帶權圓盤振動問題的第一特征值估計

鄧嚴林 侯蘭寶 嚴 政

(1.荊楚理工學院 數(shù)理學院,湖北 荊門 448000;2.長江大學 信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

特征值問題的研究一直是現(xiàn)代微分幾何的熱點問題,具有深刻的物理背景和重要的理論價值.而關于緊黎曼流形上自伴橢圓算子的特征值研究則備受關注,這是因為緊黎曼流形上橢圓算子具有離散特征值,而如何對這些特征值做出估計則是一個重要的研究課題,相關研究成果可參看文獻[1-3].

近年來,關于光滑度量測度空間上自伴算子的特征值問題也受到很多人的關注和研究[4-6].所謂的光滑度量測度空間是指一個黎曼流形M匹配上一個光滑測度e-fdv,這里的f是M上的一個實值光滑函數(shù),dv是與黎曼度量〈,〉相關的黎曼體積元,因而,通常用(M,g,e-fdv)來表示光滑度量測度空間.在(M,〈,〉,e-fdv)上,可以定義漂移拉普拉斯算子:

式中:Δ和?分別表示M上的拉普拉斯算子和梯度算子.在光滑度量測度空間上,還可以定義權重Ricci曲率(也稱為Bakry-Emery Ricci曲率)

式中:RicM是M的Ricci曲率;?2表示Hessian算子.當κ是常數(shù)時,方程Ricf=κ〈,〉就是梯度Ricci孤立子方程,在Ricci流的研究中起著重要作用.

關于Ricci孤立子的特征值問題的研究成果,參看文獻[3],還可以定義m階權重Ricci曲率(也稱為m-Bakry-Emery Ricci曲率)

當m=n時,令f為常數(shù)且Ricm=RicM.當m→∞時,Ricm=Ricf,因而權重Ricci曲率也稱為∞階的.關于光滑度量測度空間的更多細節(jié),參看文獻[7].

本文中,將研究雙漂移拉普拉斯算子的特征值問題.設(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑邊界?M的n維緊致連通光滑度量測度空間,考慮下述方程:

式中:v是邊界?M的單位外法向量;τ是非負常數(shù).當f是常函數(shù)時,方程(4)是經(jīng)典的雙調(diào)和算子的特征值問題,用來刻畫物理中的圓盤張力問題,而常數(shù)τ與圓盤的橫向張力有關,因而也稱為圓盤振動問題[1].因而方程(4)稱為雙漂移拉普拉斯的特征值問題,也稱為帶權圓盤振動問題[8].由自伴算子譜理論可知,方程(4)具有離散譜,即其特征值可以排成下述單調(diào)數(shù)列:

式中:Λi可以重復出現(xiàn)其重數(shù)(即特征空間維數(shù))次.關于方程(4)的第一非零特征值估計,可以得到下述結論.

定理1設(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑邊界?M的n維緊致連通光滑度量測度空間,且Λ1是方程(4)的第一非零特征值.當m階權重Ricci曲率有下界(m-1)ξ＞0時,可得

式中:ξ為正常數(shù);τ為非負常數(shù);λ1為漂移拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征值.當且僅當M等度于一個曲率為ξ的歐氏半球且f是常函數(shù)時,不等式中等號成立.

本文第二部分將考慮雙漂移拉普拉斯算子在Dirichlet邊界條件下的特征值問題,得到下述結論.

定理2設(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑邊界?M的n維緊致連通光滑度量測度空間,且Λ1是問題

的第一非零特征值.當m階權重Ricci曲率有下界(m-1)時,可得

式中:τ為非負常數(shù);λ1為漂移拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征值.

當τ=0時,定理1即為文獻[9]中的定理1.1;定理2即為文獻[10]中定理1.5.

1 預備知識

本節(jié)將介紹一些概念和結論,他們將在主要定理的證明中起到關鍵作用.設(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑邊界?M的n維緊致連通光滑度量測度空間,S(X)=?Xv是邊界?M的形狀算子,則第二基本形式Ⅱ(X,Y)=〈S(X),Y〉.這里X,Y∈T?M,?是M的黎曼聯(lián)絡.則S的特征值稱為邊界?M的主曲率,而?M的平均曲率這里trS表示S的跡,而權重平均曲率

下面給出漂移拉普拉斯算子的Reilly公式[11],設g是M上的光滑函數(shù),而dμ=e-fdv,則下述恒等式成立

引理1設(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑邊界?M的n維緊致連通光滑度量測度空間,設g是M上的光滑函數(shù),而可得

當m=n時,則f是常數(shù),當且僅當〈,〉時等式成立;當m＞n時,當且僅當和

2 主要結論的證明

2.1 定理1的證明

設u是方程(4)的第一非零特征值Λ1對應的特征函數(shù),有

則由散度定理可得:

在邊界?M上,可以得到

式中:(?u)T是切于?M的部分;(?u)⊥是垂直于?M的部分.而由,可得

則由式(13)、(14)可得

將公式(15)代入公式(11)可得

將u代入式(9),注意到,可得

注意到m階權重Ricci曲率有下界(m-1)ξ＞0,可得

將式(18)代入式(16),可得

再由Poincare不等式和Schwarz不等式可得

由式(20)可得

當且僅當u是漂移拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征函數(shù)時,式(21)等號成立.將式(21)代入式(19),并使用Poincare不等式,可得

接下來,討論式(22)中等式成立的情形.如果Λ1=,則式(21)等號成立,所以在M上,Δfu=-λ1u,則可得τΔfu=Λ1u,可得再注意到Λ1=

當m=n時,f為常函數(shù),則漂移拉普拉斯算子Δf退化了拉普拉斯算子Δ,則λ1=mξ＞0即為拉普拉斯算子Δ的第一特征值,則由文中定理可知,當且僅當M等度于一個曲率為ξ歐氏半球時,式(22)中等號成立.

當m＞n時,式(22)中等號成立,意味著式(9)和式(21)中等號成立.當式(9)中等號成立時,由引理1可得

在式(23)兩邊乘以函數(shù)u并在M關于權重測度積分可得

由上式可知u是一個常函數(shù).而當式(21)中等號成立時,可知u是漂移拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征函數(shù),則與u是一個常函數(shù)矛盾,因而,當m＞n時,式(22)中等號不能成立.

綜合以上分析可得:當且僅當?shù)榷扔谝粋€曲率為ξ歐氏半球且f是常數(shù)時,不等式(m-1)ξ+τ)中等號成立.定理1證畢.

2.2 定理2的證明

設w是問題(6)的第一非零特征值Γ1對應的特征函數(shù),因而有

則

將w代入式(9)中,注意到

將式(27)代入式(26),可得

當m=n時,f為常函數(shù),則漂移拉普拉斯算子Δf退化了拉普拉斯算子Δ,則由文獻[10]中定理1.5可知,Γ1＞(m+τ)λ1.

當m＞n時,由與定理1類似的討論,可得Γ1＞(m+τ)λ1.定理2證畢.