聚焦本質(zhì) 多元探索
——《圓的面積》教學(xué)設(shè)計（二）

文|王小波

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級上冊第67、68 頁。

【教學(xué)過程】

一、課前探究，喚醒轉(zhuǎn)化意識

課前，教師布置前置性作業(yè)：

上課之前，教師收集學(xué)生的《研究單》，獲知大多數(shù)學(xué)生都想到了要把圓的面積轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形的面積。

【設(shè)計意圖：求圓的面積對于學(xué)生來說是困難的，相較于以前學(xué)過的平面圖形，它不容易轉(zhuǎn)化，但那些平面圖形面積推導(dǎo)時運(yùn)用到的“轉(zhuǎn)化”思想早已在學(xué)生的心中打上了深深的烙印。課前研究給學(xué)生足夠的時間和空間，讓他們能夠像數(shù)學(xué)家一樣地思考，親歷探究“圓的面積”的求解過程，形成豐富的個體經(jīng)驗，為課中的深度對話交流做好準(zhǔn)備?！?/p>

二、課內(nèi)研習(xí)，感悟轉(zhuǎn)化思想

1.組內(nèi)研習(xí)，初步感知“轉(zhuǎn)化”思想。

師：關(guān)于“圓的面積”，大家已經(jīng)做了課前研究，現(xiàn)在小組內(nèi)把你想到的方法、遇到的困難以及如何解決進(jìn)行分享。

（聚焦其中一個小組）

組長：我想到了轉(zhuǎn)化成長方形，因為平行四邊形、三角形等圖形的面積都是轉(zhuǎn)化成長方形的。

組員1：我也是轉(zhuǎn)化的。剛開始我還想畫上“格子”，用數(shù)格子的方法數(shù)出圓的面積，但我遇到了困難：我發(fā)現(xiàn)圓是曲線圖形，外面的部分沒法數(shù)。所以我就想，怎么把圓轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形呢？

組員2：我就是轉(zhuǎn)化的，我把圓形紙片平均剪成了8 個小扇形，再把它們一正一反地拼在一起，拼成了一個平行四邊形。

組員1：這個不是平行四邊形。平行四邊形的邊是直的，你這個上下都是有圓弧的。

組員3：我也發(fā)現(xiàn)了這個問題，后來我發(fā)現(xiàn)把這些扇形再繼續(xù)平均分，圓弧就越來越小。所以，我就把圓形當(dāng)作一個近似的平行四邊形來計算。

組長：我們分得份數(shù)越多，就會越接近一個平行四邊形。那這個平行四邊形的面積要怎么求呢？底和高分別是什么？

組員3：平行四邊形的底就是圓周長的一半，這個我們可以從圖上看出來，我作出它的高，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的高就是圓的半徑。

組員1：把最左邊的一個扇形從中間剪開拼到右邊，就轉(zhuǎn)化成了長方形，長方形的長和寬分別是圓周長的一半和半徑，所以圓的面積是化簡一下是πr2。

【設(shè)計意圖：教師深入小組中仔細(xì)聆聽小組內(nèi)討論的過程。盡管每個小組學(xué)生的情況不盡相同，討論的方法和深度也不完全一致。但相似的是，經(jīng)過了課前充分地探究，小組交流時，已經(jīng)能夠全身心投入其中，借助所有組員的力量，全方位地進(jìn)行思想的碰撞：把自己的困惑提出來，小組內(nèi)的成員說出自己的看法，盡可能嘗試解決問題。盡管此時，也許有學(xué)生的理解還是“囫圇吞棗”，對知識點(diǎn)不夠清晰明了，經(jīng)其他組員的點(diǎn)撥，已經(jīng)略有所悟，這些都為全班的交流打下了基礎(chǔ)。】

2.全班交流，進(jìn)一步深化“轉(zhuǎn)化”思想。

師：剛才每個小組都進(jìn)行了深入的交流，有的組甚至交流出了多種不同的轉(zhuǎn)化方法，下面全班來理一理《研究單》中的問題。

生：我們組想到了轉(zhuǎn)化的方法，把圓形紙片平均剪成若干個小扇形，穿插在一起，拼成了近似的平行四邊形。平行四邊形的底和高分別是和r，所以，圓的面積是πr2。我們的困惑是，這個面積到底是近似的還是準(zhǔn)確的？

師：這個困惑解決了嗎？

生：剛開始，我覺得是近似的，但我們組討論后發(fā)現(xiàn)，如果平均分的扇形越來越小，它是接近三角形的，所以如果分得足夠多，拼成的應(yīng)該就是平行四邊形。

師：其他組有什么想法嗎？

生：我覺得你說得還不夠準(zhǔn)確，如果平均分的份數(shù)無限多，就會拼成一個長方形。

師：我們發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，小圓弧將會越短，但是像這樣繼續(xù)分下去，拼成的圖形會變成長方形嗎？

師：我這有張圓形紙片，誰來平均分成256 份試試看？

（學(xué)生紛紛表示，分成256 份太麻煩了，實際操作會有誤差）

師：我們可以請電腦來幫忙，你們?nèi)我庹f平均分的份數(shù)，我們用“幾何畫板”來進(jìn)行操作。

注：2n 表示平均分的份數(shù)。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：現(xiàn)在是200 份，拼成的圖形已經(jīng)非常接近長方形了，如果真的是無數(shù)份的話，拼成的就是長方形了。

生：原來我拼成的是平行四邊形，我想到平行四邊形可以剪下一個三角形平移拼成長方形，也可以把圓轉(zhuǎn)化成長方形的，現(xiàn)在我知道了，其實不用進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，份數(shù)足夠多時，拼成的就是長方形。

師：看來大家已經(jīng)體會到如何把圓轉(zhuǎn)化成長方形了，那么圓面積的計算公式怎樣推導(dǎo)呢？

生：長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，因此圓的面積公式是πr2。

師：那么圓是不是只能轉(zhuǎn)化成長方形呢？你們小組是怎樣探究的？

生1：我把圓形紙片平均分成16 份，拼成了一個梯形，梯形的上底和下底的和是8 個小圓弧，也就是圓周長的一半，梯形的高是2個圓半徑的長度，因此，圓面積就是C÷2×2r÷2，化簡后也是πr2。

生2：我是把圓平均分成了9份，拼成一個三角形，三角形的底是3 個圓弧的長，也就是圓周長的，高是3 個圓半徑的長度，所以圓面積就是

生3：我還有不同的方法。我把圓片平均分成8 份，1 份是一個近似的三角形，底是圓周長的，高是圓半徑的長度。一個三角形的面積是，8 個三角形就是

師：同學(xué)們真厲害，利用梯形、三角形的面積也推導(dǎo)出了圓的面積，圓等分之后還能拼成其他圖形，比如說組合圖形。

生：我們組剛開始就是拼成組合圖形，但是求面積太麻煩了。

師：那么眾多的轉(zhuǎn)化方法中，你會優(yōu)先選擇哪種呢？

生：當(dāng)然是長方形，它是所有圖形的基礎(chǔ)，也是最容易推導(dǎo)的。

【設(shè)計意圖：把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形是最常見、最理所當(dāng)然的。然而這并不意味著一想到轉(zhuǎn)化，學(xué)生就會想到轉(zhuǎn)化成長方形，也不見得就能轉(zhuǎn)化成功。在課堂上，學(xué)生拋出“轉(zhuǎn)化成的面積是準(zhǔn)確的還是近似的？”這個問題，在討論中借助動畫的演示，學(xué)生體會到“極限”思想。在匯報時，學(xué)生的思維發(fā)散到轉(zhuǎn)化成不同的平面圖形來求圓的面積，不再局限于教材的表面處，而是基于學(xué)生的元認(rèn)知，創(chuàng)新于教材的潛隱處。自主的探究加上課堂中充分地表達(dá)，讓每一位學(xué)生都卷入其中，學(xué)有所悟，深刻領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化思想：把復(fù)雜的內(nèi)容簡單化，陌生的內(nèi)容熟悉化。用好轉(zhuǎn)化思想，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加智慧、更加靈動。】

三、創(chuàng)新練習(xí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法

師：知道了圓面積的計算公式，我們試著來解決一些問題。

【設(shè)計意圖：練習(xí)的設(shè)計都是求圓的面積，但難度層層遞進(jìn)，可以滿足不同水平學(xué)生的需求。其中第2 題，更是要求學(xué)生能夠判斷出大圓和小圓面積之間的關(guān)系，從而解決生活中的實際問題，對學(xué)生知識的掌握以及能力的提升都大有幫助?！?/p>

四、全課小結(jié)

（略）