離散S曲線算法控制的機械手臂運動特性研究?

劉曉飛 高興華 郭慶東 崔金鵬

（北華大學機械工程學院，吉林省吉林市 132021）

機械手臂作為機器人的末端執(zhí)行機構[1-4]已在一些流水線生產(chǎn)中得到廣泛應用[5]。在智能化生產(chǎn)中，步進電機是主要的驅動部件之一[6]，作業(yè)時其運行的精確性和響應速度尤為重要。由于步進電機受脈沖頻率控制，其高速時的運動特性易對生產(chǎn)線上的裝配動作如抓、卡、擰工件等產(chǎn)生沖擊，從而造成位置錯移，甚至結構變形等。為確保生產(chǎn)線正常運轉，通常采用降低生產(chǎn)線速度的方式以避免問題的發(fā)生，但因此會影響生產(chǎn)效率[7]。針對以上問題，劉靜等[8-11]對步進電機的應用特性進行了研究與改進，以提高智能化生產(chǎn)效率。

合理控制頻率可為步進電機提供平穩(wěn)的工作特性，頻率過低或過高均會影響步進電機輸出特性，產(chǎn)生低頻振蕩或高頻振動。步進電機低頻振蕩是由于電機的轉子達到穩(wěn)定平衡位置時具有多余的動能[12]。當控制脈沖的頻率等于自由振蕩頻率時，就會發(fā)生低頻振蕩。而當控制脈沖的頻率很高時，脈沖間隔的時間很短，電機轉子尚未到達第一次振蕩幅值，下一個脈沖就到來，如此會產(chǎn)生失步，甚至還會產(chǎn)生高頻振動。

為提高步進電機在智能生產(chǎn)線裝配中的工作性能，消除振蕩與振動的產(chǎn)生，研究適合不同生產(chǎn)需求的輸出特性，本文采用正交兩指機械手臂，以步進電機為動力，研究以S曲線算法作為機械手臂控制算法的運動控制，通過合理設計每一個脈沖的升、降頻，保證步進電機不堵轉、不失步、不過沖，使機械手臂以最少的時間精確運行至指定位置。

1 正交兩指機械手臂的組成與輸出控制

1.1 機械手臂組成

機械手臂由步進電機、氣滑環(huán)、滑臺氣缸和機械手指組成，如圖1 所示。

圖1 正交兩指機械手臂結構圖Fig.1 Structural drawing of orthogonaltwo-finger manipulator

步進電機為機械手臂提供旋轉動力，帶動氣滑環(huán)、滑臺氣缸和機械手作旋轉運動。氣滑環(huán)在旋轉的同時傳遞氣路，通過氣動回路控制機械手作夾持動作。

1.2 步進電機電脈沖加速控制算法

常見的步進電機速度控制算法有梯形曲線算法、指數(shù)型曲線算法以及S曲線算法。

梯形曲線具有運算簡單[13]等特性，但存在加速突變、運行不穩(wěn)定等問題，適用于低精度場合。指數(shù)控制算法曲線實現(xiàn)繁瑣[14-15]，適用于高精度場合。S曲線算法的核心在于防止加速度產(chǎn)生突變，減小沖擊，并使步進電機運動具有快速平穩(wěn)的特性，常被應用于精確控制[16]；以低頻啟動，高頻率降頻實現(xiàn)減速[17]，以此達到快速響應的要求。

步進電機轉矩與輸入的脈沖頻率在電流等參數(shù)不變的情況下一一對應，為實現(xiàn)輸出特性的柔順平滑，利用數(shù)字控制器將連續(xù)S曲線函數(shù)轉換為離散S曲線函數(shù)，使步進電機的每個控制脈沖成為頻率可調的S離散信號，從而達到對步進電機輸出特性的良好控制。

2 S曲線設計與離散化

2.1 S曲線設計

S曲線的函數(shù)為Logistic函數(shù)，Logistic函數(shù)是一個嚴格的遞增函數(shù)，圖形為一個連續(xù)光滑的 S 形，其函數(shù)定義式為：

式中：a為控制曲線傾斜的斜率參數(shù)[18-19]。設脈沖頻率為f（kHz），則

式中：n為電機轉速，r/s ；P為細分倍數(shù)。

由式（2）可得出步進電機最小啟動頻率fmin（kHz），以及運行最大頻率A（kHz）。

設步進電機運行頻率為f(t)（kHz），則

式中：a為斜率常數(shù)，是決定運動快慢時間的關鍵因素；t為電機運行時間，s；k為達到A的時間，s；C為常數(shù)。

步進電機是一種數(shù)字電動機，可作為數(shù)字控制系統(tǒng)中的執(zhí)行元件，步進電機將輸入的脈沖電信號變換為階躍性的角位移或直線位移[20-21]。其角位移與脈沖數(shù)成正比，電機的轉速和脈沖信號成正比，通過改變頻率的高低即可改變電機的轉速[22-25]。

根據(jù)步進電機的轉矩頻率特性曲線可知，在電流不變的情況下，當脈沖頻率增加時，電機鐵芯中的渦流損耗隨之增加，輸出功率和轉矩下降，使步進電機頻率隨輸出轉矩的增大而減小。當輸入脈沖頻率增加到一定值時，步進電機將無法帶動任何負載，而且只要受到很小的擾動，就會振蕩、失步，甚至停轉。

步進電機的運動方程，即

式中： Te為步進電機的電磁轉矩，Nm；J為步進電機的轉動慣量，kg·m2；D為系統(tǒng)粘性阻尼系數(shù)；T為輸出轉矩，Nm；ω為電機瞬時角速度，rad/s。

ω與f成正比關系，即

式中：Q為線性系數(shù)，Q=2π。

電機從靜止開始加速，即t=0 時，ω=0，則聯(lián)立式（3）（4）（5）得：

以正轉90°為例，根據(jù)步進電機的參數(shù)以及不同的斜率常數(shù)a計算得出多組頻率曲線，如圖2 所示。

圖2 不同斜率常數(shù)a下的頻率曲線Fig.2 Frequency curve under diあerent time constant a

圖3 不同斜率常數(shù)a下的轉矩曲線Fig.3 Torque curve under diあerent time constant a

轉矩曲線如圖3 所示，在不同斜率參數(shù)a下轉矩的單位時間變化率不同，電機分別在13、22 ms與28 ms時，頻率達到最大，轉速最快，轉矩最小，符合電機運動規(guī)律。

一般情況下S曲線分為 “三段”，即加速、勻速和減速階段，但當步進電機轉過的角度很小時，運動曲線只需要兩段，即加速和減速階段。電機先加速再減速，此曲線為前半段加速曲線；減速階段和加速階段類似，可以分別單獨在軟件編程中做一個數(shù)組，也可以和加速階段共用一個數(shù)組。

2.2 S曲線的離散與優(yōu)化

輸入步進電機參數(shù)，得到頻率曲線，并利用改進歐拉遞推方法獲得離散頻率。設微分方程為：

設時間區(qū)間為[a,b]，從區(qū)間中取離散的點

取k=0,1,2，…，N，從t0開始，逐漸遞推求解t1時的y1，t2時的y2，…，直至tn時的yn。

其改進歐拉遞推公式為：

式中:h=tn+1-tn。

設置優(yōu)化曲線的約束參數(shù)條件，細分倍數(shù)P、最小啟動頻率fmin、最大運行頻率A，時間區(qū)間為[0,30]，離散點數(shù)為100。得到a=0.44 時的離散頻率曲線如圖4所示。

圖4 連續(xù)頻率曲線與對應的優(yōu)化離散頻率曲線Fig.4 Continuous frequency curve and the corresponding discrete frequency curve

確定定時器的自動重裝值。本試驗機械手臂的控制器為STM32，將STM32 的定時器設置為溢出中斷模式， 定時器的溢出中斷周期由時鐘預分頻數(shù)和自動重裝值決定，固定預分頻數(shù)后，中斷周期由自動重裝值決定。

將計算得到的離散頻率值處理為數(shù)組保存于控制器中，控制器按順序讀取數(shù)組里的頻率值進行定時器計數(shù)值重裝載。根據(jù)不同時刻的頻率，對應不同的自動重裝載值，從而實現(xiàn)S曲線離散化。

3 離散優(yōu)化S曲線仿真

3.1 試驗系統(tǒng)組成

本試驗的機械手臂使用86 系列步進電機，選用HB860 驅動器。氣缸選用型號MHF2-8D1R的滑臺氣缸，行程為260 mm。試驗所用三階魔方為市面比賽專用魔方，材料為ABS塑料，摩擦系數(shù)為0.48，邊長為57 mm。手臂模型如圖5 所示。

圖5 正交兩指機械臂三維建模圖Fig.5 3D modeling diagram of orthogonal two-finger manipulator

機械臂控制核心采用STM32F407，通過定時器輸出PWM波調控電機運動，利用I/O口控制電磁閥換向，實現(xiàn)機械手爪動作。

3.2 離散優(yōu)化S曲線應用仿真

建立步進電機平衡方程，并在MATLAB中搭建仿真模型，如圖6 所示。

圖6 系統(tǒng)仿真建模Fig.6 System simulation modeling

頻率發(fā)生器輸出離散的頻率數(shù)組，通過PWM得到不同頻率的方波，輸入到驅動，驅動電機輸出轉矩仿真結果。根據(jù)不同斜率系數(shù)a得到相應的轉矩曲線圖，如圖7 所示。

圖7 不同斜率常數(shù)所對應的轉矩曲線圖Fig.7 Torque curve corresponding to diあerent slope constants

仿真結果表明，電機在22 ms，頻率達到最大，轉矩達到最小，此時轉速最大，加速度最大；當a為0.3 時，頻率與轉矩的單位時間變化率較小，因此加速時間較長，如圖7a所示；當 a為0.8 時，頻率與轉矩的單位時間變化率較大，導致電機發(fā)生失步，如圖7c所示。理論計算輸出的轉矩曲線與仿真曲線擬合度基本一致，其中誤差由軟件處理所致。

4 應用試驗測試

將機械手臂應用于魔方機器人上進行測試，機械手臂試驗平臺如圖8 所示。

圖8 魔方機器人試驗平臺Fig.8 Rubik's cube robot test platform

以帶載正轉90°為例，采用2.2 章節(jié)計算優(yōu)化后的3 組離散S曲線，其中a=0.44 時的曲線如圖9 所示。

圖9 優(yōu)化后的S曲線圖Fig.9 The optimized S-curve

離散點數(shù)為100，分別輸入到控制器中，讀取試驗數(shù)據(jù)，與仿真數(shù)據(jù)進行對比。對比結果如表1 所示。

表1 仿真用時與試驗用時對比Tab.1 Comparison of simulation time and experiment time

測試結果表明：電機帶載正轉90°時，斜率常數(shù)等于0.3 時，電機運行時間并未達到最短；斜率常數(shù)等于0.44 時，運行平穩(wěn)，時間短，且不發(fā)生失步及過沖；而斜率常數(shù)等于0.8 時，由于頻率提升快，導致失步，嚴重時堵轉，致使電機平穩(wěn)后并未達到期望轉角。

5 結論

本文結合實際需求，研究將離散S曲線算法用于步進電機輸出平滑轉矩控制，算法在還原魔方機械臂調控中應用，達到了速度快、精度高的效果。該方法通過合理設計每個脈沖頻率的升、降，有效防止了步進電機失步、過沖等現(xiàn)象，并且使步進電機能以最快的響應速度執(zhí)行動作。算法理論可推廣應用于不同的步進電機，通過優(yōu)化理論方程中的參數(shù)，確定適用于不同環(huán)境下步進電機的S曲線，經(jīng)過離散處理后控制步進電機的運動，可以實現(xiàn)不失步、不過沖，達到快速、精準控制的目的。S曲線算法是一種全新的步進電機調速算法，適用于機械手裝配柔性動作等控制。