采用增廣乘子法和免疫算法的混合可靠性分析

彭云龍 王林軍 杜義賢 黃 楊 廖 瑋

(1.三峽大學(xué) 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 宜昌 443002;2.三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

隨著現(xiàn)代機(jī)器結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化和精細(xì)化要求的日益增加,亟需一種將多方面因素綜合考慮的計(jì)算模型來進(jìn)行可靠性優(yōu)化評(píng)估.為此,研究者們?yōu)榱私鉀Q實(shí)際工程問題,提出了許多新的計(jì)算方法[1-8].潘柏松等[9]針對(duì)隨機(jī)變量和非獨(dú)立區(qū)間變量共存的情況,提出一種基于橢球模型,利用高維模型表示方法(HDMR)解耦變量的快速可靠性計(jì)算模型,并利用多項(xiàng)式近似,得到一種混合單步可靠性計(jì)算方法,僅需要較少的函數(shù)調(diào)用次數(shù),就可得到較高精度的計(jì)算結(jié)果.陸海濤等[10]以重要抽樣的方向?yàn)檫M(jìn)給方向,以坐標(biāo)軸與主線性逼近失效面的交點(diǎn)和設(shè)計(jì)點(diǎn)的方向作為搜索次線性化點(diǎn)的方向,構(gòu)建線性凸區(qū),提出一種通過概率方法的線性凸區(qū)法,克服了強(qiáng)非線性極限狀態(tài)方程的可靠性評(píng)估問題,具有較高的計(jì)算精度.張航等[11]在拉丁質(zhì)心Voronoi網(wǎng)格化抽樣方法生成的樣本的基礎(chǔ)上,建立功能函數(shù)的支持向量機(jī)回歸代理模型,該方法在可靠性分析中具有精度高、魯棒性好等特點(diǎn).王林軍等[12]在改進(jìn)一次二階矩法的基礎(chǔ)上引入了參數(shù)的不確定性,探索了不確定性對(duì)可靠性指標(biāo)的影響.王國(guó)富等[13]利用改進(jìn)的子集模擬法對(duì)U型梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了可靠性分析,縮小了相對(duì)誤差,使得計(jì)算結(jié)果更加精確.劉強(qiáng)等[14]從失效物理分析的角度出發(fā)建立性能退化模型,并利用貝葉斯方法將壽命模型和性能退化模型進(jìn)行整合,得到可靠性評(píng)估模型.

對(duì)于現(xiàn)有的可靠性評(píng)估方法,蒙特卡羅模擬法(MCS)能放松對(duì)理論模型的理想化需求,并且可以作并行計(jì)算,適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng),但計(jì)算步數(shù)過大,耗時(shí)較長(zhǎng),一般作為相對(duì)精確解或用來驗(yàn)證的近似解析解.一次二階矩法(FOSM)計(jì)算簡(jiǎn)便,避免了大量的數(shù)值計(jì)算,同時(shí)具有收斂快、迭代次數(shù)少、精度高等特點(diǎn),適用于變量獨(dú)立、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的線性極限狀態(tài)方程,但對(duì)于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程效果較差,甚至無(wú)法求解,且對(duì)變量的分布標(biāo)準(zhǔn)有一定要求,在實(shí)際工程中具有一定的局限性.免疫算法是一種全局搜索智能優(yōu)化算法,具有收斂速度快、自適應(yīng)性強(qiáng)、魯棒性高等特點(diǎn),克服了強(qiáng)非線性極限狀態(tài)方程的求解問題,且對(duì)于變量分布標(biāo)準(zhǔn)沒有特殊要求.增廣乘子法將拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法進(jìn)行結(jié)合,使其兼具乘子項(xiàng)和懲罰項(xiàng)的優(yōu)點(diǎn),收斂速度快,并能將有約束問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束問題.

本文提出一種采用增廣乘子法和免疫算法的混合可靠性分析方法,有效避免了初始罰因子對(duì)求解結(jié)果的影響,并將參數(shù)相關(guān)性考慮進(jìn)來,運(yùn)用免疫算法對(duì)模型進(jìn)行求解.

1 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 可靠性指標(biāo)的建立

結(jié)構(gòu)的可靠性往往受到結(jié)構(gòu)的材料、所受的應(yīng)力以及結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)和尺寸的影響,且這些參數(shù)又具有不確定性,因此在可靠性分析中,通常將這些稱為基本隨機(jī)變量.假設(shè)有n個(gè)隨機(jī)變量,用Xi(i=1,2,…,n)表示,用g(X)表示結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)[15]:

式中:Z的取值決定了結(jié)構(gòu)所處的狀態(tài);當(dāng)Z＞0時(shí),結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài);Z＜0時(shí),結(jié)構(gòu)或機(jī)器處于失效的狀態(tài);Z=0時(shí),結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài).Z=g(X)=0稱為極限狀態(tài)方程,在坐標(biāo)系上生成的曲面為極限狀態(tài)面,又稱失效面.

當(dāng)結(jié)構(gòu)的功能只與載荷效應(yīng)S和結(jié)構(gòu)抗力R有關(guān)時(shí),功能函數(shù)可寫為Z=(R,S)=R-S,此時(shí)結(jié)構(gòu)所處的狀態(tài)與上述相同.

結(jié)構(gòu)可靠度表示機(jī)構(gòu)在壽命周期和使用環(huán)境下能夠完成預(yù)定作業(yè)功能的概率,常用Ps(變量x的聯(lián)合密度函數(shù)fx在可靠域Ωs的多重積分)表示:

失效概率表示機(jī)構(gòu)在壽命周期和使用環(huán)境下不能完成預(yù)定作業(yè)功能的概率,常用Pf(變量x的聯(lián)合密度函數(shù)fx在可靠域Ωf的多重積分)表示:

可靠度與失效概率必然是相輔相成的,其關(guān)系為:

可靠性指標(biāo):采用R-F(拉科維茨-菲斯萊法)將一些非正態(tài)的變量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的當(dāng)量正態(tài)化,獲得均值,標(biāo)準(zhǔn)差,可靠性指標(biāo)β等正態(tài)分布的變量:

其中:φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的概率密度函數(shù);Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的累積概率分布函數(shù)的反函數(shù);FXi(·)為Xi累積概率分布函數(shù);fXi(·)為Xi累積概率密度函數(shù)為優(yōu)化后的設(shè)計(jì)點(diǎn).可將β看作是坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離,極限狀態(tài)面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是設(shè)計(jì)點(diǎn)或驗(yàn)算點(diǎn),數(shù)學(xué)模型見式(6):

1.2 增廣乘子法

罰函數(shù)法是一種通過序列不斷逼近的求解方法,可以適用于大部分優(yōu)化問題.同時(shí)罰函數(shù)法可以和大多數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)合,但該方法收斂速度過慢且求解結(jié)果受初始罰因子影響較大;因此,本文采用增廣乘子法引入乘子項(xiàng)和懲罰項(xiàng),使得收斂速度更快,對(duì)罰因子的取值也沒有過多的要求,只需要取較大的罰因子即可,或者按照一定的比例進(jìn)行遞增.首先建立一個(gè)等式約束的模型[16]:

其中:f(x)為目標(biāo)函數(shù);hv(x)為約束函數(shù).

通過拉格朗日乘子將式(7)的等式約束轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問題:

式中:λ為拉格朗日乘子.應(yīng)用拉格朗日乘子法構(gòu)造成一個(gè)無(wú)約束函數(shù),如式(9)所示:

式中:右邊第一項(xiàng)f(x)為目標(biāo)函數(shù);第二項(xiàng)為懲罰項(xiàng),r為罰函數(shù)法的罰因子;第三項(xiàng)為乘子項(xiàng).

2 免疫算法

免疫算法是根據(jù)生物的免疫系統(tǒng)和基因進(jìn)化的工作原理模擬出來的一種具有高魯棒性、自適應(yīng)性、全局收斂性、可并行搜索的智能優(yōu)化算法.它運(yùn)用自身產(chǎn)生多樣性種群,并在每一次種群刷新前對(duì)抗體濃度進(jìn)行評(píng)價(jià),抑制濃度過高的個(gè)體,從而保證了個(gè)體的多樣性.免疫算法通過親和度計(jì)算來評(píng)價(jià)抗體濃度的大小,然后給予親和度大和濃度低的抗體一個(gè)較大的激勵(lì)度,通過克隆算子和變異算子將上一代中的優(yōu)異個(gè)體遺傳給下一代,同時(shí)刪除激勵(lì)度較低的個(gè)體,以達(dá)到種群更新實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)搜索的目的.其算法與免疫系統(tǒng)一一對(duì)應(yīng),見表1.

表1 免疫算法與免疫系統(tǒng)對(duì)應(yīng)關(guān)系

免疫算法中最為重要的幾個(gè)算子的評(píng)價(jià)公式[17]如下所示:

1)親和度算子

2)濃度評(píng)價(jià)算子

3)激勵(lì)計(jì)算算子

其中:abi表示種群中的第i個(gè)抗體,abi,k表示第i個(gè)抗體的第k維.

迭代過程如圖1所示.

圖1 免疫算法流程圖

3 數(shù)值算例

考慮一組由變量x1,x2構(gòu)成的極限狀態(tài)方程

其中:x1與x2均服從正態(tài)分布,其均值μ分別為10和2.5,標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為2和0.375.

使用本文算法,取罰因子r為1 000,擬定染色體數(shù)目NP=50,最大遺傳代數(shù)即運(yùn)算終止條件為12代,變異概率Pm=0.7,激勵(lì)度系數(shù)α=1,相似度閾值δ=0.2,克隆個(gè)數(shù)Ncl=10,結(jié)果如下所示:

1)本文方法目標(biāo)迭代12次,第4次收斂,MPP點(diǎn)為(10.666 2,1.629 1),可靠性指標(biāo)β=2.346 3,失效率Pf=0.009 5.

2)采用FOSM法通過梯度對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)搜索,目標(biāo)函數(shù)在第12次收斂,MPP點(diǎn)為(11.1855,1.654 9),β=2.330 2,Pf=0.009 9.

3)采用MCS法,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行1×107次抽樣模擬,β=2.345 9,Pf=0.009 5.

本文方法計(jì)算結(jié)果見表2～3.根據(jù)表2、表3以及圖2可知:本文方法相對(duì)于FOSM法收斂更快;可靠性指標(biāo)及失效概率接近MCS法的值,具有較高的精度;本文方法切實(shí)可靠,并且能有效避免工程案例中罰因子的選擇和求導(dǎo)困難等問題.

表2 本文方法迭代信息表

表3 3類方法結(jié)果對(duì)照表

圖2 本文方法與FOSM法計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

4 車輛側(cè)面碰撞算例

對(duì)車輛側(cè)面碰撞進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),有限元模型[18]如圖3所示,極限狀態(tài)方程可以表示為

圖3 車輛側(cè)面碰撞有限元模型

其中

式中:g(x)為汽車響應(yīng)面方程;R(x2,x3)代表車輛側(cè)防撞量;R(x5,x6)代表護(hù)欄防撞量,各變量對(duì)應(yīng)關(guān)系見表4.

表4 隨機(jī)變量關(guān)系

采用MCS法對(duì)其進(jìn)行1×107次抽樣模擬,β=4.164 5,Pf=1.560 0×10-5.采用本文方法計(jì)算,其MPP點(diǎn)為(0.997 7,0.996 1,0.9961,0.997 8,0.312 4,29.998 6,-10.710 5),β=4.003 0,Pf=3.127 7×10-5.兩種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)照表見表5,親和度進(jìn)化曲線如圖4所示.

表5 MCS法與本文方法計(jì)算結(jié)果對(duì)照表

圖4 親和度進(jìn)化曲線

根據(jù)表5可知:本文方法與MCS法的計(jì)算結(jié)果較為接近,本文方法切實(shí)可靠,具有一定的精確度;根據(jù)圖4可知:本文方法在第150次迭代時(shí)已收斂,其后數(shù)值趨近平穩(wěn),對(duì)非線性問題具有良好的收斂性和平穩(wěn)性.

由于車輛側(cè)碰的可靠性評(píng)估極為復(fù)雜,其失效形式并不是由某個(gè)單一變量的變化而決定的,而是一個(gè)整體聯(lián)動(dòng)的過程.因此,考慮到變量之間的相互關(guān)系,在做可靠性分析時(shí)引入相關(guān)系數(shù),做相關(guān)度分析,其可靠性指標(biāo)見公式(16).考慮到車門防撞量(x2)和車門腰線加強(qiáng)板(x3)、護(hù)欄高度(x6)和護(hù)欄高度位置(x7)之間的相關(guān)性,擬定相關(guān)系數(shù)[19]ρx2x3=0.4～0.8、ρx6x7=-0.4～-0.8.

現(xiàn)考慮5種工況,當(dāng)ρx6x7在-0.4～-0.8變化時(shí),ρx2x3分別為0.4,0.5,0.6,0.7,0.8這5種情況下,可靠性指標(biāo)的變化趨勢(shì).

采用本文方法進(jìn)行求解,并將求解結(jié)果以三維坐標(biāo)形式呈現(xiàn),如圖5所示.

圖5 相關(guān)系數(shù)與可靠性指標(biāo)對(duì)應(yīng)圖

根據(jù)圖5可知:隨著|ρx6x7|的逐漸增大,β不斷下降,而ρx2x3的變化對(duì)β影響較小,故而在工程設(shè)計(jì)中對(duì)變量x6,x7之間的相關(guān)性需要格外注意.

5 結(jié) 論

本文基于增廣乘子法和免疫算法提出了一種混合可靠性分析方法,采用增廣乘子法構(gòu)建可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型,從而避免了初始罰因子的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,利用免疫算法對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算,解決了FOSM法對(duì)強(qiáng)非線性極限狀態(tài)方程的求解難題,為處理實(shí)際可靠性工程問題提供了另一種途徑.通過數(shù)值算例和工程算例對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明:本文方法具有良好的收斂性和較好的精度;對(duì)線性和非線性問題具有良好的效果,適應(yīng)性強(qiáng);并考慮了參數(shù)相關(guān)性對(duì)可靠性指標(biāo)的影響,對(duì)實(shí)際可靠性工程問題有一定的指導(dǎo)意義.