方陣的特征值與特征向量教學(xué)設(shè)計(jì)

盧勇

【摘要】本文主要研究方陣的特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計(jì).首先，通過相似矩陣引入了方陣的特征值與特征向量.其次，給出了方陣的特征值與特征向量的具體求法.最后，將思政元素融入教學(xué)內(nèi)容，讓課堂內(nèi)容更加豐富.

【關(guān)鍵詞】特征值;特征向量;教學(xué)設(shè)計(jì)

1 引 言

矩陣是線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)，關(guān)于矩陣的相關(guān)性質(zhì)一直以來也是我們關(guān)注和學(xué)習(xí)的重點(diǎn).方陣的特征值與特征向量是矩陣的重要研究內(nèi)容之一，涉及相似對角化、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型及正定二次型等問題.本文主要為大家呈現(xiàn)方陣的特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計(jì)，目的是同大家交流如何才能教好方陣的特征值與特征向量這一課.

2 教學(xué)過程

2.1 問題引入

首先，我們回顧相似矩陣的概念：

定義1[1] 設(shè)A與B是兩個(gè)n階方陣，如果存在可逆矩陣C，使得：C-1AC=B，

就稱矩陣A與B相似，記為A～B.

通過相似矩陣內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們知道，相似矩陣具有很多相同的性質(zhì)，比如相同的秩、行列式及跡等.因此，當(dāng)我們研究一個(gè)矩陣A的某些性質(zhì)，比如秩或行列式時(shí)，就可以借助其相似矩陣來研究.當(dāng)然，我們希望所選取的與A相似的矩陣的形式越簡單越好.主對角陣可以說是形式上比較簡單的一種矩陣.設(shè)：

反之，如果一個(gè)矩陣A滿足Aξi=λiξi，i=1，2，…，n.由Aξi有意義，可知A的列數(shù)等于n.再由等號(hào)成立，可知A的行數(shù)也等于n.因此，滿足這一式子的矩陣A只能是方陣.綜合上面的討論，就引出了我們今天要研究的方陣的特征值問題.

則稱λ是A的一個(gè)特征值，ξn就是屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.

根據(jù)特征值與特征向量的定義，我們做如下簡單分析：

1.首先需要強(qiáng)調(diào)的是特征向量都是非零向量.如果ξn是零向量，那么對于任意的數(shù)λ都有Aξn=λξn.這樣的討論無意義.

2.其次，一個(gè)方陣的特征值可能不止一個(gè)，而屬于特征值λ的特征向量也可能不止一個(gè).比如，對于方陣A，設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，ξn是屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.對于任意一個(gè)不為零的常數(shù)k，有因此由特征值與特征向量的定義可知kξn也是A的屬于特征值λ的特征向量.

3.同時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)，若ξ1，ξ2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有k1ξ1+k2ξ2也是A的屬于特征值λ的特征向量，其中k1，k2不全為0.理由如下：

4.特別地，如果方陣A=0，則Aξn=0ξn=λξn，由于ξn是非零列向量，所以A的特征值只能是0，即零矩陣的特征值只能是0，且任意的n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.

5.當(dāng)n階方陣A不可逆時(shí)，|A|=0，所以以方陣A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax=0有非零解，由特征值與特征向量的定義我們知道0是A一個(gè)特征值，且任一n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.

從上面我們能夠看出一些特殊矩陣的特征值與特征向量，但是對于一般的方陣，我們該如何求它的特征值與特征向量呢？下面，我們將圍繞該問題展開探究.

2.2 特征值與特征向量的求法

我們從定義出發(fā).設(shè)λ1是A的一個(gè)特征值，ξ是屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量，則有Aξ=λ1ξ，即（A-λ1E）ξ=0，從而齊次線性方程組（A-λ1E）x=0有非零解ξ，我們可得|A-λ1E|=0.

反之，如果|A-λ1E|=0，則以A-λ1E為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組（A-λ1E）x=0有非零解，不妨設(shè)ξ是其中一個(gè)非零解，則有（A-λ1E）ξ=0，變形可得Aξ=λ1ξ，由定義可知，λ1是A的一個(gè)特征值，ξ是屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量.

通過上面的分析我們可以得到一個(gè)判定一個(gè)數(shù)是否是方陣的特征值的定理.

定理1 設(shè)A是n階方陣，則數(shù)λ1是A的特征值的充要條件是：

定理1 的簡單應(yīng)用：由定理1我們可以知道若A+E不可逆，則-1就是A的一個(gè)特征值.

當(dāng)然，我們也可以將|A-λ1E|=0寫成|λ1E-A|=0.那么，當(dāng)λ1是一個(gè)變量的時(shí)候，不妨寫為λ，由行列式的定義我們知道|λE-A|是一個(gè)關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式，為了方便起見，我們可以稱其為矩陣A的特征多項(xiàng)式，并記為fA（λ）.因此，由定理1我們知道，A的特征多項(xiàng)式的根就是A的特征值.下面，我們來討論如何求特征向量.

當(dāng)我們求出fA（λ）的一個(gè)根即矩陣A的一個(gè)特征值λ1時(shí)，我們知道fA（λ1）=0，即|λ1E-A|=0，所以，以λ1E-A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組（λ1E-A）x=0有非零解ξ，這個(gè)ξ就是屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量.由上面的討論我們知道，對于任意一個(gè)非零數(shù)k，kξ也是屬于λ1的特征向量.因此，我們知道求所有屬于特征值λ1的特征向量，就是求齊次線性方程組（λ1E-A）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，比如ξ1，ξ2，…，ξs，則屬于λ1的特征向量就為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全為0的任意常數(shù).

綜上所述，我們給出一般的求矩陣A的特征值與特征向量的方法.

求特征值與特征向量的步驟：

1.計(jì)算fA（λ）=0的所有根，即屬于矩陣A的所有特征值.

2.對于A的每個(gè)特征值λ1，求出齊次線性方程組（λ1E-A）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，不妨設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξs，則屬于特征值λ1的所有特征向量為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全為0的任意常數(shù).

下面，我們將通過具體實(shí)例，來求出矩陣的特征值與特征向量.

例1 設(shè)A=-110-430102，計(jì)算A的特征值與特征向量.

解 A的特征多項(xiàng)式：

fA（λ）=|λE-A|=λ+1-104λ-30-10λ-2.

按第3列展開，計(jì)算行列式可得fA（λ）=（λ-2）（λ-1）2.因此矩陣A的所有特征值為λ1=2，λ2=λ3=1.

對于特征值λ1=2，計(jì)算齊次線性方程組（λ1E-A）x=0，即：

3-104-10-100x1x2x3=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為ξ1=001.因此，屬于特征值λ1=2的所有特征向量為k1ξ1，其中k1是不為0的任意常數(shù).

對于特征值λ2=λ3=1，計(jì)算齊次線性方程組（λ2E-A）x=0，即：

2-104-20-10-1x1x2x3=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為ξ2=-1-21.因此，屬于特征值λ2=λ3=1的所有特征向量為k2ξ2，其中k2是不為0的任意常數(shù).

2.3課堂小結(jié)與思政

本節(jié)課我們主要通過相似矩陣引入方陣的特征值與特征向量.通過特征值與特征向量的定義，我們分析了幾類特殊方陣的特征值與特征向量.同時(shí)，我們也給出了求方陣特征值與特征向量的具體方法.通過相似矩陣的學(xué)習(xí)，我們知道相似矩陣具有許多相同的性質(zhì)，當(dāng)研究一個(gè)矩陣的某些性質(zhì)時(shí)，我們可以先研究與該矩陣相似的在形式上較簡單的矩陣.在生活中，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題腳踏實(shí)地，刻苦鉆研，從而不斷進(jìn)步，不斷成長，最終實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值.在下一節(jié)課，我們將給出更多關(guān)于矩陣特征值與特征向量的結(jié)論.其中涉及矩陣的特征值與矩陣自身之間的關(guān)系，如：

定理2 設(shè)A是n階方陣，A有n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn，則：

（1） λ1+λ2+…+λn=tr（A）（矩陣A的跡，即主對角元素之和）.

（2） λ1λ2…λn=|A|.

以及矩陣多項(xiàng)式的特征值與矩陣的特征值之間的關(guān)系.關(guān)于定理2請大家課后思考，我們下節(jié)課再一起學(xué)習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔣永泉，賈志剛，黃建紅.線性代數(shù)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2018.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.