性質(zhì)定理及其逆定理后，教師就可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖1進(jìn)行重點(diǎn)研究.圖1的常規(guī)構(gòu)造方式如下，過∠AOB的頂點(diǎn)O作角平分線OC，在OC上任選一點(diǎn)P，分別作PE⊥OA，PF⊥OB，連接EF交OC于點(diǎn)D.由圖1可以得到哪些結(jié)論呢？在只考慮△OEP和△OFP的前提下，學(xué)生通過觀察、猜想、分析、證明可以得到：△OEP≌△OFP，由此還可以得到PE=PF，∠EPO=∠FPO等圖形特征.再將線段EF考慮進(jìn)去，還可以得到：OP垂直平分EF，DE=DF等幾何性質(zhì).此外，還可以先給出△OEP≌△OFP，推導(dǎo)出OP為∠AOB的角平分線.此處的圖1，即可被視作一個(gè)基于角平分線性質(zhì)定理或其逆定理所構(gòu)造的基本幾何圖形.

圖1 基于角平分線性質(zhì)的基本幾何圖形

圖2 問題1的對(duì)應(yīng)圖

再看一個(gè)第二類基本幾何圖形的教學(xué)案例.在幾何證明的教學(xué)過程中，問題1是一個(gè)經(jīng)典幾何證明題.

問題1：如圖2所示，CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°.求證：△BEC≌△ADC.

當(dāng)學(xué)生完成該證明后，教師可嘗試引導(dǎo)第一次調(diào)整圖形：將△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到其它位置(圖3).仍然提問此時(shí)△BEC≌△ADC是否成立？通過操作、猜想、分析、證明，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要點(diǎn)B、C、E不共線，結(jié)論仍然成立.再進(jìn)一步“刁難”學(xué)生，對(duì)圖形進(jìn)行第二次調(diào)整：△ACB和△DCE均為等邊三角形(圖4).并繼續(xù)追問此時(shí)△BEC≌△ADC是否仍然成立？學(xué)生通過操作、觀察、分析、證明不難發(fā)現(xiàn)：△BEC≌△ADC仍然成立.

圖3 第一次調(diào)整后的圖形

圖4 第二次調(diào)整后的圖形

最后引導(dǎo)學(xué)生觀察這圖2、圖3與圖4的共同特征：以同一頂角作兩個(gè)等腰三角形所得的圖形，一定存在一對(duì)全等三角形.

在幾何證明的教學(xué)過程中，越關(guān)注學(xué)生基本幾何圖形的積累，學(xué)生的幾何證明之“器”越是“鋒利”，學(xué)生證明幾何問題時(shí)越容易快速獲得隱蔽的信息，解題思路也就越開闊.

2 優(yōu)術(shù)：關(guān)注三類語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的教學(xué)

應(yīng)對(duì)萬(wàn)物變化，離不開“術(shù)”的支持.幾何證明中的“術(shù)”，是指完成幾何證明所需的必備技能，對(duì)三類語(yǔ)言(符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言)的自由轉(zhuǎn)換就是學(xué)生順利完成幾何證明的必備之術(shù).

初中生進(jìn)行幾何證明，需要掌握符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言.符號(hào)語(yǔ)言是一種由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和經(jīng)過改造的自然語(yǔ)言組成的科學(xué)語(yǔ)言，具有確定性強(qiáng)、通用性高、簡(jiǎn)潔明晰等特點(diǎn).[8]但與此同時(shí)，符號(hào)語(yǔ)言也具有較強(qiáng)的抽象性，這也導(dǎo)致了學(xué)生理解上的困難.圖形語(yǔ)言是幾何證明中的直觀圖形表示，與符號(hào)語(yǔ)言的抽象性不同，圖形語(yǔ)言具體而直觀，但卻需要學(xué)生具有較強(qiáng)的圖形處理能力.文字語(yǔ)言是指漢語(yǔ)文字，它與前兩種語(yǔ)言互為補(bǔ)充，使幾何證明的表述更便于理解.

僅僅掌握三種語(yǔ)言，還不足以應(yīng)對(duì)幾何證明.要想順利地完成幾何證明，就需要不停地將三類語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換.符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)換幾乎伴隨著整個(gè)證明過程的始末.對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言，幾何證明的過程是不斷地將直觀的圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，再在大腦中依據(jù)公理化體系進(jìn)行邏輯推理，再將推理后的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，然后將新的圖形語(yǔ)言作為下一步推理的原材料.當(dāng)然，也可以是以符號(hào)語(yǔ)言為起始.但無(wú)論哪種語(yǔ)言為先，輔以適當(dāng)?shù)奈淖终Z(yǔ)言，都將有助于兩種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換更加符合學(xué)生的思考.

初中生學(xué)習(xí)幾何證明困難，一部分原因在于學(xué)生無(wú)法保證三類語(yǔ)言間的順暢轉(zhuǎn)換.因此，為使學(xué)生掌握幾何證明的關(guān)鍵“術(shù)”，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三類語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力.在教學(xué)過程中，可以要求學(xué)生將定義、定理以基本圖形的形式表示出來(lái)，并引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明，使學(xué)生能夠：看見基本圖形能想到相關(guān)定義、定理(即文字語(yǔ)言)，想到幾何定義、定理就能作出相關(guān)幾何圖形(即圖形語(yǔ)言)，以及其它三類語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.

例如在“角平分線性質(zhì)”的教學(xué)過程中，教學(xué)得出角平分線性質(zhì)的文字表述后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考文字語(yǔ)言中的關(guān)鍵字詞，讓學(xué)生考慮性質(zhì)定理“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”是否可以去掉“這個(gè)”一詞？以及逆定理“在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”是否可以去掉“在角的內(nèi)部”？在理解了文字語(yǔ)言含義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生畫出這兩個(gè)定理所對(duì)應(yīng)的幾何圖形(圖5).最后再考慮讓學(xué)生基于圖形語(yǔ)言進(jìn)行合理的符號(hào)語(yǔ)言表述，即角平分線性質(zhì)定理：因?yàn)镺C平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，所以PF=PE；角平分線性質(zhì)定理逆定理：因?yàn)镻F=PE，PE⊥OA，PF⊥OB，所以O(shè)C平分∠AOB.

圖5 角平分線性質(zhì)的圖形語(yǔ)言表述

3 明道：關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

何謂“道”？簡(jiǎn)言之，即規(guī)律，原理，本質(zhì).凡事只有達(dá)到“明道”的境界，方可看透表象，直曉內(nèi)里.學(xué)生只有熟練掌握了幾何證明中的數(shù)學(xué)思想方法，方可明幾何證明之道，游刃有余于幾何證明之中.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵.[9-13]初中幾何證明題的基本思想方法包括綜合法和分析法，綜合法是由因?qū)Ч?，分析法是?zhí)果索因.對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的幾何證明問題，通過已知條件進(jìn)行正向思考，便可以證明出結(jié)論，即通過“綜合法”的證明思想解決問題.但是對(duì)于一些復(fù)雜的幾何證明問題，往往很難通過已知條件快速地找到解題思路，這時(shí)候就可以考慮從結(jié)論入手，對(duì)能夠推導(dǎo)出結(jié)論的各種途經(jīng)進(jìn)行分析，由結(jié)論反推，即通過“分析法”的證明思想解決問題.當(dāng)然，還有很多問題需要兩種證明思想的結(jié)合，即常說(shuō)的“兩頭湊”.

接下來(lái)，基于“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)定理的證明，進(jìn)行分析法與綜合法的教學(xué)舉例.

圖6 問題2的對(duì)應(yīng)圖

關(guān)于幾何證明的思想方法，僅講綜合法與分析法還不夠，教學(xué)中還需要關(guān)注幾何證明的方法系統(tǒng).張景中先生曾經(jīng)提出數(shù)學(xué)教學(xué)的“中巧”說(shuō)，即數(shù)學(xué)解題方法的教學(xué)不宜“大巧”或“小巧”，最好是進(jìn)行有章可循的招式教學(xué)(即“中巧”).[14]這種“中巧”思想，便是一種教學(xué)中的可用之“道”：既能夠以一統(tǒng)百，幫助學(xué)生抓住幾何證明的本質(zhì)；又并非“大道無(wú)形”的絕學(xué)，讓學(xué)生難以掌握.劉辰等人基于“中巧”思想，提出“命題聯(lián)想系統(tǒng)”，包括：看到題目條件(或定理、法則)時(shí)，思考它可以推出哪些新的命題，這稱為“下游命題系統(tǒng)”；看到題目的結(jié)論時(shí)，聯(lián)想到哪些命題可以推出它，這稱為“上游命題系統(tǒng)”.[15]因此，教學(xué)中要注重對(duì)求常見命題的證明方法的歸納和總結(jié)，在此將常見證明方法的匯聚稱為“證明方法系統(tǒng)”.

那么，如何通過教學(xué)幫助學(xué)生在其頭腦中形成證明方法系統(tǒng)呢？下面以如何證明“兩角相等”為例，進(jìn)行相應(yīng)說(shuō)明.

問題3：如圖7所示，AB=AC，DB=DC.求證：∠B=∠C.

圖7 問題3的對(duì)應(yīng)圖

此題的證明很簡(jiǎn)單，但其教學(xué)目標(biāo)并非使學(xué)生“會(huì)證明”，而定位于讓學(xué)生找到不同證明方法，以及思考如何想到各類證明方法，幫助學(xué)生在大腦中建構(gòu)出“兩角相等”問題的證明系統(tǒng).本題的常規(guī)證明方法有兩種：第一種，聯(lián)結(jié)AD，通過全等三角形對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行證明；第二種，聯(lián)結(jié)BC，則得到兩個(gè)等腰三角形，進(jìn)而將∠B與∠C分別表示為兩個(gè)相同的角的和，從而完成證明.本題的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“全等圖形對(duì)應(yīng)角相等證明法”“組合角證明法”這兩種證明方法.再結(jié)合其它證明題，還可以發(fā)現(xiàn)“平行線性質(zhì)證明法”“等腰三角形證明法”等其它方法.當(dāng)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生完成“兩角相等”問題證明方法的梳理，一個(gè)關(guān)于“兩角相等”問題的證明系統(tǒng)也即產(chǎn)生.類似地，還可以進(jìn)行“線段相等”“垂直”“平行”等核心問題的證明方法系統(tǒng)的教學(xué).

4 結(jié)束語(yǔ)

幾何證明是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，保證初中生獲得良好的幾何證明教學(xué)，離不開三個(gè)要素：一是基本幾何圖形，二是三類語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，三是數(shù)學(xué)思想方法，三者分別對(duì)應(yīng)于幾何證明的“器”“術(shù)”與“道”.在日常的教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生“利器”“優(yōu)術(shù)”與“明道”，方可有效提升學(xué)生的幾何證明能力.